Задание 5. Начала теории вероятностей

{"questions":[{"content":"Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше $20$ пассажиров, равна $0.94$. Вероятность того, что окажется меньше $15$ пассажиров, равна $0.56$. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от $15$ до $19$.[[fill_choice_big-1]][[image-320]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.38$","$0.42$","$0.48$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-320":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/avtobus-1.svg","width":"300"}},"hints":["Вероятность того, что в автобусе меньше $20$ пассажиров:$$P(A)=0.94$$Вероятность того, что в автобусе меньше $15$ пассажиров:$$P(B)=0.56$$Вероятность того, что число пассажиров будет от $15$ до $19$, равна разности вероятностей $P(A)\\spaceи\\space P(B)$:<br />$$P=P(A)−P(B)$$$$P=0.94−0.56=0.38$$"]},{"content":"Вероятность того, что батарейка бракованная, равна $0.06$. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.[[fill_choice_big-15]][[image-281]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.8836$","$0.8838$","$0.8638$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-281":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/musor-sortirovka-musora.svg","width":"300"}},"hints":["Вероятность того, что одна батарейка исправна:$$P=1−0.06=0.94$$Так как батарейки в упаковке независимы, вероятность того, что обе батарейки исправны, равна произведению вероятностей:$$P=0.94\\cdot0.94=0.8836$$<br />"]},{"content":"В партии из $1\\space000$ светодиодных ламп вероятность того, что лампа бракованная, равна $0.03$. Покупатель выбирает случайным образом две лампы из этой партии. Найдите вероятность того, что обе лампы окажутся исправными.[[fill_choice_big-45]][[image-244]]","widgets":{"fill_choice_big-45":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.9409$","$0.9407$","$0.9401$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-244":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/12/obrazavr_vklyuchat.svg","width":"300"}},"hints":["Вероятность того, что одна лампа исправна:$$P=1−0.03=0.97$$Так как лампы выбираются независимо, вероятность того, что обе лампы исправны, равна произведению вероятностей:$$P=0.97\\cdot0.97=0.9409$$"]},{"content":"На чемпионате по прыжкам в воду выступают $25$ спортсменов, среди них $8$ прыгунов из России и $9$ прыгунов из Китая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Китая.[[fill_choice_big-158]][[image-209]]","widgets":{"fill_choice_big-158":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.36$","$0.24$","$0.92$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-209":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/bassei-n-01-2.svg","width":"300"}},"hints":["Для того чтобы найти вероятность события «шестым выступает прыгун из Китая», необходимо разделить количество благоприятствующих ему исходов на количество всех возможных исходов.<br />Шестым может выступать любой из $25$ спортсменов, поэтому количество всех возможных исходов равно $25$.<br />Количество исходов, в которых шестым выступает прыгун из Китая, равно $9$.<br />Значит, искомая вероятность равна: $$\\frac{9}{25}=0.36$$"]},{"content":"На экзамене $60$ билетов, Олег не выучил $12$ из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.[[fill_choice_big-277]][[image-176]]","widgets":{"fill_choice_big-277":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.8$","$0.6$","$0.2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-176":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/ucheniki-klass-party-6.svg","width":"300"}},"hints":["Вероятность того, что Олегу попадётся невыученный билет, равна: $$\\frac{12}{60}=0.2$$<br />Тогда вероятность того, что попадётся выученный билет, равна:$$1-0.2=0.8$$"]},{"content":"Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?[[fill_choice_big-436]][[image-145]]","widgets":{"fill_choice_big-436":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.25$","$0.5$","$0.75$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-145":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/mobile_phone.svg","width":"300"}},"hints":["Количество возможных цифр: $10$ (от $0$ до $9$).<br />Количество чётных цифр: $5\\space(0, 2, 4, 6, 8)$.<br />Вероятность того, что последняя цифра чётная:$$P_1=\\frac{5}{10}=0.5$$Вероятность того, что предпоследняя цифра чётная:$$P_2=\\frac{5}{10}=0.5$$Так как цифры выбираются независимо, вероятность того, что обе последние цифры чётные, равна произведению вероятностей:$$P=P_1\\cdot P_2=0.5\\cdot0.5=0.25$$"]},{"content":"У бабушки $25$ чашек: $3$ с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.