Тест: Г11.2.4

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Направляющий вектор прямой $\\{0;7;24\\}$, нормаль плоскости $\\{0;0;1\\}$. Найдите синус угла между прямой и плоскостью. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,96","0.96"]}},"hints":["Используйте $\\sin\\alpha=\\frac{\\lvert\\vec a\\cdot\\vec n\\rvert}{\\lvert\\vec a\\rvert\\lvert\\vec n\\rvert}$.","Скалярное произведение $24$, длины $25$ и $1$.","$\\sin\\alpha=\\frac{24}{25}=0{,}96$."],"step":1},{"id":"1","content":"Направляющий вектор прямой $\\{24;0;7\\}$, нормаль плоскости $\\{0;0;1\\}$. Найдите синус угла между прямой и плоскостью. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,28","0.28"]}},"hints":["Используйте $\\sin\\alpha=\\frac{\\lvert\\vec a\\cdot\\vec n\\rvert}{\\lvert\\vec a\\rvert\\lvert\\vec n\\rvert}$.","Скалярное произведение $7$, длины $25$ и $1$.","$\\sin\\alpha=\\frac{7}{25}=0{,}28$."],"step":1},{"id":"2","content":"Сопоставьте пару (направляющий вектор прямой, нормаль плоскости) и синус угла между прямой и плоскостью.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\vec a\\{0;8;15\\}$, $\\vec n\\{0;0;1\\}$","$\\vec a\\{0;8;15\\}$, $\\vec n\\{0;1;0\\}$","$\\vec a\\{0;8;15\\}$, $\\vec n\\{0;8;15\\}$","$\\vec a\\{0;8;15\\}$, $\\vec n\\{1;0;0\\}$"],"items":["$\\sin\\alpha=\\frac{15}{17}$","$\\sin\\alpha=\\frac{8}{17}$","$\\sin\\alpha=1$","$\\sin\\alpha=0$"]}},"hints":["Для каждой пары: $\\sin\\alpha=\\frac{\\lvert\\vec a\\cdot\\vec n\\rvert}{\\lvert\\vec a\\rvert\\lvert\\vec n\\rvert}$.","Если векторы совпадают по направлению, синус равен 1; если перпендикулярны, равен 0."],"step":1},{"id":"2","content":"Сопоставьте пару (направляющий вектор прямой, нормаль плоскости) и синус угла между прямой и плоскостью.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$\\vec a\\{15;8;0\\}$, $\\vec n\\{1;0;0\\}$","$\\vec a\\{15;8;0\\}$, $\\vec n\\{0;1;0\\}$","$\\vec a\\{15;8;0\\}$, $\\vec n\\{15;8;0\\}$","$\\vec a\\{15;8;0\\}$, $\\vec n\\{0;0;1\\}$"],"items":["$\\sin\\alpha=\\frac{15}{17}$","$\\sin\\alpha=\\frac{8}{17}$","$\\sin\\alpha=1$","$\\sin\\alpha=0$"]}},"hints":["Для каждой пары: $\\sin\\alpha=\\frac{\\lvert\\vec a\\cdot\\vec n\\rvert}{\\lvert\\vec a\\rvert\\lvert\\vec n\\rvert}$.","Если векторы совпадают по направлению, синус равен 1; если перпендикулярны, равен 0."],"step":1},{"id":"3","content":"Нормали плоскостей $\\{0;5;12\\}$ и $\\{5;0;12\\}$. Найдите косинус угла между плоскостями. Ответ запишите несократимой дробью в виде a/b. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"144/169"}},"hints":["В формуле косинуса используются модуль скалярного произведения нормалей и произведение их длин.","Произведение нормалей $144$, обе длины $13$.","$\\cos\\varphi=\\frac{144}{169}$."],"step":1},{"id":"3","content":"Нормали плоскостей $\\{5;12;0\\}$ и $\\{12;5;0\\}$. Найдите косинус угла между плоскостями. Ответ запишите несократимой дробью в виде a/b. