9 класс Геометрия Метод координат Уравнения окружности и прямой

Угол между прямой и плоскостью и угол между плоскостями в координатах

Содержание

Вы уже знаете косинус угла между векторами и умеете находить уравнение плоскости и ее нормаль. В этом уроке из них получится алгоритм: угол между прямой и плоскостью и угол между двумя плоскостями находятся по общему алгоритму через скалярное произведение, без построения проекций. Разберем, почему для прямой и плоскости появляется синус, зачем нужен модуль, и решим задачи на кубе и пирамиде.

Прямую заменяем маршрутом, плоскость — штырем

Как найти угол между прямой и плоскостью без координат? По определению нужно опустить перпендикуляр, построить проекцию прямой на плоскость и найти угол в прямоугольном треугольнике. В кубе проекция обычно видна сразу. А если плоскость наклонная, например сечение пирамиды, то найти основание перпендикуляра уже трудно. Вернемся к этому в последнем разделе.

Возьмем пример. Пусть прямая проходит через точки $P(0;0;0)$ и $Q(1;0;2)$, а плоскость — это стена $y=0$. Вычтем координаты: $\overrightarrow{PQ}=\{1-0;0-0;2-0\}=\{1;0;2\}$. Уравнение стены $y=0$ запишем как $0\cdot x+1\cdot y+0\cdot z=0$, коэффициенты дают вектор $\{0;1;0\}$, перпендикулярный стене. Обе точки имеют $y=0$, значит, прямая лежит в стене. Дальше назовем эти два вектора и выясним, как по ним найти угол.

Определение

Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол равен $90^\circ$, если параллельна ей или лежит в ней — $0^\circ$.

Угол между плоскостями — меньший из углов, которые образуют две пересекающиеся плоскости; для параллельных плоскостей он равен $0^\circ$. Оба угла лежат в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Метод координат обходится без проекции. Поставим начало координат в угол комнаты, как в прошлых уроках. Прямую заменим ее направлением: направляющий вектор $\vec a$ — «маршрут» вдоль прямой — любой ненулевой вектор, параллельный ей, например вектор между двумя различными ее точками. В примере выше это $\{1;0;2\}$. Плоскость заменим нормалью $\vec n$ — «штырем», который торчит из стены перпендикулярно (в примере — $\{0;1;0\}$). После этого в задаче остаются векторы: косинус угла между ними считается по координатам. Сначала найдем меньший угол между направлениями этих векторов. Для двух плоскостей он и есть искомый угол, а для прямой и плоскости искомый угол дополняет его до $90^\circ$.

Прямая, ее проекция на плоскость и нормаль: угол с нормалью равен 90° минус угол с плоскостью — Прямая, ее проекция и нормаль: угол прямой со штырем дополняет угол с плоскостью до 90°

Алгоритм

Поставить оси и найти координаты нужных точек.
Прямую заменить направляющим вектором $\vec a$, плоскость — нормалью $\vec n$: из уравнения $Ax+By+Cz+D=0$ берем $\vec n\{A;B;C\}$.
Найти модуль скалярного произведения и длины векторов.
Подставить в формулу: для прямой и плоскости — синус, для двух плоскостей — косинус.
По значению синуса или косинуса записать угол.

{"questions":[{"content":"Прямая проходит через $P(1;0;1)$ и $Q(2;2;1)$, плоскость задана уравнением $x+2y+2z-5=0$. Какая пара подходит для вычисления угла между прямой и плоскостью?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\vec a\\{1;2;0\\}$, $\\vec n\\{1;2;-5\\}$","$\\vec a\\{1;2;0\\}$, $\\vec n\\{1;2;2\\}$","$\\vec a\\{1;2;1\\}$, $\\vec n\\{1;2;2\\}$","$\\vec a\\{3;2;2\\}$, $\\vec n\\{1;2;2\\}$"],"explanations":["Свободный член −5 не является коэффициентом при z.","","Разность третьих координат равна 1−1=0, а не 1.","Координаты точек сложены вместо вычитания."],"answer":[1]}},"hints":["Направляющий вектор получите вычитанием координат $P$ из координат $Q$. Нормаль — коэффициенты при $x$, $y$, $z$.","$\\overrightarrow{PQ}=\\{2-1;2-0;1-1\\}=\\{1;2;0\\}$, $\\vec n\\{1;2;2\\}$."],"step":1}],"mix":1}

