Уравнение окружности и уравнение линии

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Окружность задана уравнением $(x+5)^2+(y-3)^2=16$. Найдите координаты центра. Ответ запишите в виде (x;y). [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["(-5;3)","-5;3","{-5;3}"]}},"hints":["Сравните с $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$: центр $(a;b)$, знак в скобке противоположен знаку координаты.","$a=-5$, $b=3$ — при подстановке центра обе скобки обращаются в нуль. Ответ: (-5;3)."],"step":1},{"id":"1","content":"Окружность задана уравнением $(x-6)^2+(y+3)^2=25$. Найдите координаты центра. Ответ запишите в виде (x;y). [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["(6;-3)","6;-3","{6;-3}"]}},"hints":["Сравните с $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$: центр $(a;b)$, знак в скобке противоположен знаку координаты.","$a=6$, $b=-3$ — при подстановке центра обе скобки обращаются в нуль. Ответ: (6;-3)."],"step":1},{"id":"2","content":"Окружность задана уравнением $(x-2)^2+(y-3)^2=49$. Найдите ее диаметр. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"14"}},"hints":["Справа в уравнении стоит $r^2$: сначала найдите радиус как корень из правой части.","$r=\\sqrt{49}=7$, диаметр $2r=14$. Ответ: 14."],"step":1},{"id":"2","content":"Окружность задана уравнением $(x+1)^2+(y-5)^2=64$. Найдите ее диаметр. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"16"}},"hints":["Справа в уравнении стоит $r^2$: сначала найдите радиус как корень из правой части.","$r=\\sqrt{64}=8$, диаметр $2r=16$. Ответ: 16."],"step":1},{"id":"3","content":"Окружность с центром в начале координат и радиусом $7$: $x^2+y^2=[[fill_choice-1]]$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["14","49","56","7"],"answer":1}},"hints":["При центре $(0;0)$ скобки $x-0$ и $y-0$ дают просто $x^2$ и $y^2$.","Справа $7^2=49$. Ответ: $49$."],"step":1},{"id":"3","content":"Окружность с центром в начале координат и радиусом $9$: $x^2+y^2=[[fill_choice-2]]$.","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["9","18","90","81"],"answer":3}},"hints":["При центре $(0;0)$ скобки $x-0$ и $y-0$ дают просто $x^2$ и $y^2$.","Справа $9^2=81$. Ответ: $81$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-1]]На клетчатой бумаге со стороной клетки $1$ отмечены центр окружности $Q(2;-1)$ и точка $A(14;4)$ на ней. Найдите радиус. [[input-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/wjvstahqdf5b.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["Радиус $QA$ — гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты считаются по клеткам.","$QA=\\sqrt{12^2+5^2}=\\sqrt{169}=13$. Ответ: 13."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-2]]На клетчатой бумаге со стороной клетки $1$ отмечены центр окружности $Q(-1;2)$ и точка $A(7;8)$ на ней. Найдите радиус. [[input-6]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/bjarz1l0eiaf.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Радиус $QA$ — гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты считаются по клеткам.","$QA=\\sqrt{8^2+6^2}=\\sqrt{100}=10$. Ответ: 10."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-3]]Окружность задана уравнением $(x-2)^2+(y-1)^2=25$. Распределите точки по их положению.[[grouper-1]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xvnco2rc4bub.svg"},"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["На окружности","Внутри круга","Вне круга"],"items":[["$A(5;5)$","$D(-1;-3)$"],["$B(4;3)$","$E(0;-1)$"],["$C(7;3)$","$F(6;6)$"]]}},"instruction":"Распределите точки по группам","hints":["Подставьте координаты точки в левую часть уравнения и сравните результат с правой частью.","Равно $25$ — точка на окружности; меньше — внутри круга; больше — вне круга.","На окружности: $A$, $D$ (25, 25); внутри: $B$, $E$ (8, 8); вне: $C$, $F$ (29, 41)."