Теорема Пифагора, обратная теорема Пифагора, формула Герона

Перед вами тест, который поможет закрепить три важные темы: теорема Пифагора, обратная теорема Пифагора и формула Герона. Вопросы включают и проверку знаний формул, и устные формулировки, и практические задачи.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Укажите правильную запись теоремы Пифагора, если $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза прямоугольного треугольника.[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/pifagor-1.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$a^2 + b^2 = c^2$","$a^2 + b^2 = 2ab$","$a^2 -b^2 = c^2$","$a^2 + c^2 = b^2$"],"answer":[0]}},"hints":["Формула связывает катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника.","Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы."],"id":"0"},{"content":"В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $13 \\ см$, один из катетов равен $5 \\ см$. Найдите второй катет.[[image-28]][[choice-41]]","widgets":{"image-28":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/personazh-s-lupoi-.svg","width":"300"},"choice-41":{"type":"choice","options":["$12 \\ см$","$18 \\ см$","$8 \\ см$","$10 \\ см$"],"answer":[0]}},"hints":["Используйте теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.","Выразите $b^2$: <br />$b^2 = c^2 -a^2$.<br />Подставьте числа:<br />$b^2 = 13^2 -5^2 = 169 -25 = 144$,<br />$b = \\sqrt{144} = 12 \\ см$.<br /><br />Ответ: $b = 12 \\ см$.<br />"],"id":"0"},{"content":"В прямоугольном треугольнике катеты равны $7 \\ см$ и $10 \\ см$. Найдите гипотенузу.[[image-103]][[choice-124]]","widgets":{"image-103":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/gora-01-1.svg","width":"300"},"choice-124":{"type":"choice","options":["$149 \\ см$","$\\sqrt{149} \\ см$","$13 \\ см$","$\\sqrt{17} \\ см$"],"answer":[1]}},"hints":["Примените теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.","Подставьте числа: $c^2 = 7^2 + 10^2 = 49 + 100 = 149$. Тогда $c = \\sqrt{149} \\ см$.<br /><br />Ответ: $c = \\sqrt{149} \\ см$."],"id":"1"},{"content":"Выберете правильную формулировку теоремы Пифагора:[[image-218]][[choice-247]]","widgets":{"image-218":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/01/radio.svg","width":"300"},"choice-247":{"type":"choice","options":["В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.","В прямоугольном треугольнике гипотенуза равен сумме катетов.","В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен произведению катетов.","В прямоугольном треугольнике разность квадратов катетов равна квадрату гипотенузы."],"answer":[0]}},"hints":["Теорема описывает связь квадратов гипотенузы и квадратов катетов.","Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов."],"id":"1"},{"content":"По какой формуле вычисляется диагональ квадрата со стороной $a$?[[image-349]][[choice-386]]","widgets":{"image-349":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/6-01-17.svg","width":"299"},"choice-386":{"type":"choice","options":["$d = a \\sqrt{2}$","$d = 2a$","$d = \\dfrac{a}{\\sqrt{2}}$","$d = a^2$"],"answer":[0]}},"hints":["Диагональ делит квадрат на два прямоугольных треугольника.","В каждом из этих треугольников катеты равны $a$, значит, $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $d = a \\sqrt{2}$."],"id":"2"},{"content":"Какая из троек чисел образует египетский треугольник?[[image-494]][[choice-539]]","widgets":{"image-494":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/12/kipling-01.svg","width":"300"},"choice-539":{"type":"choice","options":["$(3; \\ 4; \\ 5)$","$(5; \\ 6; \\ 7)$","$(7; \\ 8; \\ 9)$","$(2; \\ 3; \\ 4)$"],"answer":[0]}},"hints":["Воспользуйтесь теоремой Пифагора:<br />$a^2 + b^2 = c^2$.","Египетский треугольник — это прямоугольный треугольник со сторонами $3$, $4$ и $5$.<br />$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$."],"id":"2"},{"content":"С помощью египетского треугольника определите длину гипотенузы, если катеты равны $12 \\ см$ и $16 \\ см$.