<br /><br />[[fill_choice_big-115]][[image-116]]","widgets":{"fill_choice_big-115":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.88$","$0.86$","$0.82$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-116":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/04/pet-chaj.svg","width":"300"}},"hints":["Количество чашек с синими цветами: $$25−3=22$$$$P=\\frac{Количество\\spaceблагоприятных\\spaceисходов}{Общее\\spaceколичество\\spaceисходов}$$$$\\frac{22}{25}=0.88$$"]},{"content":"Из $400$ саженцев крыжовника в среднем $36$ не приживаются. Какова вероятность того, что случайно выбранный саженец крыжовника приживётся?[[fill_choice_big-237]][[image-89]]","widgets":{"fill_choice_big-237":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.91$","$0.99$","$0.96$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-89":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/polivaet-rasteniya-ogorod-rastenie-1.svg","width":"300"}},"hints":["Количество саженцев, которые приживаются: $$400−36=364$$$$P=\\frac{Количество\\spaceблагоприятных\\spaceисходов}{ Общее\\spaceколичество\\spaceисходов}$$$$P=\\frac{364}{400}=0.91$$<br /><br />"]},{"content":"В фирме такси в наличии $15$ легковых автомобилей: $9$ из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.[[fill_choice_big-616]][[image-64]]","widgets":{"fill_choice_big-616":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.4$","$0.6$","$0.7$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-64":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/gorod-lyudi-zanyatoj-mashiny-1-1.svg","width":"300"}},"hints":["На вызов может приехать любая из $15$ машин, следовательно, количество всех возможных исходов равно $15$. <br />Автомобилей жёлтого цвета с чёрными надписями: $$15−9=6$$Значит, искомая вероятность равна:$$\\frac{6}{15}=\\frac{2}{5}=0.4$$"]},{"content":"Фабрика выпускает наушники. В среднем на $150$ качественных пар наушников приходится $10$ пар с дефектами. Найдите вероятность того, что случайно выбранные наушники окажутся качественными. Результат округлите до сотых.[[fill_choice_big-799]][[image-41]]","widgets":{"fill_choice_big-799":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.94$","$0.93$","$0.92$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-41":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/obrazavr_potrebnosti-01.svg","width":"300"}},"hints":["Общее количество наушников:$$150+10=160$$$$P=\\frac{Качественные\\spaceнаушники}{Общее\\spaceколичество\\spaceнаушников}$$$$P=\\frac{150}{160}=0.9374\\approx0.94$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью $0.52$. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью $0.3$. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. [[fill_choice_big-1]][[image-31]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.156$","$0.158$","$0.154$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-31":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/chess.svg","width":"300"}},"hints":["Вероятность того, что А. выиграет обе партии, равна произведению вероятностей выигрыша в каждой из партий:$$P=P_1 \\cdot P_2$$$$0.52\\cdot0.3=0.156$$"]},{"content":"Три девочки и два мальчика бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет девочка. [[fill_choice_big-58]][[image-54]]","widgets":{"fill_choice_big-58":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.75$","$0.6$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":1},"image-54":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/shahmaty.svg","width":"300"}},"hints":["Жребий может выпасть на любого из $5$ участников, поэтому общее количество исходов равно $5$.<br />Нас интересует, чтобы жребий выпал на девочку, таких исходов $3$.<br />$$P=\\frac{Количество\\spaceблагоприятных\\spaceисходов}{Общее\\spaceколичество\\spaceисходов}$$$$P=\\frac{3}{5}=0.6$$"]},{"content":"Конкурс исполнителей проводится в $5$ дней. Всего заявлено $60$ выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. Все выступления поровну распределены между конкурсными днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса? [[fill_choice_big-151]][[image-79]]","widgets":{"fill_choice_big-151":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.2$","$0.5$","$0.7$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-79":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/soul-01.svg","width":"300"}},"hints":["На третий день может быть запланировано любое из $60$ выступлений, следовательно, количество всех возможных исходов равно $60$.