Теорема, обратная теореме Пифагора

В геометрии часто бывает так: если известно одно свойство, то обязательно найдется и обратное утверждение. Из теоремы Пифагора мы уже знаем, что стороны прямоугольного треугольника связывают особые отношения между его сторонами.

Сегодня увидим, как по длинам сторон можно определить, что перед нами прямоугольный треугольник.

Соотношение сторон треугольника

У любого треугольника стороны связаны между собой. Самое простое правило, которое мы уже знаем, — это неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других.

Но иногда нас интересует не просто больше или меньше, а то, как именно складываются квадраты сторон.

Если взять треугольник и сравнить квадрат большей стороны с суммой квадратов двух меньших, то возможны три случая:

1. если $c^2 < a^2 + b^2$, то угол напротив стороны $c$ — острый;
2. если $c^2 > a^2 + b^2$, то угол напротив стороны $c$ — тупой;
3. если $c^2 = a^2 + b^2$, то угол напротив стороны $c$ — прямой.

И вот это последнее равенство как раз и приводит нас к важному утверждению.

Если для треугольника выполняется равенство $a^2+b^2=c^2$, то он прямоугольный.

Это и есть обратная теорема к теореме Пифагора.

{"questions":[{"content":"Для треугольника выполнено условие: $c^2 > a^2 + b^2$. Каким будет угол, лежащий напротив стороны $c$?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_syshhik-01-1.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Прямым","Тупым","Острым","Развернутым"],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните, что сравнение $c^2$ с $a^2 + b^2$ помогает определить вид угла.","Если $c^2$ больше суммы квадратов двух других сторон, значит, угол «распахнут» шире прямого."]}]}

Доказательство обратной теоремы

Мы описали возможные соотношения между сторонами треугольника и связали их с видами углов. Докажем одно из этих утверждений, которое является теоремой, обратной теореме Пифагора.

Если $c^2 = a^2 + b^2$, то угол напротив стороны $c$ прямой, а треугольник — прямоугольный.

Доказательство

Скрыть

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором стороны равны $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$ и $c^2 = a^2 + b^2$.
Построим треугольник $A_1BC$, где $\angle A_1 = 90^\circ$, а стороны $A_1B = a$, $A_1C = b$.

По теореме Пифагора имеем: $BC^2 = A_1B^2 + A_1C^2 = a^2 + b^2$.

По условию задачи также $c^2 = a^2 + b^2$, то есть $BC^2 = c^2$. Следовательно, $BC = c$.

Значит, треугольники $ABC$ и $A_1BC$ имеют одинаковые стороны и равны по трем сторонам.
Отсюда $\angle A = \angle A_1 = 90^\circ$.

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"Какие из данных троек чисел, обозначающих стороны, образуют прямоугольный треугольник?[[image-1]][[choice-7]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/obrazavr_konveer-01.svg","width":"300"},"choice-7":{"type":"choice","options":["$(5; \\ 12; \\ 13)$","$(7; \\ 9; \\ 12)$","$(9; \\ 20; \\ 21)$","$(6; \\ 8; \\ 15)$"],"answer":[0]}},"hints":["Для прямоугольного треугольника выполняется равенство: $c^2 = a^2 + b^2$.","Проверьте каждую тройку: сосчитайте квадрат большей стороны и сравните с суммой квадратов двух других."]}]}

Это интересно

Мы уже сталкивались с пифагоровыми тройками — наборами целых чисел, которые подходят под равенство $a^2+b^2=c^2$. Самая простая из них — $(3; \ 4; \ 5)$.

Именно она помогала мастерам еще в древности. На веревке делали $12$ одинаковых узелков, замыкали ее в кольцо и натягивали так, чтобы стороны получились в отношении $3:4:5$.

В точке соединения образовывался прямой угол. Такой «инструмент» был удобен для землемеров и строителей задолго до появления привычных нам угольников и транспортиров.

Математики же заметили, что подобных троек бесконечно много, и даже вывели формулу для их построения.

Если взять числа $m$ и $n$ при $m>n$, а также любое натуральное $k$, то тройка $(2mnk; \ (m^2-n^2)k; \ (m^2+n^2)k)$ будет пифагоровой.

Например, при $m=2$, $n=1$, $k=1$ получаем $(4; \ 3; \ 5)$. а если взять $k=2$, то получится $(8; \ 6; \ 10)$.

И сегодня эти простые соотношения помогают нам быстро узнавать прямоугольные треугольники без лишних построений.

Часто задаваемые вопросы