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"120/169"}},"hints":["В формуле косинуса используются модуль скалярного произведения нормалей и произведение их длин.","Произведение нормалей $120$, обе длины $13$.","$\\cos\\varphi=\\frac{120}{169}$."],"step":1},{"id":"4","content":"В прямоугольном параллелепипеде основание 1×2, высота $h>0$. Угол диагонали с плоскостью основания обозначим $\\alpha$, угол диагонали с нормалью основания — $\\beta$. Диагональ $\\{1;2;h\\}$, нормаль $\\{0;0;1\\}$. Решавр рассуждал так: «Дробь $\\frac{h}{\\sqrt{5+h^2}}$ — косинус угла $\\alpha$. Так как $\\beta=90^\\circ-\\alpha$, условие $\\alpha>\\beta$ означает $\\alpha>45^\\circ$, то есть $\\cos\\alpha<\\frac{\\sqrt2}{2}$, откуда $h<\\sqrt{5}$». Какое исправление верно и при каких $h$ угол $\\alpha$ больше $\\beta$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Поменять $\\cos\\alpha$ на $\\sin\\alpha$ → $h<\\sqrt{5}$","Дробь — синус $\\beta$ → $h>\\sqrt{5}$ при $\\beta>45^\\circ$","Поменять $\\cos\\alpha$ на $\\sin\\alpha$ → $h>\\sqrt{5}$","Оставить рассуждение → $h<\\sqrt{5}$"],"explanations":["Метка исправлена, но знак неравенства перенесен от косинуса: синус на $[0^\\circ;90^\\circ]$ растет, поэтому $\\sin\\alpha>\\frac{\\sqrt2}{2}$ дает $h>\\sqrt{5}$.","Дробь с $h$ — косинус угла с нормалью, а не синус; $\\beta>45^\\circ$ означает $\\alpha<45^\\circ$, а не $\\alpha>\\beta$.","","Дробь с $h$ в числителе — синус $\\alpha$, а не косинус. При большей высоте диагональ круче к основанию, угол $\\alpha$ растет, поэтому верно $h>\\sqrt{5}$."],"answer":[2]}},"hints":["Дробь с модулем скалярного произведения диагонали и нормали дает косинус угла между прямыми, то есть угла $\\beta$ с нормалью. Для угла с плоскостью та же дробь — синус.","Скалярное произведение диагонали и нормали равно $h$, длины $\\sqrt{5+h^2}$ и $1$. Значит, $\\sin\\alpha=\\frac{h}{\\sqrt{5+h^2}}$, $\\cos\\alpha=\\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{5+h^2}}$. Углы $\\alpha$ и $\\beta$ дополняют друг друга до $90^\\circ$, поэтому $\\alpha>\\beta$ при $\\alpha>45^\\circ$.","Условие $\\alpha>45^\\circ$ значит $\\sin\\alpha>\\cos\\alpha$, то есть $h>\\sqrt{5}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"В прямоугольном параллелепипеде основание 2×3, высота $h>0$. Угол диагонали с плоскостью основания обозначим $\\alpha$, угол диагонали с нормалью основания — $\\beta$. Диагональ $\\{2;3;h\\}$, нормаль $\\{0;0;1\\}$. Решавр рассуждал так: «Дробь $\\frac{h}{\\sqrt{13+h^2}}$ — косинус угла $\\alpha$. Так как $\\beta=90^\\circ-\\alpha$, условие $\\alpha>\\beta$ означает $\\alpha>45^\\circ$, то есть $\\cos\\alpha<\\frac{\\sqrt2}{2}$, откуда $h<\\sqrt{13}$». Какое исправление верно и при каких $h$ угол $\\alpha$ больше $\\beta$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Поменять $\\cos\\alpha$ на $\\sin\\alpha$ → $h<\\sqrt{13}$","Поменять $\\cos\\alpha$ на $\\sin\\alpha$ → $h>\\sqrt{13}$","Оставить рассуждение → $h<\\sqrt{13}$","Дробь — синус $\\beta$ → $h>\\sqrt{13}$ при $\\beta>45^\\circ$"],"explanations":["Метка исправлена, но знак неравенства перенесен от косинуса: синус на $[0^\\circ;90^\\circ]$ растет, поэтому $\\sin\\alpha>\\frac{\\sqrt2}{2}$ дает $h>\\sqrt{13}$.","","Дробь с $h$ в числителе — синус $\\alpha$, а не косинус. При большей высоте диагональ круче к основанию, угол $\\alpha$ растет, поэтому верно $h>\\sqrt{13}$.","Дробь с $h$ — косинус угла с