<br />Количество благоприятствующих исходов равно количеству выступлений, запланированных на третий день, и равно: $$\\frac{60}{5}=12$$$$P=\\frac{Количество\\spaceблагоприятных\\spaceисходов}{Общее\\spaceколичество\\spaceисходов}$$$$P=\\frac{12}{60}=0.2$$"]},{"content":"В группе туристов $8$ человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?[[fill_choice_big-267]][[image-106]]","widgets":{"fill_choice_big-267":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.25$","$0.75$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-106":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/04/soprt-magazin-1.svg","width":"302"}},"hints":["<br />В магазин может пойти любой из $8$ туристов, поэтому количество всех возможных исходов равно $8$.<br />Количество благоприятствующих исходов равно количеству туристов, которые пойдут в магазин, и равно $2$.<br />Значит, искомая вероятность равна: $$\\frac{2}{8}=\\frac{1}{4}=0.25$$<br />"]},{"content":"На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна $0.2$. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна $0.15$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.[[fill_choice_big-348]][[image-135]]","widgets":{"fill_choice_big-348":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.35$","$0.45$","$0.55$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-135":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/02/test-01.svg","width":"300"}},"hints":["Вероятность того, что вопрос на тему «Вписанная окружность»: $$P(A)=0.2$$Вероятность того, что вопрос на тему «Параллелограмм»:$$P(B)=0.15$$Так как вопросы на эти темы не пересекаются, вероятность того, что достанется вопрос по одной из этих двух тем, равна сумме вероятностей:$$P(A)+P(B)=0.2+0.15=0.35$$"]},{"content":"Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна $0.97$. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0.89$. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.[[fill_choice_big-697]][[image-166]]","widgets":{"fill_choice_big-697":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.08$","$0.06$","$0.02$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-166":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/obrazavr_nalivaet-chaj.svg","width":"300"}},"hints":["Вероятность того, что чайник прослужит больше года:$$P(A)=0.97$$Вероятность того, что чайник прослужит больше двух лет:$$P(B)=0.89$$Вероятность того, что чайник прослужит меньше двух лет, но больше года, равна разности вероятностей $P(A)\\spaceи\\space P(B)$:$$P=P(A)−P(B)$$$$P=0.97−0.89=0.08$$"]},{"content":"Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся О. верно решит больше $11$ задач, равна $0.67$. Вероятность того, что О. верно решит больше $10$ задач, равна $0.74$. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно $11$ задач.[[fill_choice_big-824]][[image-199]]","widgets":{"fill_choice_big-824":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.07$","$0.09$","$0.11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-199":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/uchenyi-listik-mikroskop-01-2.svg","width":"300"}},"hints":["Вероятность того, что О. решит больше $11$ задач:$$P(A)=0.67$$Вероятность того, что О. решит больше $10$ задач:$$P(B)=0.74$$Вероятность того, что О. решит ровно $11$ задач, равна разности вероятностей $P(B)\\spaceи\\space P(A)$:$$P=P(B)−P(A)$$$$P=0.74−0.67=0.07$$"]},{"content":"В кафе каждому посетителю приносят бесплатно один комплимент от заведения, которого нет в меню. Вероятность того, что в качестве комплимента от заведения принесут тарталетку с сыром, равна $0.25$. Вероятность того, что в качестве комплимента принесут рогалик, равна $0.35$. Найдите вероятность того, что в качестве комплимента от заведения посетителю И. принесут одно из двух: тарталетку с сыром или рогалик.[[fill_choice_big-918]]<br /><br />[[image-234]]","widgets":{"fill_choice_big-918":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.6$","$0.9$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-234":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/povar-obed-stolovaya-sidyat-za-stolom.svg","width":"300"}},"hints":["Так как события «Принесут тарелку с сыром» и «Принесут рогалик» несовместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей:$$0.25+0.35=0.6$$"]},{"content":"В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью $0.3$. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).