Почему для прямой и плоскости получается синус

Возьмем прямую, перпендикулярную полу: $\vec a\{0;0;1\}$, нормаль пола тоже $\{0;0;1\}$. Дробь из формулы скалярного произведения равна $\frac{1}{1\cdot1}=1$. Чему равен угол прямой с полом: $0^\circ$ или $90^\circ$? Конечно, $90^\circ$, а косинус $90^\circ$ равен 0, не 1. Значит, дробь 1 — это не косинус искомого угла. Разберемся, чем она является. Посмотрите на схему выше. Прямая, ее проекция и штырь $\vec n$ лежат в одной плоскости, и штырь перпендикулярен проекции. Поэтому если прямая наклонена к плоскости под углом $\alpha$, то к штырю она наклонена под углом $90^\circ-\alpha$. Формула из урока о скалярном произведении дает косинус именно угла со штырем. А $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$.

Правило

Синус угла $\alpha$ между прямой с направляющим вектором $\vec a$ и плоскостью с нормалью $\vec n$ равен модулю скалярного произведения, деленному на произведение длин:

$$\sin\alpha=\dfrac{\lvert\vec a\cdot\vec n\rvert}{\lvert\vec a\rvert\cdot\lvert\vec n\rvert}$$

Почему верно и откуда модуль

Скрыть

Пусть $\psi$ — угол между векторами $\vec a$ и $\vec n$. Обозначим $\beta=\min(\psi,180^\circ-\psi)$ — меньший угол между прямыми, несущими эти векторы. Тогда $0^\circ\le\beta\le90^\circ$, $\alpha+\beta=90^\circ$, а $\cos\beta=\lvert\cos\psi\rvert$. Это верно и при $\psi=0^\circ$, $90^\circ$ или $180^\circ$. Значит, $\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)=\lvert\cos\psi\rvert=\dfrac{\lvert\vec a\cdot\vec n\rvert}{\lvert\vec a\rvert\cdot\lvert\vec n\rvert}$.

Пример 1

Прямая имеет направляющий вектор $\vec a\{1;0;1\}$, плоскость задана уравнением $y+z-3=0$. Найдем угол между ними.

Нормаль из уравнения: $\vec n\{0;1;1\}$, число $-3$ в нее не входит. Скалярное произведение: $\vec a\cdot\vec n=1\cdot0+0\cdot1+1\cdot1=1$. Длины: $\lvert\vec a\rvert=\sqrt2$, $\lvert\vec n\rvert=\sqrt2$.

$\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\dfrac12$, значит, $\alpha=30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

Ошибка

Как ошибаются. Дробь $\frac12$ из примера записывают как $\cos\alpha$ и отвечают $60^\circ$. Это угол прямой со штырем, а не со стеной.

Проверка на числах. Вернемся к вертикальной прямой: дробь равна 1. По «косинусу» вышло бы $\alpha=0^\circ$, хотя прямая стоит к полу под прямым углом. По синусу $\sin\alpha=1$, $\alpha=90^\circ$ — верно. Для прямой, лежащей в полу, $\vec a\{1;1;0\}$, дробь равна 0: «косинус» дает $90^\circ$, синус — верные $0^\circ$.

Где ломается рассуждение. Формула со скалярным произведением всегда меряет угол между векторами. Нормаль перпендикулярна плоскости, поэтому меньший угол между прямой и нормалью дополняет искомый до $90^\circ$.

