Формула Герона

Мы уже умеем находить площадь треугольника через основание и проведенную к нему высоту. Удобно, когда высота известна или ее возможно найти.

Но что делать, если высота неизвестна, а заданы только три стороны? Здесь поможет особая формула, которую предложил древнегреческий ученый Герон.

Историческая справка

Герон Александрийский жил почти две тысячи лет назад, в I веке нашей эры. Его книги по математике и механике сохранились до наших дней. В одной из них — «Метрической книге» — содержались разные формулы для вычисления площадей и объемов.

В ней и встречается формула, которая позволяет находить площадь треугольника по трем сторонам.

Но Герон вошел в историю не только как математик. Он был настоящим изобретателем.

Например, в одном из храмов использовался его механизм: когда на алтаре зажигался огонь, воздух нагревался, давление в скрытом сосуде увеличивалось и тяжелые двери храма открывались сами.

Для людей того времени это выглядело необыкновенно.

В трактате Герона «Пневматика» описан «автомат для святой воды»: человек бросал монетку в щель, та падала на рычаг, открывался клапан, и из сосуда выливалась порция воды.

Это считается одним из первых «торговых автоматов» в истории, а современники называли это чудом техники.

Так что неудивительно, что формула Герона тоже оказалась настоящим изобретением — не зная высоты треугольника, стало возможным определить его площадь.

{"questions":[{"content":"Какое открытие связано с именем Герона Александрийского?[[image-1]][[choice-13]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/afrika-egipet.svg","width":"300"},"image-6":{"type":"image","url":""},"choice-13":{"type":"choice","options":["Изобретение парового двигателя в XIX веке.","Открытие формулы площади треугольника.","Открытие закона всемирного тяготения.","Изобретение компаса."],"answer":[1]}},"hints":["Герон жил в I веке нашей эры.","Его труд «Метрическая книга» содержал разные формулы для вычисления площадей и объемов."]}]}

Формула Герона

Мы знаем, что найти площадь треугольника можно при помощи основания и высоты, опущенной на него. Но если известны только три стороны, то эта формула становится неудобной. Именно здесь и пригодится формула Герона, которая справедлива для любого треугольника.

Если стороны треугольника равны $a$, $b$, $c$, то площадь треугольника равна:
$S = \sqrt{p(p -a)(p -b)(p -c)}$, где $p = \dfrac{a + b + c}{2}$ — его полупериметр.

Доказательство

Скрыть

Пусть стороны треугольника $ABC$ равны $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$. Проведем высоту $CH = h$ к стороне $AB$. Тогда $S = \dfrac{1}{2}\cdot c\cdot h$.

Обозначим $AH = x$, $HB = y$. Тогда $x + y=c$.

По теореме Пифагора, из прямоугольных треугольников $ACH$ и $BCH$ имеем:
$h^2 = b^2 -x^2$, $h^2 = a^2 -y^2$.

Приравняем высоты: $b^2 -x^2 = a^2 -y^2$.

Так как $x + y= c$, то $y = c -x$ $\Rightarrow$ $b^2 -x^2 = a^2 -(c -x)^2$.

Раскроем скобки: $b^2 -x^2 = a^2 -c^2 + 2cx -x^2$. Сокращаем $-x^2$ и получаем:
$2cx = b^2 + c^2 -a^2 \ \Rightarrow \ x = \dfrac{b^2 + c^2 -a^2}{2c}$.

Теперь в выражение $h^2 = b^2 -x^2$ подставим полученный $x$:
$h^2 = b^2 -x^2 = b^2 -\left(\dfrac{b^2 + c^2 -a^2}{2c}\right)^2 = \dfrac{4b^2c^2 -(b^2 + c^2 -a^2)^2}{4c^2}$.

Следовательно, $S = \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot h = \dfrac{1}{4} \cdot \sqrt{4b^2c^2 -(b^2 + c^2 -a^2)^2}$.

Преобразуем подкоренное выражение при помощи формулы разности квадратов:
$4b^2c^2 -(b^2 + c^2 -a^2)^2 = (2bc -(b^2 + c^2 -a^2))(2bc + (b^2 + c^2 -a^2)) = (a^2 -(b -c)^2)((b + c)^2 -a^2) = (a -b + c)(a + b -c)(b + c -f)(b + c + a)$.

Пусть $p = \dfrac{a + b + c}{2}$, тогда $a + b -c = 2(p -c)$, $c + a -b = 2(p -b)$, $c -a + b = 2(p -a)$.

Подставим:
$S = \dfrac{1}{4} \cdot \sqrt{(2p) \cdot 2(p -c) \cdot 2(p -b) \cdot 2(p -a)}$.

$S = \dfrac{1}{4} \cdot \sqrt{16 \cdot p(p -a)(p -b)(p -c)} = \sqrt{p(p -a)(p -b)(p -c)}$.

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"Найдите площадь треугольника со сторонами $a = 13$, $b = 14$, $c = 15$.[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/obrazavr_ozadachennyj.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$56$","$72$","$84$","$98$"],"answer":[2]}},"hints":["Сначала вычислим полупериметр $p = \\dfrac{a + b + c}{2} = \\dfrac{13 + 14 + 15}{2} = 21$.","Подставим значения в формулу Герона: $S = \\sqrt{p(p -a)(p -b)(p -c)} = \\sqrt{21(21 -13)(21 -14)(21 -15)} = \\sqrt{21 \\cdot 8 \\cdot 7 \\cdot 6} = \\sqrt{42^2 \\cdot 4} = 42 \\cdot 2 = 84$.<br /><br />Ответ: $84$."]}]}

Часто задаваемые вопросы