8 класс Геометрия Площадь Теорема Пифагора

Теорема Пифагора

Содержание

В уроках «Площадь прямоугольника и квадрата» и «Площадь параллелограмма» вы находили площади, разрезая фигуры на части. Сегодня тот же прием откроет главную теорему о прямоугольном треугольнике — теорему Пифагора: она связывает три его стороны, и по двум из них можно найти третью.

Задача, к которой мы вернемся в конце урока: лестница длиной $5$ м стоит у стены, ее нижний конец удален от стены на $3$ м. На какой высоте верхний конец лестницы?

Квадраты на сторонах: что видно на клетках

Нарисуем на клетчатой бумаге треугольник с прямым углом: одна сторона идет на $3$ клетки вправо, другая — на $4$ клетки вверх. Третья сторона соединяет их концы наискосок. На каждой стороне построим квадрат — назовем такие квадраты клумбами: на них удобно считать площадь клетками.

Квадраты на сторонах треугольника 3–4 на клетках: 9 + 16 = 25 — Малые клумбы — $9$ и $16$ клеток, большая — $49-4 \cdot 6 = 25$ клеток: $9 + 16 = 25$

В малых клумбах клетки считаются сразу: $3 \cdot 3 = 9$ и $4 \cdot 4 = 16$. Большая клумба стоит наклонно, поэтому обведем ее рамкой — квадратом $7 \times 7$ по линиям сетки. Рамка содержит $49$ клеток, а лишнее в ней — четыре прямоугольных треугольника в углах. Каждый из них — половина прямоугольника $3 \times 4$, то есть $6$ клеток. Получаем $49-4 \cdot 6 = 25$ клеток.

Заметим: $9 + 16 = 25$. Большая клумба равна двум малым вместе. Проверим на другом треугольнике, с катетами $5$ и $12$: рамка $17 \times 17 = 289$ клеток, четыре треугольника по $30$ клеток, остается $289-120 = 169$, и снова $25 + 144 = 169$.

Два совпадения — еще не доказательство: треугольников бесконечно много. Но гипотеза уже есть: клумба на длинной стороне равна сумме двух других клумб.

{"questions":[{"content":"На клетчатой бумаге нарисован треугольник с прямым углом, на его сторонах построены квадраты. Квадраты на двух сторонах, образующих прямой угол, содержат $36$ и $64$ клетки. Сколько клеток содержит квадрат на третьей стороне?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$28$","$196$","$100$","$10$"],"explanations":["Это разность $64-36$. Большой квадрат равен сумме двух малых, а не разности","Это квадрат со стороной $6 + 8 = 14$: сложили стороны малых квадратов. Складываются площади, а не стороны","","Это длина стороны большого квадрата, а спрашивают число клеток в нем: $10 \\cdot 10 = 100$"],"answer":[2]}},"hints":["Большой квадрат — на стороне против прямого угла — равен по площади двум малым вместе.","$36 + 64 = 100$ клеток."],"step":1}],"mix":1}

Лестница у стены: какая сторона главная

Лестница, стена и земля образуют прямоугольный треугольник: прямой угол — там, где стена встречает землю. Лестница лежит напротив этого угла, а стена и земля его образуют. У сторон прямоугольного треугольника есть свои названия.

Определение

Катеты — две стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенуза — сторона, лежащая против прямого угла.

В треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ катеты — $BC = a$ и $AC = b$, гипотенуза — $AB = c$.