Ошибка с косинусом: прямая вдоль нормали и прямая в плоскости — Прямая вдоль штыря перпендикулярна полу: дробь равна 1, это синус, а не косинус

{"questions":[{"content":"Для прямой с направляющим вектором $\\vec a$ и плоскости с нормалью $\\vec n$: $[[fill_choice-1]]$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\sin\\alpha=\\dfrac{\\lvert\\vec a\\rvert\\lvert\\vec n\\rvert}{\\lvert\\vec a\\cdot\\vec n\\rvert}$","$\\sin\\alpha=\\dfrac{\\lvert\\vec a\\cdot\\vec n\\rvert}{\\lvert\\vec a\\rvert\\lvert\\vec n\\rvert}$","$\\cos\\alpha=\\dfrac{\\lvert\\vec a\\cdot\\vec n\\rvert}{\\lvert\\vec a\\rvert\\lvert\\vec n\\rvert}$","$\\sin\\alpha=\\dfrac{\\vec a\\cdot\\vec n}{\\lvert\\vec a\\rvert\\lvert\\vec n\\rvert}$"],"answer":1}},"hints":["Угол прямой с плоскостью и меньший угол прямой с нормалью в сумме дают $90^\\circ$.","Поэтому вместо косинуса получается синус, а скалярное произведение берется по модулю."],"step":1},{"content":"Прямая $\\vec a\\{0;3;4\\}$ и плоскость с нормалью $\\vec n\\{0;0;1\\}$. Решавр нашел $\\cos\\alpha=0{,}8$ и ответил: угол между прямой и плоскостью $\\alpha$ — это тот, у которого $\\cos\\alpha=0{,}8$. Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\sin\\alpha=0{,}8$; $\\cos\\alpha=0{,}6$","$\\sin\\alpha=0{,}2$; $\\cos\\alpha=0{,}8$","$\\sin\\alpha=0{,}8$; $\\cos\\alpha=0{,}2$","$\\sin\\alpha=0{,}6$; $\\cos\\alpha=0{,}8$"],"explanations":["","Дробь $\\frac{4}{5}$ не равна 0,2, а косинус 0,8 относится к углу между прямой и нормалью, не к $\\alpha$.","Синус найден верно, но косинус считается как $\\sqrt{1-0{,}64}=0{,}6$, а не 0,2.","Значения поменяны местами: дробь $\\frac45$ со скалярным произведением дает синус угла с плоскостью, а не косинус."],"answer":[0]}},"hints":["Значение $0{,}8=\\frac{\\vec a\\cdot\\vec n}{\\lvert\\vec a\\rvert\\lvert\\vec n\\rvert}$ относится к углу между прямой и нормалью.","Угол с плоскостью равен $90^\\circ-$ этого угла, значит, $\\sin\\alpha=0{,}8$ и $\\cos\\alpha=0{,}6$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Угол между стенами равен углу между штырями

Начнем с комнаты. Пол $z=0$ и стена $y=0$ перпендикулярны. Их штыри $\{0;0;1\}$ и $\{0;1;0\}$ тоже перпендикулярны: скалярное произведение равно 0. Теперь станем поворачивать стену вокруг линии стыка с полом. Штырь стены поворачивается вместе с ней на тот же угол, ведь он все время перпендикулярен стене. Поэтому угол между плоскостями равен углу между их нормалями, если этот угол не тупой.

