9 класс Геометрия Метод координат Уравнения окружности и прямой

Уравнение окружности и уравнение линии

Содержание

В прошлом уроке вы научились находить расстояние между точками по координатам. Сегодня этот инструмент превратит окружность в уравнение: вы узнаете, что такое уравнение линии, выведете уравнение окружности, научитесь читать по нему центр и радиус и проверять положение точки. Урок дополняет урок «Уравнение окружности» примерами, разбором типичной ошибки и заданиями.

Как узнать, в зоне ли дом, не рисуя круг

Карта города на клетчатой бумаге: сторона клетки — $1$ км, перекрестки — точки с целыми координатами. На перекрестке $Q(3;2)$ стоит вышка связи, она уверенно принимает сигнал на расстоянии до $5$ км. Зона покрытия — круг с центром $Q$ и радиусом $5$, его граница — окружность.

Три дома стоят в точках $D(7;5)$, $E(-1;6)$ и $F(5;4)$. Какие из них в зоне? На бумаге можно провести окружность циркулем. Но у компьютера циркуля нет — он хранит только числа. Нужен способ ответить «внутри, на границе или вне» одними вычислениями по координатам. Ответ появится в пятом разделе.

Карта на клетках: вышка Q(3;2) с радиусом зоны 5 км и дома D(7;5), E(−1;6), F(5;4) со знаками «?» — попадает ли дом в зону, из рисунка не видно, нужны координаты — Вышка в точке Q(3;2) и дома D, E, F на карте-сетке: окружность не проведена — ответ нужно получить из координат

Инструмент у вас уже есть. Расстояние между точками $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$ — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $\lvert x_2-x_1 \rvert$ и $\lvert y_2-y_1 \rvert$, и по теореме Пифагора ее длина находится по формуле ниже.

Расстояние между точками $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$ (прошлый урок): $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. Например, для $A(-2;1)$ и $B(3;13)$: $AB=\sqrt{(3-(-2))^2+(13-1)^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$. «Пифагор на клетках»: $5$ клеток вправо, $12$ вверх — по прямой $13$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На клетчатой бумаге со стороной клетки $1$ отмечены центр окружности $Q(2;1)$ и точка $A(8;9)$ на ней. Найдите радиус окружности. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xaye2lmtxlhy.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Радиус $QA$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами по клеткам.","Катеты: $6$ и $8$; $QA=\\sqrt{6^2+8^2}=\\sqrt{100}=10$. Ответ: 10."],"step":1}],"mix":1}

Уравнение линии — это пропуск для точки

Посмотрим на две простые линии. Прямая, проходящая через начало координат под углом $45^\circ$ к осям, состоит из точек, у которых абсцисса равна ординате: $(3;3)$, $(-5;-5)$, $(0;0)$. Все они подчиняются одному условию: $y=x$. А точка $(3;-3)$ ему не подчиняется — и действительно, на этой прямой ее нет.

Вертикальная прямая, проходящая через точку $(2;0)$, состоит из точек с абсциссой $2$: $(2;5)$, $(2;-1)$, $(2;0)$. Условие: $x=2$, ордината любая. Точка $(5;2)$ проверку не проходит: у нее $x=5$.

Уравнение — пропуск: слева прямая y = x — точки (3;3) и (−5;−5) проходят проверку, (3;−3) нет; справа прямая x = 2 — (2;5) и (2;−1) проходят, (5;2) нет — Условие линии — пропуск: точка проходит проверку и лежит на линии, не проходит — лежит вне ее

Значит, линию можно задать не рисунком, а условием на координаты. Точка предъявляет координаты $x$ и $y$, мы подставляем их в уравнение. Равенство верное — пропуск действует, точка на линии; неверное — точка вне линии. Так в седьмом классе вы описывали геометрическое место точек: условие на точку оставляет след. Теперь условие записано формулой.

Определение

Уравнением линии называют уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки линии и не удовлетворяют координаты точек вне ее.

Обратите внимание

В определении два условия, и оба обязательны. Без второго уравнение $0=0$ подошло бы любой линии — ему удовлетворяют все точки плоскости. Второе условие отсекает лишние точки: уравнение описывает линию и ничего больше.

Пример 1

Линия задана уравнением $y=2x$. Лежат ли на ней точки $K(4;8)$ и $L(8;4)$?

Точка $K$: подставим $x=4$, $y=8$. Получаем $8=2\cdot4$ — верно, пропуск действует: $K$ лежит на линии.