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-4]]Окружность задана уравнением $(x+1)^2+(y-3)^2=16$. Распределите точки по их положению.[[grouper-2]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/3y97uwfl7mvn.svg"},"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["На окружности","Внутри круга","Вне круга"],"items":[["$A(3;3)$","$D(-1;-1)$"],["$B(1;4)$","$E(-3;2)$"],["$C(2;6)$","$F(-5;0)$"]]}},"instruction":"Распределите точки по группам","hints":["Подставьте координаты точки в левую часть уравнения и сравните результат с правой частью.","Равно $16$ — точка на окружности; меньше — внутри круга; больше — вне круга.","На окружности: $A$, $D$ (16, 16); внутри: $B$, $E$ (5, 5); вне: $C$, $F$ (18, 25)."],"step":1},{"id":"6","content":"Окружность с центром $Q(1;-2)$ проходит через точку $M(4;2)$. Запишите ее уравнение.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(x-1)^2+(y+2)^2=25$","$(x+1)^2+(y-2)^2=25$","$(x-1)^2+(y+2)^2=7$","$(x-1)^2+(y+2)^2=5$"],"explanations":["","Знаки в скобках повторяют знаки координат центра, а должны быть противоположными","Разности координат сложили без квадратов: $3+4=7$ — это не квадрат расстояния","Справа поставлен радиус $5$, а нужен его квадрат $25$"],"answer":[0]}},"hints":["Радиус — расстояние $QM$; в уравнение входит его квадрат, поэтому корень извлекать не нужно.","$r^2=(4-1)^2+(2-(-2))^2=9+16=25$.","Ответ: $(x-1)^2+(y+2)^2=25$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Окружность с центром $Q(-3;1)$ проходит через точку $M(2;13)$. Запишите ее уравнение.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$(x+3)^2+(y-1)^2=13$","$(x+3)^2+(y-1)^2=17$","$(x-3)^2+(y+1)^2=169$","$(x+3)^2+(y-1)^2=169$"],"explanations":["Справа поставлен радиус $13$, а нужен его квадрат $169$","Разности координат сложили без квадратов: $5+12=17$ — это не квадрат расстояния","Знаки в скобках повторяют знаки координат центра, а должны быть противоположными",""],"answer":[3]}},"hints":["Радиус — расстояние $QM$; в уравнение входит его квадрат, поэтому корень извлекать не нужно.","$r^2=(2-(-3))^2+(13-1)^2=25+144=169$.","Ответ: $(x+3)^2+(y-1)^2=169$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"[[image-5]]Точки $A(-2;3)$ и $B(4;11)$ — концы диаметра окружности. Запишите уравнение этой окружности.[[choice-3]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/huvfnztuzpfe.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["$(x+1)^2+(y+7)^2=25$","$(x-1)^2+(y-7)^2=100$","$(x-1)^2+(y-7)^2=25$","$(x+2)^2+(y-3)^2=25$"],"explanations":["Знаки в скобках повторяют координаты центра, а должны быть противоположными","Справа квадрат диаметра $AB^2=100$; радиус — половина диаметра, его квадрат вчетверо меньше","","Центр взят в точке $A$, а центр окружности — середина диаметра"],"answer":[2]}},"hints":["Центр — середина диаметра: полусуммы координат концов; радиус — расстояние от центра до $A$.","$Q(1;7)$, $r^2=(-2-1)^2+(3-7)^2=25$.","Ответ: $(x-1)^2+(y-7)^2=25$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"[[image-6]]Точки $A(-1;2)$ и $B(3;8)$ — концы диаметра окружности. Запишите уравнение этой окружности.[[choice-4]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/9gdi4we5ntxh.