Вид вдоль линии пересечения: угол между плоскостями равен углу между нормалями — Угол между плоскостями φ = 60° равен углу между нормалями n₁ и n₂; если взять противоположную нормаль −n₂, угол между векторами станет тупым — 120°, это дополнение до 180°

Правило

Косинус угла $\varphi$ между плоскостями с нормалями $\vec n_1$ и $\vec n_2$ равен модулю их скалярного произведения, деленному на произведение длин:

$$\cos\varphi=\dfrac{\lvert\vec n_1\cdot\vec n_2\rvert}{\lvert\vec n_1\rvert\cdot\lvert\vec n_2\rvert}$$

Зачем модуль? Уравнения $z-y-1=0$ и $y-z+1=0$ задают одну и ту же плоскость: второе получено из первого умножением на $-1$. Но нормали у них противоположные: $\{0;-1;1\}$ и $\{0;1;-1\}$. Угол между плоскостями не может зависеть от того, какое из двух уравнений мы записали, а знак скалярного произведения зависит. Модуль убирает эту случайность.

Пример 2

Найдем угол между плоскостями $x-z+2=0$ и $z-y-1=0$.

Нормали: $\vec n_1\{1;0;-1\}$, $\vec n_2\{0;-1;1\}$. Скалярное произведение: $1\cdot0+0\cdot(-1)+(-1)\cdot1=-1$. Длины: $\sqrt2$ и $\sqrt2$.

$\cos\varphi=\dfrac{\lvert-1\rvert}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\dfrac12$, значит, $\varphi=60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

Ошибка

Как ошибаются. В примере 2 забывают модуль: $\cos\varphi=-\frac12$, и в ответе $120^\circ$.

Проверка на числах. Запишем вторую плоскость как $y-z+1=0$. Нормаль $\{0;1;-1\}$, скалярное произведение с $\vec n_1$ равно $+1$, и без модуля получилось бы $60^\circ$. Одна и та же пара плоскостей дала два разных ответа — значит, ответ без модуля неверен.

Где ломается рассуждение. $120^\circ$ — угол между векторами нормалей, на схеме он отмечен красным. Угол между плоскостями не бывает тупым, поэтому берут $180^\circ-120^\circ=60^\circ$, и это ровно то, что дает модуль.

Проверьте себя: по чертежу куба выберите ближайшее к искомому углу значение из предложенных, затем сравните с вычислением. Для прямой и плоскости: если прогноз ближе к меньшему углу с нормалью, вы, скорее всего, оценили угол со штырем, а не с плоскостью. При $45^\circ$ оба угла совпадают, поэтому по одному ответу ошибку обнаружить нельзя.

g11-ugly-pryamaya-ploskost-prognoz-ugla

{"questions":[{"content":"Нормали плоскостей $\\{0;3;4\\}$ и $\\{3;0;4\\}$. Найдите косинус угла между плоскостями. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,64","0.64"]}},"hints":["$\\vec n_1\\cdot\\vec n_2=16$, $\\lvert\\vec n_1\\rvert=\\lvert\\vec n_2\\rvert=5$.","$\\cos\\varphi=\\frac{16}{25}=0{,}64$.","Ответ: 0,64."],"step":1},{"content":"Нормали плоскостей $\\vec n_1\\{1;0;0\\}$ и $\\vec n_2\\{-1;1;0\\}$. Решавр нашел $\\cos\\varphi=-\\frac{\\sqrt2}{2}$ и ответил: угол между плоскостями $135^\\circ$. Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\varphi=45^\\circ$","$\\varphi=135^\\circ$","$\\varphi=90^\\circ$","$\\varphi=60^\\circ$"],"explanations":["","$135^\\circ$ — угол между нормалями, но не между плоскостями: угол между плоскостями берут не больше $90^\\circ$, то есть нужен модуль","Скалярное произведение равно $-1$, а не $0$: плоскости не перпендикулярны","Косинус $60^\\circ$ равен $\\frac12$, а не $\\frac{\\sqrt2}{2}$"],"answer":[0]}},"hints":["$\\vec n_1\\cdot\\vec n_2=-1$, длины 1 и $\\sqrt2$.","Угол между плоскостями не превышает $90^\\circ$, поэтому берут модуль: $\\cos\\varphi=\\frac{\\sqrt2}{2}$.","$\\varphi=45^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Распределите задачи по формуле, которую нужно применить.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Синус","Косинус"],"items":[["Угол между $AC_1$ и плоскостью $ABCD$","Угол между $BD_1$ и гранью $ABB_1A_1$"],["Угол между плоскостями $A_1BD$ и $ABCD$","Угол между гранями при ребре $AB$"]]}},"hints":["Какими объектами заменяются прямая и плоскость, а какими две плоскости? В каком случае нужно дополнять угол до $90^\\circ$?","Угол прямой с плоскостью — через синус, угол между плоскостями — через косинус."],"step":1}],"mix":1}