[[fill_choice_big-1024]][[image-271]]","widgets":{"fill_choice_big-1024":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.027$","$0.025$","$0.029$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-271":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/shop-assistant.svg","width":"300"}},"hints":["Вероятность того, что один продавец занят:$$P=0.3$$Так как продавцы работают независимо, вероятность того, что все три продавца заняты одновременно, равна произведению вероятностей:$$P=P^3$$$$P=0.3^3=0.027$$"]},{"content":"На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: $4$ с мясом, $8$ с капустой и $3$ с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.[[fill_choice_big-1368]][[image-310]]","widgets":{"fill_choice_big-1368":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.2$","$0.4$","$0.6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-310":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/pirog-zebra-01.svg","width":"300"}},"hints":["Петя может выбрать любой из  пирожков, поэтому количество всех возможных исходов: $$4+8+3=15$$Количество исходов, в которых Петя выбрал пирожок с вишней, равно $3$.<br /> Значит, искомая вероятность равна:$$\\frac{3}{15}=\\frac{1}{5}=0.2$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «сумма очков равна $5$»?[[fill_choice_big-1]][[image-31]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$2$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-31":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/komnata-detskaya-deti-igrushki-kubiki-1.svg","width":"300"}},"hints":["Найдём количество исходов, при которых сумма очков равна $5$. Перечислим все возможные комбинации:$$(1+4)(2+3)(3+2)(4+1)$$$$ Благоприятных\\spaceисходов=4$$"]},{"content":"На рок-фестивале выступают группы  — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.[[fill_choice_big-37]][[image-54]]","widgets":{"fill_choice_big-37":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.35$","$0.33$","$0.34$"],"placeholder":0,"answer":1},"image-54":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/funk-01.svg","width":"300"}},"hints":["Общее количество возможных порядков выступления для трёх групп (Дания, Швеция, Норвегия) равно числу перестановок из $3$ элементов:$$3!=6$$Теперь найдём количество благоприятных исходов, когда группа из Дании выступает после групп из Швеции и Норвегии. Возможные варианты:$$Швеция-Норвегия-Дания$$$$Норвегия-Швеция-Дания$$Таким образом, благоприятных исходов $2$. <br />Вероятность события  равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$$P=\\frac{2}{6}=\\frac{1}{3}\\approx0.33$$<br />"]},{"content":"В некотором городе из $5\\space000$ появившихся на свет младенцев $2\\space512$ мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.[[fill_choice_big-79]][[image-79]]","widgets":{"fill_choice_big-79":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.498$","$0.489$","$0.499$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-79":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/01/gorod-01.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем количество девочек: $$5\\space000−2\\space512=2\\space488$$Частота рождения девочек вычисляется как отношение числа девочек к общему числу младенцев: $$Частота=\\frac{2\\space488}{5\\space000}\\approx0,498$$"]},{"content":"На борту самолёта $12$ мест рядом с запасными выходами и $18$ мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир А. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру А. достанется удобное место, если всего в самолёте $300$ мест.[[fill_choice_big-148]][[image-106]]","widgets":{"fill_choice_big-148":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.1$","$0.3$","$0.6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-106":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/samolet-3.svg","width":"300"}},"hints":["Всего удобных мест:$$12+18=30$$Вероятность того, что пассажиру А. достанется удобное место, равна отношению числа удобных мест к общему числу мест:$$P=\\frac{30}{300}=\\frac{1}{10}=0.1$$"]},{"content":"На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по $120$ человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было $250$ участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.[[fill_choice_big-245]][[image-135]]","widgets":{"fill_choice_big-245":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.04$","$0.4$","$0.14$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-135":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/02/test-01.svg","width":"300"}},"hints":["Количество участников в первых двух аудиториях:$$120+120=240$$Количество участников в запасной аудитории:$$250−240=10$$Вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории, равна отношению числа участников в запасной аудитории к общему числу участников:$$P=\\frac{10}{250}=\\frac{1}{25}=0.04$$"]},{"content":"В группе туристов $30$ человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по $6$ человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.