нормалью, а не синус; $\\beta>45^\\circ$ означает $\\alpha<45^\\circ$, а не $\\alpha>\\beta$."],"answer":[1]}},"hints":["Дробь с модулем скалярного произведения диагонали и нормали дает косинус угла между прямыми, то есть угла $\\beta$ с нормалью. Для угла с плоскостью та же дробь — синус.","Скалярное произведение диагонали и нормали равно $h$, длины $\\sqrt{13+h^2}$ и $1$. Значит, $\\sin\\alpha=\\frac{h}{\\sqrt{13+h^2}}$, $\\cos\\alpha=\\frac{\\sqrt{13}}{\\sqrt{13+h^2}}$. Углы $\\alpha$ и $\\beta$ дополняют друг друга до $90^\\circ$, поэтому $\\alpha>\\beta$ при $\\alpha>45^\\circ$.","Условие $\\alpha>45^\\circ$ значит $\\sin\\alpha>\\cos\\alpha$, то есть $h>\\sqrt{13}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Прямая $\\vec a\\{0;-3;-4\\}$, нормаль $\\vec n\\{0;0;1\\}$. Решавр получил $\\sin\\alpha=-0{,}8$ и записал: $\\alpha=-\\arcsin0{,}8$. Что верно?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Нужен модуль: $\\sin\\alpha=0{,}8$","Решавр прав: $\\sin\\alpha=-0{,}8$","$\\sin\\alpha=0{,}6$","$\\cos\\alpha=0{,}8$"],"explanations":["","Синус угла между прямой и плоскостью не бывает отрицательным","Дробь $\\frac45$ равна 0,8","Дробь дает синус, а не косинус"],"answer":[0]}},"hints":["Угол между прямой и плоскостью лежит в пределах от $0^\\circ$ до $90^\\circ$.","В формуле числитель берут по модулю, значит, $\\sin\\alpha=0{,}8$."],"step":1},{"id":"5","content":"Нормали плоскостей $\\{0;3;4\\}$ и $\\{0;3;-4\\}$. Решавр получил $\\cos\\varphi=-\\frac{7}{25}=-0{,}28$ и записал: угол между плоскостями тупой. Что верно?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Угол равен $0^\\circ$","Угол прямой","Угол тупой, так как косинус отрицателен","Угол острый, $\\cos\\varphi=0{,}28$"],"explanations":["Нулевой угол — параллельные плоскости, косинус 1","Прямой угол был бы при нулевом произведении","Угол между плоскостями берут не больше $90^\\circ$",""],"answer":[3]}},"hints":["Угол между плоскостями не бывает тупым.","Скалярное произведение нормалей равно $-7$, и нужно взять модуль: $\\cos\\varphi=0{,}28$."],"step":1},{"id":"6","content":"В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребра $AB=1$, $AD=1$, $AA_1=2$. Найдите синус угла $AC_1$ с плоскостью $ABB_1A_1$. Какое решение верно при начале в $A$ и осях вдоль $AB$, $AD$, $AA_1$?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$\\overrightarrow{AC_1}=\\{1;1;2\\}$, $\\vec n\\{0;1;0\\}$, $\\cos\\alpha=\\frac1{\\sqrt6}$","$\\overrightarrow{AC_1}=\\{1;1;2\\}$, $\\vec n\\{0;0;1\\}$, $\\sin\\alpha=\\frac{2}{\\sqrt6}$","$\\overrightarrow{AC_1}=\\{1;1;2\\}$, $\\vec n\\{1;0;0\\}$, $\\sin\\alpha=\\frac1{\\sqrt6}$","$\\overrightarrow{AC_1}=\\{1;1;2\\}$, $\\vec n\\{0;1;0\\}$, $\\sin\\alpha=\\frac1{\\sqrt6}$"],"explanations":["Дробь по направляющему вектору и нормали равна синусу угла с плоскостью.","Выбрана нормаль основания, поэтому получено 2/√6 вместо 1/√6. Вектор (0;0;1) идет вдоль AA₁ и не перпендикулярен нужной грани.","Здесь число совпало случайно: нормаль взята у соседней грани, вектор (1;0;0) идет вдоль ребра AB нужной грани, а не перпендикулярно ей; совпадение чисел — особенность этих данных.",""],"answer":[3]}},"hints":["Получите