Точка $L$: подставим $x=8$, $y=4$. Получаем $4=2\cdot8=16$ — неверно: $L$ вне линии. Порядок важен: первая координата — всегда $x$, вторая — $y$.

Ответ: $K$ — на линии, $L$ — нет.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Линия задана уравнением $y=2x$. Какая из точек лежит на этой линии?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/h5loxi4gz9e3.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$C(2;5)$","$D(1;3)$","$B(6;3)$","$A(3;6)$"],"explanations":["$5\\ne2\\cdot2=4$ — проверка не пройдена, точка выше линии","$3\\ne2\\cdot1=2$ — точка не на линии, хотя близко к ней","Координаты перепутаны местами: $3\\ne2\\cdot6$; первая координата — это $x$, вторая — $y$",""],"answer":[3]}},"hints":["Точка лежит на линии, если ее координаты удовлетворяют уравнению: подставьте $x$ и $y$ и проверьте равенство.","$6=2\\cdot3$ — верно, остальные пары равенство не дают. Ответ: $A(3;6)$."],"step":1},{"content":"Уравнение с двумя переменными называют уравнением линии, если…[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["В нем есть переменные $x$ и $y$ и линия проходит через начало координат","Ему удовлетворяют координаты хотя бы одной точки линии","Ему удовлетворяют координаты каждой точки линии","Ему удовлетворяют координаты каждой точки линии и не удовлетворяют координаты точек вне ее"],"explanations":["Начало координат ни при чем: линия $x=2$ его не содержит, но уравнение у нее есть","Одной точки мало: уравнению должны отвечать все точки линии, и только они","Потеряно второе условие: тогда уравнение $0=0$ подошло бы любой линии — ему удовлетворяют все точки плоскости",""],"answer":[3]}},"hints":["В определении два условия: координаты каждой точки линии удовлетворяют уравнению, а координаты точек вне линии — не удовлетворяют.","Оба условия обязательны: иначе уравнение описывало бы либо не всю линию, либо лишние точки."],"step":1}],"mix":1}

Выводим уравнение окружности

Чем окружность отличается от других линий? Все ее точки — на одном расстоянии от центра. Маршрут из центра $Q$ в любую точку окружности имеет одну и ту же длину — радиус $r$; маршрут длины $r$ к точкам внутри круга и вне его не приводит. Условие «расстояние от $Q$ до точки равно $r$» — и есть пропуск на окружность.

Запишем это условие формулой. Пусть центр — точка $Q(a;b)$, радиус $r$, а $M(x;y)$ — произвольная точка окружности. Тогда $QM=r$. Расстояние $QM$ мы умеем считать:

Обе части неотрицательны; возведем их в квадрат и получим уравнение без корня.

Уравнение окружности

Окружность с центром $Q(a;b)$ и радиусом $r$ задается уравнением

Вывод уравнения окружности: центр Q(a;b), точка M(x;y) на окружности, катеты |x − a| и |y − b|, гипотенуза r; вторая точка M' на том же расстоянии r; (x − a)² + (y − b)² = r² — Для любой точки M(x;y) окружности катеты равны |x−a| и |y−b|, их квадраты — (x−a)² и (y−b)²; гипотенуза QM — радиус: квадрат гипотенузы и дает уравнение

Это настоящее уравнение линии: для каждой точки окружности $QM=r$, значит $QM^2=r^2$; для точки вне окружности $QM\ne r$, значит и $QM^2\ne r^2$. Оба условия определения выполнены.

Запомните, где что стоит: в скобках — разности (из координаты точки вычитается координата центра), справа — не радиус, а его квадрат.

Пример 2

Запишите уравнение окружности с центром $Q(-1;4)$ и радиусом $2$. Проверьте, лежит ли на ней точка $P(1;4)$.

Подставим $a=-1$, $b=4$, $r=2$ в образец $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. Скобка с $x$: $x-(-1)=x+1$. Скобка с $y$: $y-4$. Справа $r^2=2^2=4$:

Проверка точкой $P(1;4)$: $(1+1)^2+(4-4)^2=4+0=4$ — равенство верное, пропуск действует, $P$ лежит на окружности. И правда: от центра до $P$ ровно $2$ клетки вправо.

Ответ: $(x+1)^2+(y-4)^2=4$; точка $P$ лежит на окружности.