Лестница у стены и квадраты на сторонах: c² = a² + b² — Гипотенуза $c$ — лестница — лежит против прямого угла; ее клумба равна двум клумбам катетов

Гипотенузу находят не «на глаз», а по прямому углу: сначала отмечаем прямой угол, потом берем сторону напротив него. Гипотенуза — самая длинная сторона, но узнают ее именно по прямому углу. В клумбах из первого раздела малые клумбы стояли на катетах, большая — на гипотенузе.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В теореме есть условие: треугольник прямоугольный. Без прямого угла клумбы не сходятся. Возьмем две стороны $3$ и $4$ и будем менять угол между ними. При угле $90^\circ$ третья сторона равна $5$, и $5^2 = 9 + 16$. При угле $60^\circ$ третья сторона — около $3{,}6$, ее квадрат около $13$. При угле $120^\circ$ — около $6{,}1$, квадрат около $37$. А сумма $3^2 + 4^2 = 25$ во всех трех случаях одна и та же.

Стороны 3 и 4 и разные углы: равенство только при 90° — Стороны $3$ и $4$ те же, а третья сторона зависит от угла: $c^2 = 25$ только при угле $90^\circ$

Важно

Прежде чем писать $c^2 = a^2 + b^2$, ответьте на два вопроса: есть ли в треугольнике прямой угол и какая сторона лежит против него. Если прямого угла нет, теорема Пифагора неприменима. Если угол прямой при вершине $A$, то гипотенуза — $BC$, и равенство выглядит так: $BC^2 = AB^2 + AC^2$.

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $90^\\circ$. Какое равенство верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$BC^2 = AB^2 + AC^2$","$AC^2 = AB^2 + BC^2$","$AB + BC = AC$","$AB^2 = BC^2 + AC^2$"],"explanations":["$BC$ — катет: гипотенуза против угла $B$, то есть $AC$","","Сумма двух сторон не равна третьей, и квадраты пропущены","Гипотенуза — сторона против прямого угла, а $AB$ лежит против угла $C$"],"answer":[1]}},"hints":["Гипотенуза лежит против прямого угла. Прямой угол $B$, значит, гипотенуза — сторона $AC$.","$AC^2 = AB^2 + BC^2$."],"step":1},{"content":"В треугольнике известны две стороны $a$ и $b$. В каком случае третью сторону $c$ можно найти по формуле $c^2 = a^2 + b^2$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["При любом угле между сторонами $a$ и $b$","Сторона $c$ — наибольшая в треугольнике","Угол между сторонами $a$ и $b$ равен $90^\\circ$","Угол против стороны $a$ равен $90^\\circ$"],"explanations":["При сторонах $3$ и $4$ и угле $60^\\circ$ между ними третья сторона около $3{,}6$, а не $5$: без прямого угла равенство не выполняется","Наибольшей сторона бывает и при тупом угле: при сторонах $3$ и $4$ и угле $120^\\circ$ между ними третья сторона около $6{,}1$, а не $5$","","Тогда гипотенуза — сторона $a$, и верно другое равенство: $a^2 = b^2 + c^2$"],"answer":[2]}},"hints":["Теорема Пифагора говорит о прямоугольном треугольнике: квадрат стороны, лежащей против прямого угла, равен сумме квадратов двух других сторон.","Сторона $c$ лежит против угла между сторонами $a$ и $b$. Значит, формула верна, когда этот угол равен $90^\\circ$."],"step":1}],"mix":1}

Почему большая клумба всегда равна двум малым

Докажем теорему для любого прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$. Возьмем четыре таких треугольника и квадрат со стороной $a + b$. Уложим треугольники в квадрат двумя способами и сравним, что останется незакрытым. Это тот же квадрат, что в уроке «Квадрат суммы и квадрат разности»: там его площадь $(a + b)^2$ раскладывали на части.

Два разбиения квадрата со стороной a + b: c² = a² + b² — Из равных квадратов убрали по четыре одинаковых треугольника: слева осталось $c^2$, справа $a^2 + b^2$

Доказательство

Шаг 1. Первый способ. Положим треугольники в углы квадрата так, чтобы каждая сторона квадрата делилась на отрезки $a$ и $b$. Незакрытой осталась фигура в середине. Ее стороны — гипотенузы равных треугольников, все они равны $c$. Ее углы прямые: у вершины на стороне квадрата сходятся два острых угла треугольника и угол фигуры, вместе $180^\circ$; острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают $90^\circ$, значит, на угол фигуры остается $90^\circ$. Фигура — квадрат площади $c^2$.