[[fill_choice_big-299]][[image-166]]","widgets":{"fill_choice_big-299":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.2$","$0.5$","$0.4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-166":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/vertolet-1.svg","width":"300"}},"hints":["Вероятность того, что турист П. попадёт на первый рейс, равна отношению числа мест в первом рейсе к общему числу туристов:$$P=\\frac{6}{30}=\\frac{1}{5}=0.2$$"]},{"content":"Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна $0.045$. В некотором городе из $1\\space000$ проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила $51$ штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?[[fill_choice_big-434]][[image-199]]","widgets":{"fill_choice_big-434":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.006$","$0.004$","$0.008$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-199":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/watch-TV.svg","width":"300"}},"hints":["Частота события «гарантийный ремонт» вычисляется как отношение числа поступивших в ремонт к общему числу проданных:$$Частота=\\frac{51}{1\\space000}=0.051$$Разница между частотой и вероятностью:$$0.051−0.045=0.006$$"]},{"content":"В кармане у Миши было четыре конфеты  — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».[[fill_choice_big-561]][[image-234]]","widgets":{"fill_choice_big-561":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.75$","$0.25$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":1},"image-234":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/06/cake-dino-1-01.svg","width":"300"}},"hints":["Вероятность потери конфеты «Грильяж» равна отношению числа благоприятных исходов к общему количеству конфет:$$\\frac{1}{4}=0.25$$<br />"]},{"content":"Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки $10$, но не дойдя до отметки $1$ час.[[fill_choice_big-1018]][[image-271]]","widgets":{"fill_choice_big-1018":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.25$","$0.5$","$0.75$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-271":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/04/sidit-chasy.svg","width":"300"}},"hints":["Общее количество часов на циферблате: $12$.<br />Интервал, в котором должна остановиться часовая стрелка: от $10$ до $1$ часа. Этот интервал включает в себя $3$ часа $(10-11-12)$. <br />Вероятность того, что часовая стрелка остановится в этом интервале, равна отношению длины интервала к общему количеству часов:$$P=\\frac{3}{12}=\\frac{1}{4}=0.25$$"]},{"content":"В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в $19$ раз больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.[[fill_choice_big-851]][[image-310]]","widgets":{"fill_choice_big-851":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.05$","$0.1$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-310":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/5pm-tea.svg","width":"300"}},"hints":["Пусть количество пакетиков с зелёным чаем равно $x$.<br />Тогда количество пакетиков с чёрным чаем равно $19x$.<br />Общее количество пакетиков в коробке:$$x+19x=20x$$Вероятность того, что случайно выбранный пакетик окажется с зелёным чаем, равна отношению числа пакетиков с зелёным чаем к общему числу пакетиков:$$\\frac{x}{20x}=\\frac{1}{20}=0.05$$<br /><br />"]}]}

{"questions":[{"content":"В соревнованиях по толканию ядра участвуют $4$ спортсмена из Финляндии, $7$ спортсменов из Дании, $9$ спортсменов из Швеции и $5$  — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.<br /><br />[[fill_choice_big-1]][[image-31]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.36$","$0.39$","$0.37$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-31":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/sport-01.svg","width":"300"}},"hints":["Общее количество спортсменов: $$4+7+9+5=25$$Вероятность того, что последний спортсмен будет из Швеции: $$ P=\\frac{Количество\\spaceспортсменов\\spaceиз\\space Швеции}{Общее\\spaceколичество\\spaceспортсменов}$$$$\\frac{9}{25}=0.36$$"]},{"content":"Научная конференция проводится в $5$ дней. Всего запланировано $75$ докладов  — первые три дня по $17$ докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?