Куб: диагональ, грань и сечение

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 1 начало координат — точка $A$, оси идут по $AB$, $AD$ и $AA_1$. Нормали граней видны сразу: у основания $ABCD$ это $\{0;0;1\}$, у грани $ABB_1A_1$ — $\{0;1;0\}$. Для наклонного сечения нормаль придется найти, как в уроке об уравнении плоскости: она перпендикулярна двум векторам, лежащим в сечении.

Куб: диагональ AC1 — нормаль сечения A1BD, угол с основанием — Диагональ куба AC₁ идет вдоль нормали сечения A₁BD

Пример 3

Найдем угол между диагональю $AC_1$ и плоскостью основания $ABCD$.

$C_1(1;1;1)$, поэтому $\overrightarrow{AC_1}=\{1;1;1\}$, нормаль основания $\vec n\{0;0;1\}$. $\lvert\overrightarrow{AC_1}\cdot\vec n\rvert=1$, $\lvert\overrightarrow{AC_1}\rvert=\sqrt3$, $\lvert\vec n\rvert=1$.

$\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}$, $\alpha=\arcsin\dfrac{\sqrt3}{3}\approx35{,}3^\circ$. Проверка классическим способом: проекция $AC_1$ на основание — диагональ $AC=\sqrt2$, высота $CC_1=1$, $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$. Тот же угол.

Ответ: $\arcsin\dfrac{\sqrt3}{3}$, или $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Пример 4

Найдем угол между сечением $A_1BD$ и основанием $ABCD$.

Векторы в сечении: $\overrightarrow{BD}=\{-1;1;0\}$, $\overrightarrow{BA_1}=\{-1;0;1\}$. Нормаль $\vec n_1\{p;q;r\}$ перпендикулярна обоим: $-p+q=0$ и $-p+r=0$. Возьмем $p=1$: $\vec n_1\{1;1;1\}$. Нормаль основания $\vec n_2\{0;0;1\}$.

$\cos\varphi=\dfrac{1}{\sqrt3\cdot1}=\dfrac{\sqrt3}{3}$, $\varphi=\arccos\dfrac{\sqrt3}{3}\approx54{,}7^\circ$, $\operatorname{tg}\varphi=\sqrt2$.

Ответ: $\arccos\dfrac{\sqrt3}{3}$, или $\operatorname{tg}\varphi=\sqrt2$.

Обратите внимание

В примерах 3 и 4 одна и та же дробь $\frac{\sqrt3}{3}$, но в примере 3 это синус, а в примере 4 — косинус, и углы разные: $35{,}3^\circ$ и $54{,}7^\circ$. Их сумма $90^\circ$ не случайна: нормаль сечения $\{1;1;1\}$ совпадает с вектором $\overrightarrow{AC_1}$, то есть диагональ $AC_1$ перпендикулярна сечению $A_1BD$.