Шаг 2. Второй способ. Сложим треугольники попарно в два прямоугольника $a \times b$ и положим их в противоположные углы большого квадрата. Незакрытыми останутся два квадрата: со стороной $a$ и со стороной $b$. Их площадь $a^2 + b^2$.

Шаг 3. Квадраты одинаковые, и в обоих случаях закрыты четыре одинаковых треугольника. Значит, незакрытые площади равны: $c^2 = a^2 + b^2$. Что и требовалось доказать.

То же на языке формул. Площадь большого квадрата по первому способу — четыре треугольника по $\frac{ab}{2}$ и квадрат $c^2$, по второму — квадрат суммы:

Убираем из обеих частей $2ab$ и получаем $c^2 = a^2 + b^2$. Проверка на клумбах первого раздела, $a = 3$, $b = 4$: $4 \cdot 6 + 25 = 49 = 7^2$.

teorema-pifagora-pereslozhi-kvadrat

Интересный факт: доказательство Бхаскары

Скрыть

Индийский математик Бхаскара (XII век) уложил четыре таких же треугольника иначе — внутрь квадрата со стороной $c$, гипотенузами наружу. В середине остается маленький квадрат со стороной $b-a$. Тогда

Проверка при $a = 3$, $b = 4$: $4 \cdot 6 + 1^2 = 25$.

{"questions":[{"content":"Квадрат со стороной $a + b$ разрезан на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами $a$ и $b$ и квадрат со стороной $c$. Значит, $(a + b)^2 =$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$4ab + c^2$","$4 \\cdot \\frac{ab}{2} + c^2$","$\\frac{ab}{2} + c^2$","$a^2 + b^2$"],"answer":1}},"hints":["Площадь целого равна сумме площадей частей. Части — четыре треугольника и квадрат со стороной $c$.","Площадь прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ — половина прямоугольника $a \\times b$, то есть $\\frac{ab}{2}$.","Ответ: $(a + b)^2 = 4 \\cdot \\frac{ab}{2} + c^2$."],"explanation":"Площадь треугольника — половина прямоугольника $a \\times b$, а треугольников четыре: $4 \\cdot \\frac{ab}{2} + c^2$. Вариант $4ab + c^2$ забывает половину, $\\frac{ab}{2} + c^2$ — три треугольника из четырех, а $a^2 + b^2$ теряет удвоенное произведение $2ab$ из квадрата суммы.","level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Гипотенузу находят сложением, катет — вычитанием

Теорема связывает три стороны, поэтому по двум известным находится третья. Ищем гипотенузу — складываем две малые клумбы. Ищем катет — из большой клумбы убираем известную малую. В конце извлекаем корень: клумба — это квадрат, а нужна его сторона.

Правило

Гипотенуза по двум катетам: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Катет по гипотенузе и другому катету: $b = \sqrt{c^2-a^2}$.

Пример 1

Катеты прямоугольного треугольника равны $9$ и $40$. Найдите гипотенузу.

Решение. Ищем гипотенузу — складываем квадраты катетов: $c^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$. $c = \sqrt{1681} = 41$, потому что $41^2 = 1681$. Проверка смысла: $41$ больше каждого катета, как и положено гипотенузе.

Ответ: $41$.

Пример 2

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $20$, один из катетов равен $16$. Найдите другой катет.

Решение. Ищем катет — из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат известного катета: $b^2 = 20^2-16^2 = 400-256 = 144$, $b = \sqrt{144} = 12$. Проверка: $12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$.

Ответ: $12$.

Ошибка

Как ошибаются. Решавр решал задачу: лестница длиной $30$ м стоит у стены, нижний конец удален от стены на $18$ м — на какой высоте верхний конец? Он сложил квадраты, как для гипотенузы: $h^2 = 30^2 + 18^2 = 1224$, $h \approx 35$ м.