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["$(x-1)^2+(y-5)^2=13$","$(x-1)^2+(y-5)^2=52$","$(x+1)^2+(y-2)^2=13$","$(x+1)^2+(y+5)^2=13$"],"explanations":["","Справа квадрат диаметра $AB^2=52$; радиус — половина диаметра, его квадрат вчетверо меньше","Центр взят в точке $A$, а центр окружности — середина диаметра","Знаки в скобках повторяют координаты центра, а должны быть противоположными"],"answer":[0]}},"hints":["Центр — середина диаметра: полусуммы координат концов; радиус — расстояние от центра до $A$.","$Q(1;5)$, $r^2=(-1-1)^2+(2-5)^2=13$.","Ответ: $(x-1)^2+(y-5)^2=13$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-7]]Решавр проверяет, лежит ли точка $P(5;2)$ на окружности $(x-3)^2+(y+1)^2=25$. Он подставил координаты: $(5-3)^2+(2-(-1))^2=13$ — и сделал вывод: «$13<25$, значит точка $P$ лежит на окружности». Найдите ошибку.[[choice-5]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/opic8vpc5eaa.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Точка внутри круга, а не на окружности: на окружности левая часть равна $25$","Точка вне окружности, так как $13\\ne25$","Сравнивать надо с радиусом $5$: $13>5$, точка вне окружности","Ошибки нет: раз число не больше правой части, точка на окружности"],"explanations":["","Не равно — значит не на окружности, верно; но $13<25$: расстояние до центра меньше радиуса, точка внутри, а не вне","Слева стоит квадрат расстояния до центра, сравнивать его нужно с $r^2=25$, а не с $r=5$","Равенство не выполнено: $13\\ne25$. «Меньше» означает «ближе к центру, чем радиус» — точка внутри круга"],"answer":[0]}},"hints":["Точка лежит на окружности, только если ее координаты обращают уравнение в верное равенство.","$13\\ne25$ — равенства нет, точка не на окружности. Левая часть — квадрат расстояния до центра: $13<25$ означает, что расстояние меньше радиуса.","Точка внутри круга, но не на окружности — Решавр спутал круг с его границей."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-8]]Решавр проверяет, лежит ли точка $P(1;0)$ на окружности $(x+2)^2+(y-4)^2=36$. Он подставил координаты: $(1-(-2))^2+(0-4)^2=25$ — и сделал вывод: «$25<36$, значит точка $P$ лежит на окружности». Найдите ошибку.[[choice-6]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/0x5bxwirc7lg.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Точка вне окружности, так как $25\\ne36$","Ошибки нет: раз число не больше правой части, точка на окружности","Точка внутри круга, а не на окружности: на окружности левая часть равна $36$","Сравнивать надо с радиусом $6$: $25>6$, точка вне окружности"],"explanations":["Не равно — значит не на окружности, верно; но $25<36$: расстояние до центра меньше радиуса, точка внутри, а не вне","Равенство не выполнено: $25\\ne36$. «Меньше» означает «ближе к центру, чем радиус» — точка внутри круга","","Слева стоит квадрат расстояния до центра, сравнивать его нужно с $r^2=36$, а не с $r=6$"],"answer":[2]}},"hints":["Точка лежит на окружности, только если ее координаты обращают уравнение в верное равенство.","$25\\ne36$ — равенства нет, точка не на окружности. Левая часть — квадрат расстояния до центра: $25<36$ означает, что расстояние меньше радиуса.","Точка внутри круга, но не на окружности — Решавр спутал круг с его границей."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-9]]Решавр строит по уравнению $(x+3)^2+(y-2)^2=16$ окружность с центром $E(3;-2)$ и радиусом $16$. Иксератопс возражает: точка $P(1;2)$ удовлетворяет уравнению, но на окружность Решавра не попадает. Что Решавр прочитал неверно?