Особый случай — центр в начале координат: $a=0$ и $b=0$. Скобки $x-0$ и $y-0$ превращаются просто в $x$ и $y$, и уравнение становится короче: $x^2+y^2=r^2$. Например, окружность $x^2+y^2=25$ имеет центр $(0;0)$ и радиус $5$; на ней лежат точки $(3;4)$, $(-5;0)$, $(0;5)$, $(4;-3)$ — для каждой сумма квадратов координат равна $25$. А точка $(5;5)$ — нет: $25+25=50\ne25$.

{"questions":[{"content":"Запишите уравнение окружности с центром $Q(3;-2)$ и радиусом $r=4$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(x-3)^2+(y+2)^2=4$","$(x-3)^2+(y+2)^2=16$","$(x+3)^2+(y-2)^2=16$","$(x+3)^2+(y-2)^2=4$"],"explanations":["В правой части должен стоять квадрат радиуса: $r^2=4^2=16$, а не $r=4$","","Знаки в скобках противоположны координатам центра: $x-a$ при $a=3$ дает $x-3$, а $y-(-2)$ дает $y+2$","Две ошибки сразу: знаки в скобках и радиус без квадрата"],"answer":[1]}},"hints":["Точка $M(x;y)$ лежит на окружности, если $QM=r$. По формуле расстояния $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, где $(a;b)$ — центр.","Подставим $a=3$, $b=-2$, $r^2=16$: в скобке с $y$ получится $y-(-2)=y+2$.","Ответ: $(x-3)^2+(y+2)^2=16$."],"step":1},{"content":"Окружность с центром в начале координат и радиусом $6$ задается уравнением $x^2+y^2=[[fill_choice-1]]$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["18","6","12","36"],"answer":3}},"hints":["Центр $(0;0)$: в скобках $x-0$ и $y-0$, остаются $x^2$ и $y^2$.","Справа квадрат радиуса: $6^2=36$. Ответ: $36$."],"step":1}],"mix":1}

Читаем уравнение: где центр и какой радиус

Теперь обратная задача: уравнение дано, нужно увидеть окружность. Возьмем $(x+2)^2+(y-1)^2=9$ и сравним с образцом $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.

Скобка с $y$ читается сразу: $y-1$ означает $b=1$. Скобка с $x$ коварнее: в образце стоит $x-a$, а у нас $x+2$. Значит, $x-a=x+2$, откуда $a=-2$. Плюс в скобке появляется потому, что вычитается отрицательное число: $x-(-2)=x+2$. Центр — $(-2;1)$.

Справа $9$. Но справа стоит не радиус, а $r^2$. Значит, $r^2=9$ и $r=3$. Итак: центр $(-2;1)$, радиус $3$.

Правило

В уравнении $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ знак в скобке противоположен знаку координаты центра: $x+2$ дает $a=-2$, $x-2$ дает $a=2$. Радиус — корень из правой части: $r=\sqrt{r^2}$.

Проверка центра: при подстановке его координат обе скобки обращаются в нуль.

Справа должно стоять положительное число. При $0$ уравнению удовлетворяет одна точка — центр: $(x-1)^2+(y+2)^2=0$ верно только при $x=1$, $y=-2$. При отрицательном числе не подходит ни одна точка — сумма квадратов не отрицательна: $x^2+y^2=-4$ окружности не задает.

Ошибка

Решавр прочитал уравнение $(x+2)^2+(y-1)^2=9$ так: «в скобке $+2$, значит центр $(2;1)$; справа $9$ — значит радиус $9$». Проверим на числах.

Возьмем точку $(1;1)$. Подставим в уравнение: $(1+2)^2+(1-1)^2=9+0=9$ — верно, точка лежит на окружности. А по чтению Решавра она должна быть на расстоянии $9$ от центра $(2;1)$. Но от $(2;1)$ до $(1;1)$ всего $1$ клетка. Противоречие: окружность Решавра проходит мимо точки, которая по уравнению точно на окружности.

Где сломалось рассуждение? Дважды. Во-первых, знак: в образце стоит $x-a$, а $x+2$ — это $x-(-2)$, поэтому $a=-2$, а не $2$. Подставьте центр Решавра $(2;1)$ в скобки: $(2+2)^2=16\ne0$ — скобка не обнуляется, значит это не центр. Во-вторых, правая часть — это $r^2$, и радиус равен $\sqrt9=3$, а не $9$. Окружность Решавра стоит в другом месте и втрое больше: ни одна точка настоящей окружности на нее не попадает.