[[fill_choice_big-27]][[image-54]]","widgets":{"fill_choice_big-27":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.16$","$0.14$","$0.15$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-54":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/student-uchenik.svg","width":"300"}},"hints":["Вычислим количество докладов в четвёртый и пятый дни.<br /><br />Доклады в первые три дня: $$3\\cdot17=51$$Оставшиеся доклады: $$75−51=24$$ Доклады в четвёртый день:$$\\frac{24}{2}=12$$ $$Доклады\\spaceв\\spaceпятый\\spaceдень = 12$$ <br /><br />Вероятность того, что доклад профессора М. окажется в последний день:$$P=\\frac{Количество\\spaceдокладов\\spaceв\\spaceпятый\\spaceдень}{Общее\\spaceколичество\\spaceдокладов}$$$$\\frac{12}{75}=\\frac{4}{25}=0.16$$"]},{"content":"Конкурс исполнителей проводится в $5$ дней. Всего заявлено $80$ выступлений  — по одному от каждой страны. В первый день $8$ выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?[[fill_choice_big-82]][[image-79]]","widgets":{"fill_choice_big-82":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.225$","$0.255$","$0.222$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-79":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/soul-01.svg","width":"300"}},"hints":["Вычислим количество выступлений в оставшиеся дни:<br />Выступления в первый день — $8$. <br />Оставшиеся выступления:$$80−8=72$$Количество оставшихся дней — $4$. $$<br />Выступления в каждый из  оставшихся дней:$$\\frac{72}{4}=18$$Вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день:$$P=\\frac{Количество\\spaceвыступлений\\spaceв\\spaceтретий\\spaceдень}{Общее\\spaceколичество\\spaceвыступлений}$$$$\\frac{18}{80}=\\frac{9}{40}=0.225$$"]},{"content":"На семинар приехали $3$ ученых из Норвегии, $3$ из России и $4$ из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.[[fill_choice_big-188]][[image-106]]","widgets":{"fill_choice_big-188":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.1$","$0.3$","$0.6$"],"placeholder":0,"answer":1},"image-106":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/pterodaktil-uchenyj-mikroskop-uchenyj-himik-himiya.svg","width":"300"}},"hints":["Общее количество учёных:$$3+3+4=10$$<br />Вероятность того, что восьмым окажется доклад учёного из России:$$P=\\frac{Количество\\spaceучёных\\spaceиз\\spaceРоссии}{Общее\\spaceколичество\\spaceучёных}$$$$\\frac{3}{10}=0.3$$"]},{"content":"Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует $26$ бадминтонистов, среди которых $10$ спортсменов из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.[[fill_choice_big-314]][[image-135]]","widgets":{"fill_choice_big-314":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.36$","$0.33$","$0.34$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-135":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/poluchaet-nagradu-01.svg","width":"300"}},"hints":["Руслан Орлов не может играть сам с собой, поэтому число возможных соперников:$$26−1=25$$Количество благоприятных исходов (соперник из России). Руслан Орлов уже учтён, поэтому число возможных соперников из России:$$10−1=9$$Вероятность:$$P=\\frac{Количество\\spaceблагоприятных\\spaceисходов}{Общее\\spaceчисло\\spaceвозможных\\spaceисходов}=\\frac{9}{25}$$$$\\frac{9}{25}=0.36$$<br />"]},{"content":"В сборнике билетов по биологии всего $55$ билетов, в $11$ из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.[[fill_choice_big-416]][[image-166]]","widgets":{"fill_choice_big-416":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.2$","$0.4$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-166":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/uchenyi-listik-mikroskop-01-2.svg","width":"300"}},"hints":["Вероятность того, что школьнику достанется билет с вопросом по ботанике:$$P=\\frac{Количество\\spaceбилетов\\spaceс\\spaceвопросом\\spaceпо\\spaceботанике}{Общее\\spaceколичество\\spaceбилетов}$$$$\\frac{11}{55}=\\frac{1}{5}=0.2$$"]},{"content":"В сборнике билетов по математике всего $25$ билетов, в $10$ из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.[[fill_choice_big-506]][[image-199]]","widgets":{"fill_choice_big-506":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.4$","$0.6$","$0.8$"],"placeholder":0,"answer":1},"image-199":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/dumaet-nad-formulami-na-doske-formuly-doska.svg","width":"303"}},"hints":["Количество билетов без вопроса по неравенствам:$$25−10=15$$Вероятность того, что школьнику достанется билет без вопроса по неравенствам:$$P=\\frac{Количество\\spaceбилетов\\spaceбез\\spaceвопроса\\spaceпо\\spaceнеравенствам}{Общее\\spaceколичество\\spaceбилетов}$$$$\\frac{15}{25}=\\frac{3}{5}=0.6$$"]},{"content":"На чемпионате по прыжкам в воду выступают $25$ спортсменов, среди них $8$ прыгунов из России и $9$ прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.