[[choice-7]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/i3b55a6vaygq.svg"},"choice-7":{"type":"choice","options":["Ошибка только в радиусе: $r=4$, а центр $E(3;-2)$ верный","Ошибки две: центр $(-3;2)$ (знаки в скобках противоположны координатам) и радиус $4$ (справа стоит $r^2$)","Ошибка только в центре: верно $(-3;2)$, а радиус $16$ верный","Ошибок нет"],"explanations":["Центр тоже неверен: при $x=3$, $y=-2$ скобки не обращаются в нуль, а в центре обе скобки нулевые","","Радиус тоже неверен: правая часть — квадрат радиуса, $r=\\sqrt{16}=4$","Точка $P(1;2)$ лежит на исходной окружности, но ее расстояние до $E$ не равно $16$"],"answer":[1]}},"hints":["Сравните с образцом $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$: центр $(a;b)$ обращает обе скобки в нуль, справа — квадрат радиуса.","Проверка точкой $P(1;2)$: она лежит на окружности, так как $(1-(-3))^2+(2-2)^2=16$.","От $E(3;-2)$ точка $P$ отстоит на $\\sqrt{20}$, а не на $16$ — чтение Решавра неверно."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-10]]Решавр строит по уравнению $(x-1)^2+(y+4)^2=36$ окружность с центром $E(1;4)$ и радиусом $6$. Иксератопс возражает: точка $P(7;-4)$ удовлетворяет уравнению, но на окружность Решавра не попадает. Что Решавр прочитал неверно?[[choice-8]]","widgets":{"image-10":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/lmhvp2cdn8if.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибка в радиусе: верно $r=36$, а центр $E(1;4)$ верный","Ошибка в центре: верно $(1;-4)$ — знак в скобке противоположен знаку координаты центра","Ошибок нет","Ошибки две: центр $(-1;4)$ и радиус $36$"],"explanations":["Радиус $6$ верный ($r^2=36$); неверен центр: скобка $y+4$ дает $b=-4$, а не $4$","","Точка $P(7;-4)$ лежит на исходной окружности, но ее расстояние до $E$ не равно $6$","Радиус $6$ Решавр нашел верно, а центр $(-1;4)$ неверен по обеим координатам — подставьте его в скобки"],"answer":[1]}},"hints":["Сравните с образцом $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$: центр $(a;b)$ обращает обе скобки в нуль, справа — квадрат радиуса.","Проверка точкой $P(7;-4)$: она лежит на окружности, так как $(7-1)^2+(-4-(-4))^2=36$.","От $E(1;4)$ точка $P$ отстоит на $10$, а не на $6$ — чтение Решавра неверно."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Какое из уравнений не задает окружность?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$(x+3)^2+y^2=1$","$(x-1)^2+(y+2)^2=0$","$(x-2)^2+(y-2)^2=9$","$x^2+y^2=5$"],"explanations":["Это окружность с центром $(-3;0)$ и радиусом $1$","","Это окружность с центром $(2;2)$ и радиусом $3$","Справа положительное число: это окружность с центром $(0;0)$ и радиусом $\\sqrt5$ — радиус не обязан быть целым"],"answer":[1]}},"hints":["Правая часть $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ — квадрат радиуса, число положительное.","Если справа нуль, уравнению отвечает одна точка — центр; если отрицательное число — ни одной точки.","Положительное число справа — окружность, даже если корень из него не целый."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Какое из уравнений не задает окружность?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["$x^2+y^2=3$","$(x-5)^2+y^2=25$","$(x+4)^2+(y+4)^2=16$","$x^2+(y-1)^2=-4$"],"explanations":["Справа положительное число: окружность радиуса $\\sqrt3$ с центром в начале координат","Окружность с центром $(5;0)$ и радиусом $5$; она проходит через начало координат, но это окружность","Окружность с центром $(-4;-4)$ и радиусом $4$ — знаки в скобках этому не мешают",""],"answer":[3]}},"hints":["Правая часть $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ — квадрат радиуса, число положительное.","Если справа нуль, уравнению отвечает одна точка — центр; если отрицательное число — ни одной точки.","Положительное число справа — окружность, даже если корень из него не целый."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>