Обратная теорема Пифагора

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]Стороны треугольника равны $9$, $40$ и $41$. Прямоугольный ли он?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/y5tm9hjyctwd.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Нет, потому что $41$ — нечетное число","Нельзя определить без углов","Нет, потому что $9 + 40 \\ne 41$","Да, потому что $9^2 + 40^2 = 41^2$"],"explanations":["Четность не влияет на угол","Достаточно трех сторон","$9 + 40 = 49$, но складывать надо квадраты",""],"answer":[3]}},"hints":["$9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$.","$41^2 = 1681$: равенство верно, треугольник прямоугольный."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Стороны треугольника равны $12$, $35$ и $37$. Прямоугольный ли он?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/b3yfxbqv4mh8.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["Нет, потому что $12 + 35 \\ne 37$","Нет, потому что $35$ не делится на $12$","Да, потому что $12^2 + 35^2 = 37^2$","Нельзя определить без углов"],"explanations":["$12 + 35 = 47$, но складывать надо квадраты","Делимость не имеет отношения к углу","","Достаточно трех сторон"],"answer":[2]}},"hints":["$12^2 + 35^2 = 144 + 1225 = 1369$.","$37^2 = 1369$: равенство верно, треугольник прямоугольный."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-3]]Две стороны треугольника равны $12$ и $16$. Чему равна третья сторона, если угол между ними прямой? [[input-1]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zfg9kpoomado.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["$c^2 = 144 + 256 = 400$.","$c = 20$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-4]]Две стороны треугольника равны $24$ и $45$. Чему равна третья сторона, если угол между ними прямой? [[input-2]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/1kf2zrx7jtpq.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"51"}},"hints":["$c^2 = 576 + 2025 = 2601$.","$c = 51$."],"step":1},{"id":"3","content":"В треугольнике $DEF$ стороны $DE = 16$, $EF = 30$, $DF = 34$. Прямой угол этого треугольника — [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\angle F$","$\\angle E$","$\\angle D$","прямого угла нет"],"answer":1}},"hints":["Наибольшая сторона — $DF = 34$: $16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156 = 34^2$.","По обратной теореме Пифагора прямой угол лежит против стороны $DF$ — это угол $E$."],"explanation":"Равенство $DE^2 + EF^2 = DF^2$ выполняется, и прямой угол лежит против наибольшей стороны $DF$, то есть это угол $E$. Углы $D$ и $F$ лежат против катетов $EF$ и $DE$; ответ «прямого угла нет» неверен — равенство точное.","step":1},{"id":"3","content":"В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 84$, $BC = 85$, $AC = 13$. Прямой угол этого треугольника — [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$\\angle C$","$\\angle A$","прямого угла нет","$\\angle B$"],"answer":1}},"hints":["Наибольшая сторона — $BC = 85$: $13^2 + 84^2 = 169 + 7056 = 7225 = 85^2$.","По обратной теореме Пифагора прямой угол лежит против стороны $BC$ — это угол $A$."],"explanation":"Равенство $AB^2 + AC^2 = BC^2$ выполняется, и прямой угол лежит против наибольшей стороны $BC$, то есть это угол $A$. Углы $B$ и $C$ лежат против катетов $AC$ и $AB$; ответ «прямого угла нет» неверен — равенство точное.","step":1},{"id":"4","content":"Сопоставьте стороны треугольника и его вид по углам.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$30,\\ 40,\\ 50$","$3,\\ 5,\\ 7$","$5,\\ 6,\\ 7$"],"items":["Прямоугольный","Тупоугольный","Остроугольный"]}},"instruction":"Сопоставьте стороны и вид треугольника","hints":["Сравните квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других.","$900 + 1600 = 2500 = 50^2$ — прямоугольный; $9 + 25 = 34 < 49$ — тупоугольный; $25 + 36 = 61 > 49$ — остроугольный."],"step":1},{"id":"4","content":"Сопоставьте стороны треугольника и его вид по углам.