В мини-тесте плоскость наклонная, а ответ нужен в виде тангенса. Сначала найдите по формуле $\cos\varphi$, затем $\sin\varphi=\sqrt{1-\cos^2\varphi}$ и вспомните: $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Расставьте шаги нахождения угла между прямой $BC_1$ и плоскостью $ABCD$ в кубе с ребром 1.[[sorter-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gkka9mj759g4.svg"},"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Направляющий вектор $\\overrightarrow{BC_1}=\\{0;1;1\\}$, нормаль $\\vec n=\\{0;0;1\\}$","Скалярное произведение равно 1, длины $\\sqrt2$ и 1","Тогда $\\sin\\alpha=\\frac{1}{\\sqrt2}$","Значит, $\\alpha=45^\\circ$"]}},"hints":["Прямую заменяют направляющим вектором, плоскость — нормалью."]},{"content":"В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребра $AB=AD=1$, $AA_1=2$. Найдите тангенс угла между плоскостями $ABC_1D_1$ и $ABCD$. Начало — $A$, оси по $AB$, $AD$, $AA_1$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["$\\overrightarrow{AB}=\\{1;0;0\\}$, $\\overrightarrow{AD_1}=\\{0;1;2\\}$. Нормаль $\\vec n_1\\{0;2;-1\\}$ перпендикулярна обоим векторам; для $ABCD$ — $\\vec n_2\\{0;0;1\\}$.","$\\cos\\varphi=\\frac{\\lvert-1\\rvert}{\\sqrt5\\cdot1}=\\frac{1}{\\sqrt5}$, тогда $\\sin\\varphi=\\sqrt{1-\\frac15}=\\frac{2}{\\sqrt5}$.","$\\operatorname{tg}\\varphi=\\frac{\\sin\\varphi}{\\cos\\varphi}=2$.","Ответ: 2."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Пирамида: когда проекцию трудно построить

Вернемся к вопросу из начала урока. В пирамиде $SABCD$ основание — квадрат со стороной 1, ребро $SA$ перпендикулярно основанию и $SA=1$. Нужен угол между ребром $SC$ и плоскостью $SBD$. Плоскость $SBD$ наклонная, и где на ней основание перпендикуляра из точки $C$, по чертежу не видно. Координатам это не мешает.

Пирамида SABCD: ребро SC и нормаль плоскости SBD — Нормаль плоскости SBD берем из уравнения, проекцию строить не нужно

Пример 5 (повышенный)

Поставим начало в $A$: $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $C(1;1;0)$, $S(0;0;1)$.

Плоскость $SBD$ отсекает на осях отрезки 1, 1 и 1, ее уравнение $x+y+z-1=0$. Проверка: координаты $S$, $B$, $D$ ему удовлетворяют. Нормаль $\vec n\{1;1;1\}$.

$\overrightarrow{SC}=\{1;1;-1\}$, $\overrightarrow{SC}\cdot\vec n=1+1-1=1$, $\lvert\overrightarrow{SC}\rvert=\sqrt3$, $\lvert\vec n\rvert=\sqrt3$.

$\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\dfrac13$, $\alpha=\arcsin\dfrac13\approx19{,}5^\circ$.

Ответ: $\arcsin\dfrac13$.

Тот же метод проверим на известном. Угол между гранью $SBC$ и основанием: векторы $\overrightarrow{BC}=\{0;1;0\}$ и $\overrightarrow{BS}=\{-1;0;1\}$ дают нормаль $\{1;0;1\}$, и $\cos\varphi=\dfrac{1}{\sqrt2\cdot1}=\dfrac{\sqrt2}{2}$, $\varphi=45^\circ$. Без координат: $SB\perp BC$ по теореме о трех перпендикулярах, поэтому искомый угол равен $\angle SBA$, а в прямоугольном треугольнике $SAB$ катеты $SA=AB=1$, значит, угол $45^\circ$. Ответы совпали.

Интересный факт: три такие пирамиды составляют куб

Скрыть

Нормали граней $SBC$ и $SCD$ — $\{1;0;1\}$ и $\{0;1;1\}$, $\cos\varphi=\dfrac{1}{2}$, угол между этими плоскостями $60^\circ$. При этом сама пирамида при ребре $SC$ имеет тупой двугранный угол $120^\circ$: три такие пирамиды с общим ребром $SC$ складываются в куб, и $3\cdot120^\circ=360^\circ$. Двугранный угол бывает тупым, а угол между плоскостями — нет, поэтому формула с модулем дает $60^\circ$.