Ошибка знака и корня: слева настоящая окружность (x+2)²+(y−1)²=9 с центром (−2;1), r = 3 — точка P(1;1) на ней; справа окружность Решавра с центром (2;1) и r = 9 — P(1;1) на нее не попадает — Настоящая окружность: центр (−2;1), r = 3; окружность Решавра с центром (2;1) и r = 9 проходит мимо точки (1;1) — чтение неверно

Читайте уравнение в два шага: центр — координаты, которые обращают скобки в нуль; радиус — корень из правой части. Проверка — одна точка: прибавьте к абсциссе центра радиус и подставьте.

Ниже можно двигать центр вдоль прямой $y=1$ и менять радиус — и видеть, как меняется уравнение: при $a=-2$ появляется $(x+2)^2$, при $a=2$ — $(x-2)^2$.

uravnenie-okruzhnosti-slider

Пример 3

Найдите центр и диаметр окружности $(x-4)^2+(y+6)^2=49$.

Центр: скобки обнуляются при $x=4$ и $y=-6$, значит центр $(4;-6)$. Знак при $y$ сменился: $y+6=y-(-6)$.

Радиус: $r^2=49$, $r=\sqrt{49}=7$. Диаметр вдвое больше радиуса: $2\cdot7=14$.

Проверка точкой $(11;-6)$: $(11-4)^2+(-6+6)^2=49$ — верно.

Ответ: центр $(4;-6)$, диаметр $14$.

{"questions":[{"content":"Окружность задана уравнением $(x+3)^2+(y-5)^2=4$. Найдите координаты ее центра. Ответ запишите в виде (x;y). [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["(-3;5)","-3;5","{-3;5}"]}},"hints":["Сравните с образцом $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$: центр — $(a;b)$, знак в скобке противоположен знаку координаты.","$x+3=x-(-3)$, значит $a=-3$; $y-5$, значит $b=5$.","Проверка: подставим центр в скобки — обе обращаются в нуль. Ответ: (-3;5)."],"step":1},{"content":"Окружность задана уравнением $(x-1)^2+(y+4)^2=25$. Найдите ее радиус. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["В правой части уравнения стоит $r^2$, а не $r$.","$r^2=25$, значит $r=\\sqrt{25}=5$. Ответ: 5."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Решавр прочитал уравнение $(x-3)^2+(y+4)^2=16$ так: «центр $E(-3;4)$, радиус $16$». Найдите ошибку.[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/cvm6kyveukyx.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки две: центр $(3;-4)$ (знак в скобке противоположен координате) и радиус $4$, так как справа стоит $r^2$","Ошибка одна: радиус $4$, а центр $E(-3;4)$ верный","Ошибок нет","Ошибка одна: центр $(3;-4)$, а радиус $16$ верный"],"explanations":["","Центр тоже прочитан неверно: подставьте $x=-3$ — скобка $(-3-3)^2=36$ не обращается в нуль, а в центре обе скобки нулевые","Точка $P(7;-4)$ лежит на исходной окружности, но от $E$ отстоит на $\\sqrt{164}$, а не на $16$ — значит, прочитано неверно","Радиус тоже неверный: правая часть — это $r^2$, значит $r=\\sqrt{16}=4$"],"answer":[0]}},"hints":["Сравните с образцом $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$: знак в скобке противоположен знаку координаты центра, справа — квадрат радиуса.","Скобка $(x-3)^2$ обнуляется при $x=3$, скобка $(y+4)^2$ — при $y=-4$: центр $(3;-4)$; $16=r^2$, значит $r=4$.","Проверка точкой $P(7;-4)$: она лежит на исходной окружности ($(7-3)^2+(-4-(-4))^2=16$), а от $E$ она на расстоянии $\\sqrt{164}$, а не $16$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Внутри, на окружности или вне: проверяем точку

Вернемся к вышке. Граница зоны — окружность с центром $Q(3;2)$ и радиусом $5$. Ее уравнение: $(x-3)^2+(y-2)^2=25$. Пропуск на границу — равенство левой части числу $25$. Но нужно еще различать «внутри» и «вне».

Левая часть уравнения — квадрат расстояния $QM^2$. Сравним его с $r^2=25$. Если $QM^2=25$, то $QM=5$ — точка на границе. Если $QM^2<25$, то $QM<5$ — точка внутри зоны. Если $QM^2>25$ — вне зоны. Достаточно подставить координаты и сравнить.