[[fill_choice_big-67]][[image-234]]","widgets":{"fill_choice_big-67":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.36$","$0.34$","$0.33$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-234":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/bassei-n-01-2.svg","width":"300"}},"hints":["$$P=\\frac{Количество\\spaceпрыгунов\\spaceиз\\spaceПарагвая}{Общее\\spaceколичество\\spaceспортсменов}$$$$\\frac{9}{25}=0.36$$"]},{"content":"Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий  — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.[[fill_choice_big-362]][[image-271]]","widgets":{"fill_choice_big-362":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.25$","$0.2$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-271":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/viktorina.svg","width":"300"}},"hints":["Участники: Вася, Петя, Коля и Лёша (всего $4$ человека).<br />Поскольку жребий бросается случайным образом, вероятность для каждого участника начать игру одинакова. Таким образом, вероятность того, что Петя начнёт игру, равна отношению Пети к общему числу участников:$$\\frac{1}{4}=0.25$$<br />"]},{"content":"На клавиатуре телефона $10$ цифр, от $0$ до $9$. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?[[fill_choice_big-428]][[image-310]]","widgets":{"fill_choice_big-428":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.5$","$0.2$","$0.25$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-310":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/mobile_phone.svg","width":"300"}},"hints":["Чётные цифры: $0, 2, 4, 6, 8$ (всего $5$ цифр).<br />Вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной:$$P=\\frac{Количество\\spaceчётных\\spaceцифр}{Общее\\spaceколичество\\spaceцифр}$$$$\\frac{5}{10}=\\frac{1}{2}=0.5$$"]}]}

{"questions":[{"content":"На экзамен вынесено $60$ вопросов, Андрей не выучил $3$ из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.[[fill_choice_big-789]][[image-1733]]","widgets":{"fill_choice_big-789":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.95$","$0.90$","$0.85$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1733":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/02/test-01.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем количество выученных вопросов:$$Выученные\\spaceвопросы=60−3=57$$Вероятность $P$ того, что попадется выученный вопрос, вычисляется по формуле:$$P=\\frac{Количество\\spaceвыученных\\spaceвопросов}{Общее\\spaceколичество\\spaceвопросов}$$$$P=\\frac{57}{60}=\\frac{19}{20}=0.95$$"]},{"content":"Маша включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по девяти каналам из сорока пяти показывают новости. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где новости не идут.[[fill_choice_big-1]][[image-1756]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.4$","$0.8$","$0.17$"],"placeholder":0,"answer":1},"image-1756":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/pered-telivezirom-telik-03-01.svg","width":"300"}},"explanation":"<br /><br /><br />","hints":["Найдем количество каналов, где новости не идут:$$Каналы\\spaceбез\\spaceновостей=45−9=36$$<br />Вероятность $P$ того, что Маша попадет на канал без новостей, вычисляется по формуле:<br />$$P=\\frac{Количество\\spaceканалов\\spaceбез\\spaceновостей}{Общее\\spaceколичество\\spaceканалов}$$$$P=\\frac{36}{45}=\\frac{4}{5}=0.8$$"]},{"content":"В фирме такси в данный момент свободно $20$  машин: $10$  черных, $2$  желтых и $8$  зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.[[fill_choice_big-16]][[image-1781]]","widgets":{"fill_choice_big-16":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.4$","$0.5$","$0.6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1781":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/taksi.svg","width":"300"}},"hints":["$$P=\\frac{Количество\\spaceблагоприятных\\spaceисходов}{Общее\\spaceколичество\\space исходов}$$$$P=\\frac{8}{20}=\\frac{2}{5}=0.4$$"]},{"content":"На тарелке $16$ пирожков: $7$ с рыбой, $5$ с вареньем и $4$ с вишней. Юля наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.[[fill_choice_big-60]][[image-1808]]","widgets":{"fill_choice_big-60":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.25$","$0.20$","$0.35$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1808":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/pirog-zebra-01.svg","width":"301"}},"hints":["$$P=\\frac{Количество\\spaceблагоприятных\\spaceисходов}{Общее\\spaceколичество\\space исходов}$$$$P=\\frac{4}{16}=\\frac{1}{4}=0.25$$<br />"]},{"content":"Родительский комитет закупил $30$ пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них $12$ с картинками известных художников и $18$ с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вове достанется пазл с животным.