{"questions":[{"content":"В пирамиде $SABCD$ основание — квадрат со стороной 1, $SA\\perp ABCD$, $SA=2$. Найдите синус угла $SC$ с плоскостью $SBD$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{3\\sqrt6}{2}$","$\\frac13$","$\\frac{\\sqrt6}{9}$","$-\\frac{\\sqrt6}{9}$"],"explanations":["Дробь перевернута и больше 1.","Это результат для высоты 1; здесь нужно заново найти нормаль и направляющий вектор.","","Синус угла прямой с плоскостью неотрицателен."],"answer":[2]}},"hints":["Выберите начало в $A$, оси вдоль $AB$, $AD$, $AS$: $S(0;0;2)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $C(1;1;0)$.","Плоскость $SBD$: $2x+2y+z-2=0$, нормаль $\\{2;2;1\\}$; $\\overrightarrow{SC}=\\{1;1;-2\\}$.","Произведение равно 2, длины $\\sqrt6$ и 3: $\\sin\\alpha=\\frac2{3\\sqrt6}=\\frac{\\sqrt6}{9}$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Сопоставьте угол и формулу, по которой его находят.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Прямая и плоскость","Плоскость и плоскость","Прямая и прямая"],"items":["$\\sin\\alpha=\\dfrac{\\lvert\\vec a\\cdot\\vec n\\rvert}{\\lvert\\vec a\\rvert\\lvert\\vec n\\rvert}$","$\\cos\\varphi=\\dfrac{\\lvert\\vec n_1\\cdot\\vec n_2\\rvert}{\\lvert\\vec n_1\\rvert\\lvert\\vec n_2\\rvert}$","$\\cos\\varphi=\\dfrac{\\lvert\\vec a\\cdot\\vec b\\rvert}{\\lvert\\vec a\\rvert\\lvert\\vec b\\rvert}$"]}},"hints":["Какие векторы входят в каждый угол: прямая и нормаль, две нормали или два направляющих? Где нужно дополнение до $90^\\circ$?","Прямая–плоскость — синус (угол с плоскостью дополняет угол с нормалью).","Плоскость–плоскость и прямая–прямая — косинус; для всех — модуль."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Углы в пространстве методом координат находятся по одной схеме: прямая превращается в маршрут, плоскость — в штырь, а угол — в дробь со скалярным произведением. Остается помнить, какой угол меряет дробь.

Модуль стоит везде: все три угла не больше $90^\circ$. Этот алгоритм решает многие задачи ЕГЭ профильного уровня на углы в кубе, призме и пирамиде. В следующем уроке тот же штырь поможет найти расстояние от точки до плоскости.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли взять любую нормаль плоскости?

Да. Все нормали одной плоскости параллельны и отличаются множителем, например $\{1;1;1\}$ и $\{-2;-2;-2\}$. Множитель сокращается в дроби, а знак убирает модуль, поэтому ответ не меняется.

Как выбрать направляющий вектор прямой?

Возьмите две различные точки прямой и вычтите из координат конца координаты начала. Подойдет любой ненулевой вектор вдоль прямой: его длина и направление на ответ не влияют по той же причине, что и для нормали.

Что делать, если скалярное произведение равно нулю?

Для прямой и плоскости это значит $\sin\alpha=0$: прямая параллельна плоскости или лежит в ней. Для двух плоскостей это $\cos\varphi=0$: плоскости перпендикулярны.

Почему в ответах ЕГЭ угол часто записан через тангенс или арксинус?

Углы вроде $35{,}3^\circ$ не выражаются целым числом градусов. Поэтому ответ записывают точно: $\arcsin\frac{\sqrt3}{3}$ или $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$. Тангенс находят через синус: $\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}$, а $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Награды за урок