[[image-681]][[choice-734]]","widgets":{"image-681":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/5-01-18.svg","width":"300"},"choice-734":{"type":"choice","options":["$28 \\ см$","$20 \\ см$","$4 \\sqrt{7} \\ см$","$15 \\ см$"],"answer":[1]}},"hints":["Египетский треугольник имеет стороны $3$, $4$, $5$.","Если катеты увеличены в $4$ раза ($3 \\cdot 4 = 12$, $4 \\cdot 4 = 16$), то и гипотенуза увеличится в $4$ раза: $5 \\cdot 4 = 20 \\ см$."],"id":"3"},{"content":"Какова сторона квадрата, если его диагональ равна $15 \\sqrt{2} \\ см$?[[image-885]][[choice-946]]","widgets":{"image-885":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/istorik-istoriya-chitaet-knigu-kniga-lupa-01.svg","width":"300"},"choice-946":{"type":"choice","options":["$10 \\ см$","$15 \\ см$","$30 \\ см$","$45 \\ см$"],"answer":[1]}},"hints":["Диагональ квадрата выражается формулой $d = a \\sqrt{2}$.","Подставим: $a \\sqrt{2} = 15 \\sqrt{2}$, значит, $a = 15 \\ см$.<br /><br />Ответ: $15 \\ см$."],"id":"3"},{"content":"С помощью обратной теоремы Пифагора определите, какой из треугольников является прямоугольным.[[image-1136]][[choice-1205]]","widgets":{"image-1136":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/dumaet-nad-formulami-na-doske-formuly-doska.svg","width":"300"},"choice-1205":{"type":"choice","options":["Со сторонами $7 \\ см$, $24 \\ см$, $25 \\ см$.","Со сторонами $8 \\ см$, $15 \\ см$, $18 \\ см$.","Со сторонами $10 \\ см$, $11 \\ см$, $15 \\ см$.","Со сторонами $6 \\ см$, $9 \\ см$, $12 \\ см$."],"answer":[0]}},"hints":["Сравните квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух меньших.","$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$, значит, треугольник прямоугольный."],"id":"4"},{"content":"Найдите площадь треугольника со сторонами $a = 9 \\ см$, $b = 10 \\ см$, $c = 17 \\ см$.[[image-1435]][[choice-1512]]","widgets":{"image-1435":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/zolotoj-peok-optimized.png","width":"300"},"choice-1512":{"type":"choice","options":["$30 \\ см^2$","$36 \\ см^2$","$42 \\ см^2$","$48 \\ см^2$"],"answer":[1]}},"hints":["Воспользуйтесь формулой Герона: $S = \\sqrt{p(p -a)(p -b)(p -c)}$, где $p = \\dfrac{a + b + c}{2}$.","Полупериметр: $p = \\dfrac{9 + 10 + 17}{2} = \\dfrac{36}{2} = 18$.<br />Подставим: $S = \\sqrt{18(18 -9)(18 -10)(18 -17)} = \\sqrt{18 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 1}$.<br />$S = \\sqrt{18^2 \\cdot 4} = 18 \\cdot 2 = 36 \\ см^2$.<br /><br />Ответ: $36 \\ см^2$."],"id":"4"},{"content":"Выберите правильную формулу Герона для вычисления площади треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$.[[image-1830]][[choice-1915]]","widgets":{"image-1830":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/bank-01.svg","width":"300"},"choice-1915":{"type":"choice","options":["$S = \\sqrt{p \\cdot (p -a) \\cdot (p -b) \\cdot (p -c)}$, где $p = \\dfrac{a + b + c}{2}$.","$S = \\sqrt{p \\cdot (p -a) \\cdot (p -b) \\cdot (p -c)}$, где $p = \\dfrac{a  \\cdot b \\cdot c}{2}$.","$S = \\dfrac{a + b + c}{2}$.","$S = \\sqrt{P \\cdot (P -a) \\cdot (P -b) \\cdot (P -c)}$, где $P$ — периметр треугольника."],"answer":[0]}},"hints":["Формула Герона обязательно содержит полупериметр $p = \\dfrac{a + b + c}{2}$.","Формула Герона выглядит так: <br />$S = \\sqrt{p \\cdot (p -a) \\cdot (p -b) \\cdot (p -c)}$, где $p = \\dfrac{a + b + c}{2}$."],"id":"5"},{"content":"Как формулируется обратная теорема Пифагора?[[image-2265]][[choice-2358]]","widgets":{"image-2265":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_chalk.svg","width":"300"},"choice-2358":{"type":"choice","options":["Если в треугольнике сумма квадратов двух меньших сторон равна квадрату наибольшей стороны, то треугольник прямоугольный.","Если в треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то треугольник равнобедренный.","Если в треугольнике сумма квадратов сторон равна произведению этих сторон, то треугольник равносторонний.","Если в треугольнике сумма квадратов катетов равна удвоенному произведению катетов, то треугольник прямоугольный."],"answer":[0]}},"hints":["Обратная теорема Пифагора помогает проверить, прямоугольный ли треугольник.","Нужно сравнить квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других."],"id":"5"}],"mix":1}</textarea></pre></div>