[[fill_choice_big-130]][[image-1866]]","widgets":{"fill_choice_big-130":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.6$","$0.7$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1866":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/pazl-sobiraet-.svg","width":"303"}},"hints":["$$P=\\frac{Количество\\spaceблагоприятных\\spaceисходов}{Общее\\spaceколичество\\space исходов}$$$$P=\\frac{18}{30}=\\frac{3}{5}=0.6$$<br />"]},{"content":"В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет $8$ очков. Результат округлите до сотых.[[fill_choice_big-890]][[image-1912]]","widgets":{"fill_choice_big-890":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.14$","$0.15$","$0.13$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1912":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/komnata-detskaya-deti-igrushki-kubiki-1.svg","width":"300"}},"hints":["Каждая игральная кость имеет $6$ граней. При бросании двух костей общее количество возможных комбинаций равно:$$6\\cdot6=36$$Найдем количество благоприятных исходов (комбинаций, дающих в сумме $8$ очков).$$(2+6)(3+5)(4+4)(5+3)(6+2)$$Всего таких комбинаций: $5$.<br />Вычислим вероятность:$$P=\\frac{Количество\\spaceблагоприятных\\spaceисходов}{Общее\\spaceколичество\\space исходов}$$$$\\frac{5}{36}\\approx0.1389=0.14$$<br /><br />"]},{"content":"В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.[[fill_choice_big-363]][[image-1945]]","widgets":{"fill_choice_big-363":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.5$","$1$","$0.25$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1945":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/dengi.svg","width":"300"}},"hints":["При каждом бросании монеты возможно два исхода: орёл  или решка . При двукратном бросании общее количество возможных исходов равно:$$2\\cdot2=4$$Перечислим все возможные комбинации:$$(орел-орел)(орел-решка)$$$$(решка-орел)(решка-решка)$$Благоприятные исходы:$$(орел−решка)(решка−орел)$$Всего таких исходов: $2$.<br />Вычислим вероятность:$$P=\\frac{Количество\\spaceблагоприятных\\spaceисходов}{Общее\\spaceколичество\\space исходов}$$$$\\frac{2}{4}=\\frac{1}{2}=0.5$$"]},{"content":"В чемпионате по гимнастике участвуют $20$ спортсменок: $8$ из России, $7$ из США, остальные  — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.[[fill_choice_big-461]][[image-1980]]","widgets":{"fill_choice_big-461":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.25$","$0.5$","$0.75$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1980":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/kubok.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем количество спортсменок из Китая:$$20−8−7=5$$Вычислим вероятность:$$P=\\frac{Количество\\spaceблагоприятных\\spaceисходов}{Общее\\spaceколичество\\space исходов}$$$$\\frac{5}{20}=\\frac{1}{4}=0.25$$<br />"]},{"content":"В среднем из $1\\space000$ садовых насосов, поступивших в продажу, $5$ подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.[[fill_choice_big-568]][[image-2017]]","widgets":{"fill_choice_big-568":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.995$","$0.005$","$0.950$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2017":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/udobreniya-polivaet-rastenie-sad-ogorod-3.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем количество насосов, которые не подтекают:$$1\\space000-5=995$$Вычислим вероятность:$$P=\\frac{Количество\\spaceблагоприятных\\spaceисходов}{Общее\\spaceколичество\\space исходов}$$$$\\frac{995}{1\\space000}=0.995$$"]},{"content":"Фабрика выпускает сумки. В среднем из $300$ сумок, поступивших в продажу, $18$ сумок имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется без скрытых дефектов.[[fill_choice_big-708]][[image-2056]]","widgets":{"fill_choice_big-708":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.94$","$0.95$","$0.96$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2056":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/kniga_obrazavr-01.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем количество сумок без скрытых дефектов:$$300−18=282$$Вычислим вероятность:$$P=\\frac{Количество\\spaceблагоприятных\\spaceисходов}{Общее\\spaceколичество\\space исходов}$$$$\\frac{282}{300}=0.94$$"]}]}