Правило

Чтобы определить положение точки $M(x_0;y_0)$ относительно окружности $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, подставьте ее координаты в левую часть и сравните результат с $r^2$:

равно $r^2$ — точка на окружности; меньше $r^2$ — внутри круга; больше $r^2$ — вне круга.

Пример 4

Какие из домов $D(7;5)$, $E(-1;6)$, $F(5;4)$ попадают в зону вышки $(x-3)^2+(y-2)^2=25$?

Дом $D(7;5)$: $(7-3)^2+(5-2)^2=16+9=25$. Ровно $r^2$ — дом стоит точно на границе зоны: сигнал есть.

Дом $E(-1;6)$: $(-1-3)^2+(6-2)^2=16+16=32$. Больше $25$ — дом вне зоны: до вышки $\sqrt{32}\approx5{,}7$ км.

Дом $F(5;4)$: $(5-3)^2+(4-2)^2=4+4=8$. Меньше $25$ — дом внутри зоны, до вышки меньше $3$ км.

Ответ: $D$ — на границе, $F$ — внутри, $E$ — вне зоны. Циркуль не понадобился.

Окружность (x−3)²+(y−2)²=25 на карте: дом D(7;5) на окружности (25 = 25), F(5;4) внутри (8 < 25), E(−1;6) вне (32 > 25) — D на окружности (25 = 25), F внутри (8 < 25), E вне (32 > 25): положение точки читается по сравнению с r²

Обратите внимание

Для дома $F$ получилось $8<25$. Это не значит, что точка «тоже подходит»: уравнению окружности удовлетворяют только точки, дающие ровно $r^2$. «Меньше» — отдельный ответ: внутри круга, но не на окружности.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Окружность задана уравнением $(x-1)^2+(y-2)^2=25$. Какая из точек $A(4;6)$, $B(3;5)$, $C(6;6)$ лежит на окружности?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/m6ojjej8vu1p.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Только $B$","Только $C$","Только $A$","$A$ и $B$"],"explanations":["$13\\ne25$: точка $B$ ближе к центру, чем радиус, — она внутри","Для $C$ получается $41>25$: точка вне окружности","","Для $B$ левая часть равна $13<25$: точка внутри круга, а не на окружности — «меньше» не значит «подходит»"],"answer":[2]}},"hints":["Подставьте координаты точки в левую часть и сравните результат с $r^2$: равно — на окружности, меньше — внутри, больше — вне.","$A$: $(4-1)^2+(6-2)^2=25$; $B$: $13$; $C$: $41$.","Ровно $r^2=25$ дает только $A$. Ответ: $A$."],"step":1},{"content":"Какое утверждение верно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Уравнение $x^2+y^2=r^2$ задает окружность с центром в начале координат","В уравнении $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ справа стоит радиус окружности","Точка лежит на окружности, если при подстановке ее координат левая часть меньше $r^2$","Окружность $(x+1)^2+(y-2)^2=4$ имеет центр $(1;-2)$"],"explanations":["","Справа — квадрат радиуса; радиус равен корню из правой части","Меньше $r^2$ — точка внутри круга; на окружности левая часть равна $r^2$","Знаки противоположны: $x+1=x-(-1)$, центр $(-1;2)$"],"answer":[0]}},"hints":["Окружность с центром $(a;b)$ и радиусом $r$: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$; при $a=b=0$ получаем $x^2+y^2=r^2$.","Остальные утверждения противоречат формуле."],"step":1}],"mix":1}

Составляем уравнение по условиям задачи

В задачах центр и радиус редко даны готовыми: чаще известны центр и точка окружности или концы диаметра. План один: найти центр $(a;b)$ и $r^2$, подставить в образец. Нужен именно $r^2$, поэтому корень извлекать обычно не приходится.

Пример 5

Окружность с центром $Q(2;-1)$ проходит через точку $M(5;1)$. Запишите ее уравнение.

Центр известен: $a=2$, $b=-1$. Радиус — расстояние от центра до любой точки окружности, то есть $QM$. Нам нужен его квадрат:

Радиус равен $\sqrt{13}$ — не целое число, и это нормально: радиус не обязан быть целым, а в уравнение входит только $r^2=13$. Подставляем:

Проверка точкой $M(5;1)$: $(5-2)^2+(1+1)^2=9+4=13$ — верно.

Ответ: $(x-2)^2+(y+1)^2=13$.

Пример 6

Точки $A(-3;1)$ и $B(5;7)$ — концы диаметра окружности. Запишите ее уравнение.