Проверка на числах. Лестница длиной $30$ м не достанет до высоты $35$ м: катет вышел длиннее гипотенузы. Так не бывает — большая клумба равна сумме двух малых, значит, она больше каждой из них.

Где сломалось рассуждение. Неизвестна не гипотенуза, а катет. Верно: $h^2 = 900-324 = 576$, $h = 24$ м. Другая частая ошибка — складывать сами стороны: $c = a + b$. Для катетов $3$ и $4$ это дает $7$, а гипотенуза равна $5$. Складываются площади клумб, а не длины сторон.

Катет 35 м не может быть длиннее лестницы 30 м — Ответ Решавра — $35$ м — выше, чем достает лестница длиной $30$ м: катет нашли как гипотенузу

{"questions":[{"content":"Решавр решал задачу: «Гипотенуза равна $39$, один катет равен $15$. Найдите другой катет». Он написал: $b^2 = 39^2 + 15^2 = 1746$, $b \\approx 41{,}8$. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Вычитать надо сами стороны: $b = 39-15 = 24$","Складывать надо сами стороны: $b = 39 + 15 = 54$","Катет нашли как гипотенузу: надо вычитать, $b^2 = 39^2-15^2$","Ошибки нет: квадраты сторон всегда складывают, $b \\approx 41{,}8$"],"explanations":["Вычитать нужно квадраты: $24^2 + 15^2 = 801$, а $39^2 = 1521$ — равенство не выполняется","Теорема Пифагора связывает квадраты сторон, а не сами стороны; к тому же катет снова длиннее гипотенузы","","Складывают квадраты катетов, чтобы получить квадрат гипотенузы. Здесь гипотенуза известна, а катет $41{,}8$ вышел длиннее гипотенузы $39$ — так не бывает"],"answer":[2]}},"hints":["Посмотрите на ответ: катет $41{,}8$ длиннее гипотенузы $39$. Так не бывает: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, значит, он больше квадрата каждого катета.","Верно: $39^2 = 15^2 + b^2$, отсюда $b^2 = 1521-225 = 1296$, $b = 36$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-1]]В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $13$, один из катетов равен $5$. Найдите другой катет. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/625ypvpvtxx4.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Катет не может быть больше гипотенузы, поэтому из $c^2$ вычитают: $b^2 = c^2-a^2 = 13^2-5^2 = 169-25 = 144$.","$b = \\sqrt{144} = 12$."],"step":1}],"mix":1}

Когда корень извлекается нацело, а когда нет

В первом разделе стороны $3$, $4$, $5$ и $5$, $12$, $13$ оказались целыми. Такие тройки встречаются в задачах постоянно, их полезно узнавать сразу.

Определение

Пифагорова тройка — три натуральных числа $a$, $b$, $c$, для которых $a^2 + b^2 = c^2$. Самые частые: $3, 4, 5$; $5, 12, 13$; $8, 15, 17$.

Тройки 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17 и суммы квадратов катетов — Три пифагоровы тройки: $9 + 16 = 25$, $25 + 144 = 169$, $64 + 225 = 289$

Если все стороны тройки умножить на одно число, снова получится тройка: $30, 40, 50$ — это $3, 4, 5$, умноженные на $10$, и $900 + 1600 = 2500 = 50^2$. А «прибавить по единице» нельзя: у чисел $6, 13, 14$ получаем $36 + 169 = 205$, а $14^2 = 196$. Проверять тройку надо так: наибольшее число — кандидат в гипотенузу, его квадрат сравниваем с суммой квадратов двух других.

Чаще корень нацело не извлекается. Тогда ответ записывают как $\sqrt{n}$ или округляют, если этого требует условие.

Пример 3

Катеты прямоугольного треугольника равны $3$ и $5$. Найдите гипотенузу и округлите до десятых.

