13. Неравенства и системы неравенств: все задания

Решим первое неравенство:

$-35+5x<0$
$5x<35$
$x<7$

Решим второе неравенство:

$6-3x>-18$
$-3x>-24$
$x<8$

Получаем систему:

$$\left\{\begin{aligned}x&<7,\\x&<8.\end{aligned}\right.$$

Общее решение: $x<7$.

Такому ответу соответствует вариант $2$.

Решим первое неравенство:

$-12+3x<0$
$3x<12$
$x<4$

Решим второе неравенство:

$9-4x>-23$
$-4x>-32$
$x<8$

Получаем систему:

$$\left\{\begin{aligned}x&<4,\\x&<8.\end{aligned}\right.$$

Общее решение: $x<4$.

На числовой прямой это пустая точка в $4$ и штриховка влево. Такому изображению соответствует вариант $3$.

Решим первое неравенство:

$-9+3x<0$
$3x<9$
$x<3$

Решим второе неравенство:

$2-3x<-10$
$-3x<-12$
$x>4$

Получаем систему:

$$\left\{\begin{aligned}x&<3,\\x&>4.\end{aligned}\right.$$

Общих решений нет, так как число не может быть одновременно меньше $3$ и больше $4$.

Такому ответу соответствует вариант $2$.

По рисунку видно, что число $a$ находится между $7$ и $8$:

$$7<a<8$$

Проверим варианты:

$8-a>0$ означает, что $a<8$. Это верно.

Остальные утверждения неверны, так как $a$ не больше $8$, не меньше $7$ и не больше $9$.

По рисунку видно, что число $y$ находится левее нуля, а число $x$ — правее нуля.

Значит:

$y<0$
$x>0$

Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно: $xy<0$.

Такому ответу соответствует вариант $2$.

Решим первое неравенство:

$x+2{,}8\le0$
$x\le-2{,}8$

Решим второе неравенство:

$x+0{,}3\le-1{,}4$
$x\le-1{,}7$

Получаем систему:

$$\left\{\begin{aligned}x&\le-2{,}8,\\x&\le-1{,}7.\end{aligned}\right.$$

Общее решение: $x\le-2{,}8$.

Такому ответу соответствует вариант $1$.

Найдём нули множителей:

$x+8=0$
$x=-8$

$x-3=0$
$x=3$

Отметим точки $-8$ и $3$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки не включаются.

Произведение двух множителей отрицательно между корнями:

$-8<x<3$

Такому ответу соответствует вариант $1$.

Разложим выражение на множители:

$10x-x^2=x(10-x)$

Получаем неравенство:

$x(10-x)\le0$

Нули множителей:

$x=0$
$x=10$

Произведение неположительно вне промежутка между корнями, сами точки входят, так как знак $\le$.

Значит, решение:

$(-\infty;0]\cup[10;+\infty)$

Такому ответу соответствует вариант $2$.

Найдём нули множителей:

$x+5=0$
$x=-5$

$x-2=0$
$x=2$

Отметим точки $-5$ и $2$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки не включаются.

Произведение двух множителей отрицательно между корнями:

$-5<x<2$

Такому ответу соответствует вариант $4$.

Решим неравенство:

$49x^2\ge36$

$x^2\ge\frac{36}{49}$

$x^2\ge\left(\frac{6}{7}\right)^2$

Значит:

$x\le-\frac{6}{7}$ или $x\ge\frac{6}{7}$

Решение:

$(-\infty;-\frac{6}{7}]\cup[\frac{6}{7};+\infty)$

Такому ответу соответствует вариант $4$.

Разложим выражение на множители:

$8x-x^2=x(8-x)$

Получаем неравенство:

$x(8-x)\ge0$

Нули множителей:

$x=0$
$x=8$

Произведение неотрицательно между корнями, сами точки входят, так как знак $\ge$.

Значит, решение:

$[0;8]$

Такому ответу соответствует вариант $2$.

По рисунку видно, что число $b$ находится левее нуля, а число $a$ — правее нуля.

Значит:

$b<0$
$a>0$

Так как $b^2>0$ и $a>0$, то:

$ab^2>0$

Такому ответу соответствует вариант $1$.

Решим первое неравенство:

$x-6{,}6\ge0$
$x\ge6{,}6$

Решим второе неравенство:

$x+1\ge5$
$x\ge4$

Получаем систему:

$$\left\{\begin{aligned}x&\ge6{,}6,\\x&\ge4.\end{aligned}\right.$$

Общее решение: $x\ge6{,}6$.

Такому ответу соответствует вариант $3$.

На рисунке отмечены точки $-7$ и $7$, они не входят в решение, так как точки пустые.

Штриховка идёт влево от $-7$ и вправо от $7$, значит решение:

$(-\infty;-7)\cup(7;+\infty)$

Такое решение имеет неравенство:

$x^2-49>0$

Такому ответу соответствует вариант $1$.

По рисунку видно, что числа расположены так:

$z<y<x$

Проверим разности:

$z-x<0$, так как $z<x$
$x-y>0$, так как $x>y$
$z-y<0$, так как $z<y$

Положительной является разность $x-y$.

Такому ответу соответствует вариант $2$.

Решим неравенство:

$-3-x\ge x-6$
$-x-x\ge -6+3$
$-2x\ge -3$
$x\le1{,}5$

Решение: $(-\infty;1{,}5]$

Такому ответу соответствует вариант $1$.

По рисунку видно, что числа расположены так:

$a<b<c$

Проверим разности:

$a-b<0$, так как $a<b$
$a-c<0$, так как $a<c$
$c-b>0$, так как $c>b$

Положительной является разность $c-b$.

Такому ответу соответствует вариант $3$.

Найдём нули множителей:

$x+1=0$
$x=-1$

$x-9=0$
$x=9$

Отметим точки $-1$ и $9$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки не включаются.

Произведение двух множителей положительно вне промежутка между корнями:

$x<-1$ или $x>9$

Решение:

$(-\infty;-1)\cup(9;+\infty)$

Такому ответу соответствует вариант $2$.

Разложим выражение на множители:

$7x-x^2=x(7-x)$

Получаем неравенство:

$x(7-x)\ge0$

Нули множителей:

$x=0$
$x=7$

Произведение неотрицательно между корнями, сами точки входят, так как знак $\ge$.

Значит, решение:

$[0;7]$

Такому ответу соответствует вариант $4$.

Решим неравенство:

$-3-3x<7x-9$
$-3+9<7x+3x$
$6<10x$
$x>0{,}6$

Решение:

$(0{,}6;+\infty)$

Такому ответу соответствует вариант $3$.