Центр окружности — середина диаметра. Координаты середины — полусуммы координат концов (прошлый урок):

Центр $Q(1;4)$. Радиус — расстояние от центра до конца диаметра, например до $A$:

Уравнение: $(x-1)^2+(y-4)^2=25$. Проверим второй конец диаметра, $B(5;7)$: $(5-1)^2+(7-4)^2=16+9=25$ — верно, $B$ тоже на окружности.

Ответ: $(x-1)^2+(y-4)^2=25$.

Окружность по диаметру AB: A(−3;1), B(5;7), центр Q(1;4) — середина AB, r = QA = 5; уравнение (x−1)²+(y−4)²=25, справа r², а не AB² = 100 — Центр — середина диаметра AB, радиус — половина AB: справа в уравнении r² = 25, а не AB² = 100

Ошибка

В примере 6 легко подставить справа $AB^2$ вместо $r^2$. Проверим: $AB^2=8^2+6^2=100$, и уравнение $(x-1)^2+(y-4)^2=100$ задает окружность радиуса $10$ — вдвое больше нужной; точка $A$ на ней не лежит: $25\ne100$. Радиус — половина диаметра, поэтому $r^2=\frac{AB^2}{4}$.

На ОГЭ в задании 18 окружность нарисована на клетчатой бумаге: отмечены центр и точка на окружности, нужен радиус. Это та же формула расстояния: клетки по горизонтали и вертикали — катеты, радиус — гипотенуза. От центра $3$ клетки вправо и $4$ вверх — радиус $\sqrt{9+16}=5$, а не $3+4=7$: сумма клеток — путь по клеткам, не по прямой.

{"questions":[{"content":"Окружность с центром $Q(2;3)$ проходит через точку $M(5;7)$. Чему равна правая часть $r^2$ в ее уравнении? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"25"}},"hints":["Радиус — расстояние от центра до любой точки окружности, поэтому $r^2=QM^2$.","$r^2=(5-2)^2+(7-3)^2=9+16=25$.","Уравнение: $(x-2)^2+(y-3)^2=25$. Ответ: 25."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Отрезок $AB$ с концами $A(1;2)$ и $B(7;10)$ — диаметр окружности. Запишите уравнение этой окружности.[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/hzxfethxbhjy.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$(x-4)^2+(y-6)^2=25$","$(x-1)^2+(y-2)^2=25$","$(x+4)^2+(y+6)^2=25$","$(x-4)^2+(y-6)^2=100$"],"explanations":["","Центр поставлен в конец диаметра $A$, а он — в середине $AB$","Знаки в скобках противоположны координатам центра: центр $(4;6)$ дает $(x-4)^2+(y-6)^2$","Справа квадрат диаметра: $AB^2=100$, а нужен квадрат радиуса — вчетверо меньше"],"answer":[0]}},"hints":["Центр — середина диаметра: координаты центра — полусуммы координат концов.","$Q(4;6)$; радиус — расстояние от $Q$ до $A$: $r^2=(1-4)^2+(2-6)^2=25$.","Ответ: $(x-4)^2+(y-6)^2=25$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Уравнение линии — пропуск для точки: подставили координаты, равенство верное — точка на линии. Для окружности пропуск один: маршрут из центра в точку имеет длину $r$. Записав эту длину по формуле расстояния и возведя в квадрат, получаем $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. Из этого образца следует все остальное:

Этот же прием — записать условие на точку как уравнение — в следующем уроке даст уравнении прямой.

Часто задаваемые вопросы

Почему в уравнении окружности стоит $r^2$, а не $r$?

Уравнение получено из формулы расстояния $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r$. Чтобы избавиться от корня, обе части возвели в квадрат. Поэтому справа оказывается квадрат радиуса, а сам радиус — корень из правой части: в уравнении $x^2+y^2=36$ радиус равен $6$.

Как не перепутать знак в скобке и координату центра?

Центр — это та точка, при подстановке которой обе скобки обращаются в нуль. Скобка $(x+2)^2$ обнуляется при $x=-2$, значит абсцисса центра равна $-2$. Если сомневаетесь, подставьте найденный центр в скобки: не получилось два нуля — центр найден неверно.

Может ли радиус окружности быть не целым числом?

Да. Уравнение $(x-2)^2+(y+1)^2=13$ задает окружность с радиусом $\sqrt{13}$. В задачах чаще всего нужен именно $r^2$, и извлекать корень не требуется.

Награды за урок