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$20,\\ 48,\\ 52$","$6,\\ 8,\\ 11$","$7,\\ 8,\\ 9$"],"items":["Прямоугольный","Тупоугольный","Остроугольный"]}},"instruction":"Сопоставьте стороны и вид треугольника","hints":["Сравните квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других.","$400 + 2304 = 2704 = 52^2$ — прямоугольный; $36 + 64 = 100 < 121$ — тупоугольный; $49 + 64 = 113 > 81$ — остроугольный."],"step":1},{"id":"5","content":"Стороны треугольника равны $89$, $39$ и $80$. Какое равенство надо проверить, чтобы узнать, прямоугольный ли он?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$89^2 + 39^2 = 80^2$","$39^2 + 80^2 = 89^2$","$89 + 39 = 80$","$89^2 + 80^2 = 39^2$"],"explanations":["Первая названная сторона не обязана быть гипотенузой: гипотенуза — наибольшая","","Нужны квадраты, а не сами длины","Гипотенуза — наибольшая сторона, она не может стоять в сумме"],"answer":[1]}},"hints":["Наибольшая сторона — $89$, а названа первой. Она должна стоять отдельно.","Проверяем: $39^2 + 80^2 = 89^2$ ($1521 + 6400 = 7921$: верно)."],"step":1},{"id":"5","content":"Стороны треугольника равны $42$, $58$ и $40$. Какое равенство надо проверить, чтобы узнать, прямоугольный ли он?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$42^2 + 58^2 = 40^2$","$40^2 + 42^2 = 58^2$","$58^2 + 40^2 = 42^2$","$42 + 40 = 58$"],"explanations":["Первая названная сторона не обязана быть гипотенузой","","Гипотенуза — наибольшая сторона, она не стоит в сумме","Нужны квадраты, а не сами длины"],"answer":[1]}},"hints":["Наибольшая сторона — $58$, она стоит в середине списка.","Проверяем: $40^2 + 42^2 = 58^2$ ($1600 + 1764 = 3364$: верно)."],"step":1},{"id":"6","content":"Решавр проверял треугольник со сторонами $20$, $99$ и $101$ и написал: $20^2 + 101^2 = 99^2$? $400 + 10201 = 10601 \\ne 9801$, значит, не прямоугольный. В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Надо было сложить $20 + 99 + 101$","Надо было извлечь корень из $9801$ и $10601$","Ошибки нет: равенство не выполнено","Гипотенузой надо брать наибольшую сторону, $101$"],"explanations":["Периметр не связан с признаком","Корни извлекать не нужно: сравнивают квадраты","Не выполнено неверно составленное равенство; с гипотенузой $101$ оно верно",""],"answer":[3]}},"hints":["Гипотенуза лежит против прямого угла и является наибольшей стороной. Ее квадрат стоит отдельно.","Верно: $20^2 + 99^2 = 400 + 9801 = 10201 = 101^2$ — треугольник прямоугольный."],"step":1},{"id":"6","content":"Решавр проверял треугольник со сторонами $48$, $55$ и $73$ и написал: $48^2 + 73^2 = 55^2$? $2304 + 5329 = 7633 \\ne 3025$, значит, не прямоугольный. В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Гипотенузой надо брать наибольшую сторону, $73$","Надо было извлечь корень из $3025$ и $7633$","Ошибки нет: равенство не выполнено","Надо было сложить $48 + 55 + 73$"],"explanations":["","Корни извлекать не нужно: сравнивают квадраты","Не выполнено неверно составленное равенство; с гипотенузой $73$ оно верно","Периметр не связан с признаком"],"answer":[0]}},"hints":["Гипотенуза — наибольшая сторона, то есть $73$. Ее квадрат стоит отдельно.","Верно: $48^2 + 55^2 = 2304 + 3025 = 5329 = 73^2$ — треугольник прямоугольный."],"step":1},{"id":"7","content":"Решавр проверял треугольник со сторонами $11$, $13$ и $17$: «$11^2 + 13^2 = 290$, $17^2 = 289$. Числа близки, значит, треугольник прямоугольный». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Надо было сравнить $11 + 13$ с $17$","Ошибки нет: разница маленькая","Гипотенузой надо брать $11$","Равенство должно быть точным, а $290 \\ne 289$"],"explanations":["Складывают квадраты, не длины","Признак требует точного равенства: при $290 \\ne 289$ угол не прямой, хоть и близок к нему","Гипотенуза — наибольшая сторона, то есть $17$",""],"answer":[3]}},"hints":["Признак требует точного равенства $a^2 + b^2 = c^2$.","$290 \\ne 289$, поэтому треугольник не прямоугольный (остроугольный: $289 < 290$, угол около $89{,}8^\\circ$)."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр проверял треугольник со сторонами $6$, $9$ и $11$: «$6^2 + 9^2 = 117$, $11^2 = 121$. Числа близки, значит, треугольник прямоугольный». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: разница маленькая","Надо было сравнить $6 + 9$ с $11$","Равенство должно быть точным, а $117 \\ne 121$","Гипотенузой надо брать $6$"],"explanations":["Признак требует точного равенства: при $117 \\ne 121$ угол не прямой, хоть и близок к нему","Складывают квадраты, не длины","","Гипотенуза — наибольшая сторона, то есть $11$"],"answer":[2]}},"hints":["Признак требует точного равенства.","$117 \\ne 121$, поэтому треугольник не прямоугольный."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-5]]В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 8$, $AC = 6$, $BC = 5$. Какой угол треугольника наибольший и какой он по величине?[[choice-9]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/hvbyxwfx1i2b.svg"},"choice-9":{"type":"choice","options":["Угол $C$, острый","Угол $C$, прямой","Угол $C$, тупой","Угол $A$, тупой"],"explanations":["Острый — когда квадрат наибольшей стороны меньше суммы квадратов двух других, а здесь $64 > 61$","Прямой — только при равенстве, а $61 \\ne 64$","","Угол $A$ лежит против наименьшей стороны $BC = 5$, он наименьший"],"answer":[2]}},"hints":["Наибольший угол лежит против наибольшей стороны $AB$ — это угол $C$.","$AB^2 = 64$, $AC^2 + BC^2 = 36 + 25 = 61$.","$64 > 61$: угол $C$ тупой."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-6]]В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 9$, $AC = 8$, $BC = 6$. Какой угол треугольника наибольший и какой он по величине?[[choice-10]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dgcemuapzxgc.svg"},"choice-10":{"type":"choice","options":["Угол $B$, острый","Угол $C$, острый","Угол $C$, прямой","Угол $C$, тупой"],"explanations":["Угол $B$ лежит против стороны $AC = 8$, она не наибольшая","","Прямой — только при равенстве, а $100 \\ne 81$","Тупой — когда квадрат наибольшей стороны больше суммы квадратов двух других, а здесь $81 < 100$"],"answer":[1]}},"hints":["Наибольший угол лежит против наибольшей стороны $AB$ — это угол $C$.","$AB^2 = 81$, $AC^2 + BC^2 = 64 + 36 = 100$.","$81 < 100$: угол $C$ острый."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Стороны треугольника равны $15$, $20$ и $25$. Найдите высоту, проведенную к его наибольшей стороне. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["$15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$: треугольник прямоугольный, катеты $15$ и $20$.","Площадь: $S = \\tfrac12 \\cdot 15 \\cdot 20 = 150$.","Та же площадь через гипотенузу: $\\tfrac12 \\cdot 25 \\cdot h = 150$, $h = 12$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Стороны треугольника равны $21$, $28$ и $35$. Найдите высоту, проведенную к его наибольшей стороне. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["16,8","16.8"]}},"hints":["$21^2 + 28^2 = 441 + 784 = 1225 = 35^2$: треугольник прямоугольный, катеты $21$ и $28$.","Площадь: $S = \\tfrac12 \\cdot 21 \\cdot 28 = 294$.","Та же площадь через гипотенузу: $\\tfrac12 \\cdot 35 \\cdot h = 294$, $h = 16{,}8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Стороны треугольника относятся как $5 : 12 : 13$, периметр равен $90$. Найдите площадь треугольника. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"270"}},"hints":["Одна часть: $90 : (5 + 12 + 13) = 90 : 30 = 3$. Стороны: $15$, $36$, $39$.","$15^2 + 36^2 = 225 + 1296 = 1521 = 39^2$: треугольник прямоугольный, катеты $15$ и $36$.","$S = \\tfrac12 \\cdot 15 \\cdot 36 = 270$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Стороны треугольника относятся как $20 : 21 : 29$, периметр равен $210$. Найдите площадь треугольника. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"1890"}},"hints":["Одна часть: $210 : (20 + 21 + 29) = 210 : 70 = 3$. Стороны: $60$, $63$, $87$.","$60^2 + 63^2 = 3600 + 3969 = 7569 = 87^2$: треугольник прямоугольный, катеты $60$ и $63$.","$S = \\tfrac12 \\cdot 60 \\cdot 63 = 1890$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>