координаты $C_1$ по трем ребрам. Векторы в грани $ABB_1A_1$ направлены вдоль осей $x$ и $z$; нормаль перпендикулярна обоим.","$\\overrightarrow{AC_1}=\\{1;1;2\\}$, нормаль $\\vec n\\{0;1;0\\}$. Произведение $1$, длины $\\sqrt6$ и $1$.","$\\sin\\alpha=\\frac1{\\sqrt6}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребра $AB=1$, $AD=2$, $AA_1=2$. Найдите синус угла $AC_1$ с плоскостью $ABB_1A_1$. Какое решение верно при начале в $A$ и осях вдоль $AB$, $AD$, $AA_1$?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\overrightarrow{AC_1}=\\{1;2;2\\}$, $\\vec n\\{1;0;0\\}$, $\\sin\\alpha=\\frac1{3}$","$\\overrightarrow{AC_1}=\\{1;2;2\\}$, $\\vec n\\{0;1;0\\}$, $\\sin\\alpha=\\frac23$","$\\overrightarrow{AC_1}=\\{1;2;2\\}$, $\\vec n\\{0;0;1\\}$, $\\sin\\alpha=\\frac{2}{3}$","$\\overrightarrow{AC_1}=\\{1;2;2\\}$, $\\vec n\\{0;1;0\\}$, $\\cos\\alpha=\\frac23$"],"explanations":["Выбрана нормаль соседней грани, поэтому получено 1/3 вместо 2/3. Вектор (1;0;0) идет вдоль AB нужной грани.","","Здесь число совпало случайно: вектор (0;0;1) идет вдоль AA₁ нужной грани и не является ее нормалью; совпадение чисел — особенность этих данных.","Дробь по направляющему вектору и нормали равна синусу угла с плоскостью."],"answer":[1]}},"hints":["Получите координаты $C_1$ по трем ребрам. Векторы в грани $ABB_1A_1$ направлены вдоль осей $x$ и $z$; нормаль перпендикулярна обоим.","$\\overrightarrow{AC_1}=\\{1;2;2\\}$, нормаль $\\vec n\\{0;1;0\\}$. Произведение $2$, длины $3$ и $1$.","$\\sin\\alpha=\\frac23$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"При каком $k$ прямая с направляющим вектором $\\{k;1;2\\}$ образует угол $0^\\circ$ с плоскостью с нормалью $\\{1;-3;2\\}$? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"-1"}},"hints":["Угол равен $0^\\circ$, если прямая параллельна плоскости или лежит в ней. В обоих случаях $\\vec a\\cdot\\vec n=0$, так как $\\sin\\alpha=0$.","$k-3+4=0$, то есть $k+1=0$.","Ответ: −1."],"step":1},{"id":"7","content":"При каком $k$ прямая с направляющим вектором $\\{2;k;1\\}$ образует угол $0^\\circ$ с плоскостью с нормалью $\\{3;1;-4\\}$? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"-2"}},"hints":["Угол равен $0^\\circ$, если прямая параллельна плоскости или лежит в ней. В обоих случаях $\\vec a\\cdot\\vec n=0$, так как $\\sin\\alpha=0$.","$6+k-4=0$, то есть $k+2=0$.","Ответ: −2."],"step":1},{"id":"8","content":"В пирамиде $SABCD$ основание — квадрат со стороной 1, $SA\\perp ABCD$, $SA=3$. Найдите синус угла $SC$ с плоскостью $SBD$. При начале в $A$ направьте оси вдоль $AB$, $AD$, $AS$. Какая пара «нормаль — синус» верна?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$\\vec n\\{3;3;1\\}$, $\\sin\\alpha=\\frac{\\sqrt{209}}{3}$","$\\vec n\\{1;1;1\\}$, $\\sin\\alpha=\\frac13$","$\\vec n\\{3;3;1\\}$, $\\sin\\alpha=\\frac{3}{\\sqrt{209}}$","$\\vec n\\{3;3;1\\}$, $\\sin\\alpha=-\\frac{3}{\\sqrt{209}}$"],"explanations":["Числитель и знаменатель переставлены, синус больше 1.","Это перенос решения для высоты 1; при данной высоте вектор (1;1;1) не перпендикулярен SB.","","Синус угла прямой с плоскостью неотрицателен; нужен