Решение. $c^2 = 9 + 25 = 34$, $c = \sqrt{34}$. Ищем соседние десятые: $5{,}8^2 = 33{,}64$ и $5{,}9^2 = 34{,}81$, значит, $c$ между $5{,}8$ и $5{,}9$. Середина: $5{,}85^2 = 34{,}2225 > 34$, поэтому $c < 5{,}85$ и до десятых $c \approx 5{,}8$.

Ответ: $\sqrt{34} \approx 5{,}8$.

Интересный факт: тройки на глиняной табличке

Скрыть

Тройки знали задолго до Пифагора (VI век до н. э.). На вавилонской глиняной табличке, которую называют Плимптон 322 (около 1800 года до н. э.), записаны числа, связанные с пятнадцатью прямоугольными треугольниками с целыми сторонами, среди них такие, как $119$ и $169$: $169^2-119^2 = 120^2$. Пифагору приписывают первое общее доказательство теоремы, но записей самого Пифагора не сохранилось.

{"questions":[{"content":"Какие тройки чисел могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, а какие нет?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Могут","Не могут"],"items":[["$6,\\ 8,\\ 10$","$8,\\ 17,\\ 15$","$20,\\ 21,\\ 29$"],["$4,\\ 5,\\ 6$","$5,\\ 12,\\ 14$","$7,\\ 8,\\ 9$"]]}},"instruction":"Распределите тройки по группам","hints":["В каждой тройке наибольшее число — кандидат в гипотенузу (оно может стоять не последним). Сравните его квадрат с суммой квадратов двух других.","$36 + 64 = 100 = 10^2$; $64 + 225 = 289 = 17^2$; $400 + 441 = 841 = 29^2$. А $16 + 25 = 41 \\ne 36$; $25 + 144 = 169 \\ne 196$; $49 + 64 = 113 \\ne 81$.","Ответ: могут — $6, 8, 10$; $8, 17, 15$; $20, 21, 29$. Не могут — $4, 5, 6$; $5, 12, 14$; $7, 8, 9$."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $17$, один катет равен $8$. Найдите второй катет. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zz5f2qn7btfy.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["$b^2 = 17^2-8^2 = 289-64 = 225$.","$b = \\sqrt{225} = 15$."],"step":1}],"mix":1}

Где спрятаны стена и земля

Вернемся к лестнице из начала урока. Стена и земля образуют прямой угол — это катеты, лестница длиной $5$ м — гипотенуза. Расстояние до стены $3$ м — известный катет, высота $h$ — неизвестный катет. Ищем катет — вычитаем: $h^2 = 5^2-3^2 = 25-9 = 16$, $h = 4$ м. Верхний конец лестницы — на высоте $4$ м. Если нижний конец отодвинуть на $4$ м от стены, верх опустится до $\sqrt{25-16} = 3$ м.

В задачах ОГЭ прямоугольный треугольник обычно не нарисован отдельно — его надо увидеть внутри фигуры. Ищите «стену и землю»: два отрезка, перпендикулярных друг другу.

Прямоугольный треугольник в лестнице, прямоугольнике, равнобедренном треугольнике и ромбе — В каждой фигуре прямоугольный треугольник: катеты — стороны или половины отрезков фигуры, гипотенуза — искомое или известное

Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и медианой — делит основание пополам, и треугольник распадается на два прямоугольных. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам — ромб распадается на четыре прямоугольных треугольника. Поэтому в таких задачах часто нужны не целые отрезки, а их половины.

Пример 4

Основание равнобедренного треугольника равно $42$, боковая сторона равна $35$. Найдите высоту, проведенную к основанию.

Решение. Высота делит основание пополам: $42 : 2 = 21$. В прямоугольном треугольнике гипотенуза — боковая сторона $35$, катеты — $21$ и высота $h$. Ищем катет: $h^2 = 35^2-21^2 = 1225-441 = 784$, $h = \sqrt{784} = 28$.