модуль."],"answer":[2]}},"hints":["$B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $S(0;0;3)$, $C(1;1;0)$. Найдите уравнение плоскости через $S$, $B$, $D$.","Все три точки удовлетворяют $3x+3y+z-3=0$. Поэтому $\\vec n\\{3;3;1\\}$, $\\overrightarrow{SC}=\\{1;1;-3\\}$.","Скалярное произведение $3$, произведение длин $\\sqrt{209}$. Ответ: $\\sin\\alpha=\\frac{3}{\\sqrt{209}}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В пирамиде $SABCD$ основание — квадрат со стороной 1, $SA\\perp ABCD$, $SA=4$. Найдите синус угла $SC$ с плоскостью $SBD$. При начале в $A$ направьте оси вдоль $AB$, $AD$, $AS$. Какая пара «нормаль — синус» верна?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$\\vec n\\{1;1;1\\}$, $\\sin\\alpha=\\frac13$","$\\vec n\\{4;4;1\\}$, $\\sin\\alpha=\\frac{\\sqrt{594}}{4}$","$\\vec n\\{4;4;1\\}$, $\\sin\\alpha=\\frac{4}{\\sqrt{594}}$","$\\vec n\\{4;4;1\\}$, $\\sin\\alpha=-\\frac{4}{\\sqrt{594}}$"],"explanations":["Это перенос решения для высоты 1; при данной высоте вектор (1;1;1) не перпендикулярен SB.","Числитель и знаменатель переставлены, синус больше 1.","","Синус угла прямой с плоскостью неотрицателен; нужен модуль."],"answer":[2]}},"hints":["$B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $S(0;0;4)$, $C(1;1;0)$. Найдите уравнение плоскости через $S$, $B$, $D$.","Все три точки удовлетворяют $4x+4y+z-4=0$. Поэтому $\\vec n\\{4;4;1\\}$, $\\overrightarrow{SC}=\\{1;1;-4\\}$.","Скалярное произведение $4$, произведение длин $\\sqrt{594}$. Ответ: $\\sin\\alpha=\\frac{4}{\\sqrt{594}}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Плоскости заданы уравнениями $3y+4z+7=0$ и $4x-3z-2=0$. Чему равен косинус угла между ними? Ответ запишите десятичной дробью. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["0,48","0.48"]}},"hints":["Нормали: $\\{0;3;4\\}$ и $\\{4;0;-3\\}$ — числа $D$ не используются.","$\\cos\\varphi=\\frac{12}{25}=0{,}48$.","Ответ: 0,48."],"step":1},{"id":"9","content":"Плоскости заданы уравнениями $4x+3y-5=0$ и $3y+4z+1=0$. Чему равен косинус угла между ними? Ответ запишите десятичной дробью. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["0,36","0.36"]}},"hints":["Нормали: $\\{4;3;0\\}$ и $\\{0;3;4\\}$ — числа $D$ не используются.","$\\cos\\varphi=\\frac{9}{25}=0{,}36$.","Ответ: 0,36."],"step":1},{"id":"10","content":"Расставьте шаги нахождения синуса угла между прямой с вектором $\\{0;3;4\\}$ и плоскостью $2x+2y+z-1=0$[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Нормаль $\\{2;2;1\\}$ — числа $D$ среди ее координат нет","Скалярное произведение $\\vec a\\cdot\\vec n=10$; длины $5$ и $3$, их произведение $15$","Значит, $\\sin\\alpha=\\frac23$"]}},"hints":["Что нужно знать, чтобы подставить числа в формулу синуса?"]},{"id":"10","content":"Расставьте шаги нахождения синуса угла между прямой с вектором $\\{3;0;4\\}$ и плоскостью $x+2y+2z-2=0$[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Нормаль $\\{1;2;2\\}$ — числа $D$ среди ее координат нет","Скалярное произведение $\\vec a\\cdot\\vec n=11$; длины $5$ и $3$, их произведение $15$","Значит, $\\sin\\alpha=\\frac{11}{15}$"]}},"hints":["Что нужно знать, чтобы подставить числа в формулу синуса?"]}]}</textarea></pre></div>