Ответ: $28$.

Так же считают диагональ экрана: у экрана $48 \times 36$ см стороны — катеты, диагональ — гипотенуза, $d = \sqrt{2304 + 1296} = \sqrt{3600} = 60$ см.

{"questions":[{"content":"В каждой задаче ищут длину по теореме Пифагора. Сопоставьте задачу и прямоугольный треугольник, который для этого нужен.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Диагональ прямоугольника","Высота равнобедренного треугольника к основанию","Сторона ромба"],"items":["Катеты — две соседние стороны","Катет — половина основания, гипотенуза — боковая сторона","Катеты — половины диагоналей","Катеты — целые диагонали"]}},"instruction":"Сопоставьте задачу и треугольник","hints":["Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника: катеты — две соседние стороны, гипотенуза — диагональ.","Высота равнобедренного треугольника к основанию является медианой: катеты — высота и половина основания, гипотенуза — боковая сторона. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам: катеты — половины диагоналей, гипотенуза — сторона ромба.","Ответ: диагональ прямоугольника — катеты-стороны; высота равнобедренного — половина основания и боковая сторона; сторона ромба — половины диагоналей. Вариант «катеты — целые диагонали» лишний."],"step":1},{"content":"[[image-1]]В равнобедренном треугольнике основание равно $48$, боковая сторона равна $26$. Найдите высоту, проведенную к основанию. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/joldfebvtzmk.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Высота к основанию является и медианой: она делит основание на два отрезка по $24$.","Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $26$ и катетом $24$: $h^2 = 676-576 = 100$, $h = 10$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Лестница длиной $6{,}5$ м приставлена к вертикальной стене. Нижний конец лестницы стоит на расстоянии $2{,}5$ м от стены. На какой высоте (в метрах) находится верхний конец лестницы? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Стена, земля и лестница образуют прямоугольный треугольник. Прямой угол — между стеной и землей, напротив него лежит лестница: она гипотенуза.","Высота — катет, поэтому из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат другого катета: $h^2 = 6{,}5^2-2{,}5^2 = 42{,}25-6{,}25 = 36$.","$h = \\sqrt{36} = 6$ м."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Теорема Пифагора — главный инструмент для расстояний: по двум сторонам прямоугольного треугольника она дает третью. С ней вы найдете диагональ, высоту, длину лестницы или расстояние между точками, не измеряя их. Чтобы вспомнить правило, представьте лестницу у стены и клумбы на ее сторонах: клумба лестницы равна двум клумбам стены и земли.

В следующем уроке «Обратная теорема Пифагора» вопрос поставим наоборот: если клумбы сошлись, обязательно ли угол прямой.

Часто задаваемые вопросы

Почему теорема верна только для прямоугольного треугольника?

В доказательстве четыре треугольника складываются в квадрат именно потому, что их острые углы в сумме дают $90^\circ$. Без прямого угла это не так, и равенство ломается: при сторонах $3$ и $4$ и угле $60^\circ$ между ними третья сторона около $3{,}6$, а не $5$.

Как не перепутать, когда складывать, а когда вычитать?

Посмотрите, что ищете. Гипотенуза — самая длинная сторона, ее клумба самая большая: складываем. Катет короче гипотенузы: из большой клумбы вычитаем. Проверка ответа: катет обязан выйти меньше гипотенузы.

Что делать, если корень не извлекается нацело?

Оставьте ответ в виде корня, например $\sqrt{34}$. Если в условии сказано округлить, найдите соседние десятые, между квадратами которых лежит число под корнем, и выберите ближайшее.

Почему теорема носит имя Пифагора, если тройки знали раньше?

Вавилоняне пользовались тройками и этим правилом в расчетах более чем за тысячу лет до Пифагора. Пифагору и его школе предание приписывает доказательство для любого прямоугольного треугольника, а не для отдельных чисел. Поэтому теорема и носит его имя.

Награды за урок