Теорема Пифагора

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]Катеты прямоугольного треугольника равны $9$ и $12$. Найдите гипотенузу. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/5vhnbztsyz5k.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["$c^2 = 81 + 144 = 225$.","$c = 15$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Катеты прямоугольного треугольника равны $15$ и $20$. Найдите гипотенузу. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/herq7yvzopbo.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"25"}},"hints":["$c^2 = 225 + 400 = 625$.","$c = 25$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-3]]Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $25$, катет равен $7$. Найдите другой катет. [[input-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/nznydebqjqhc.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"24"}},"hints":["$b^2 = 625-49 = 576$.","$b = 24$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-4]]Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $29$, катет равен $20$. Найдите другой катет. [[input-4]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/luybl3luobyg.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"21"}},"hints":["$b^2 = 841-400 = 441$.","$b = 21$."],"step":1},{"id":"3","content":"В треугольнике $DEF$ угол $E$ прямой, известны $DF$ и $EF$. Катет $DE$ находят так: $DE^2 =$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$DF-EF$","$DF^2-EF^2$","$DF^2 + EF^2$","$EF^2-DF^2$"],"answer":1}},"hints":["Прямой угол $E$, значит, гипотенуза — сторона $DF$ против него.","$DF^2 = DE^2 + EF^2$, отсюда $DE^2 = DF^2-EF^2$."],"explanation":"Гипотенуза $DF$ лежит против прямого угла $E$. Катет: $DE^2 = DF^2-EF^2$. Сумма квадратов дает гипотенузу, а не катет; $EF^2-DF^2$ отрицательно, ведь гипотенуза длиннее катета; $DF-EF$ — разность сторон, а не квадратов.","step":1},{"id":"3","content":"В треугольнике $PQR$ угол $R$ прямой, известны $PQ$ и $PR$. Катет $QR$ находят так: $QR^2 =$ [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$PQ-PR$","$PR^2-PQ^2$","$PQ^2 + PR^2$","$PQ^2-PR^2$"],"answer":3}},"hints":["Прямой угол $R$, значит, гипотенуза — сторона $PQ$ против него.","$PQ^2 = PR^2 + QR^2$, отсюда $QR^2 = PQ^2-PR^2$."],"explanation":"Гипотенуза $PQ$ лежит против прямого угла $R$. Катет: $QR^2 = PQ^2-PR^2$. Сумма квадратов дает гипотенузу, а не катет; $PR^2-PQ^2$ отрицательно, ведь гипотенуза длиннее катета; $PQ-PR$ — разность сторон, а не квадратов.","step":1},{"id":"4","content":"Сопоставьте данные прямоугольного треугольника и длину его третьей стороны.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Катеты $28$ и $45$","Гипотенуза $65$, катет $33$","Катеты $11$ и $60$"],"items":["$53$","$56$","$61$","$73$"]}},"instruction":"Сопоставьте данные и третью сторону","hints":["Даны катеты — складывают квадраты: $784 + 2025 = 2809$, $121 + 3600 = 3721$. Дана гипотенуза — вычитают: $4225-1089 = 3136$.","Ответ: катеты $28$ и $45$ — $53$; гипотенуза $65$ и катет $33$ — $56$; катеты $11$ и $60$ — $61$. Число $73$ — сумма $28 + 45$, лишнее."],"step":1},{"id":"4","content":"Сопоставьте данные прямоугольного треугольника и длину его третьей стороны.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Катеты $7$ и $24$","Гипотенуза $17$, катет $15$","Катеты $12$ и $16$"],"items":["$25$","$8$","$20$","$31$"]}},"instruction":"Сопоставьте данные и третью сторону","hints":["Даны катеты — складывают квадраты: $49 + 576 = 625$, $144 + 256 = 400$. Дана гипотенуза — вычитают: $289-225 = 64$.","Ответ: катеты $7$ и $24$ — $25$; гипотенуза $17$ и катет $15$ — $8$; катеты $12$ и $16$ — $20$. Число $31$ — сумма $7 + 24$, лишнее."],"step":1},{"id":"5","content":"Какая тройка чисел может быть длинами сторон прямоугольного треугольника?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$9,\\ 12,\\ 16$","$5,\\ 11,\\ 12$","$7,\\ 24,\\ 25$","$10,\\ 24,\\ 25$"],"explanations":["$81 + 144 = 225$, а $16^2 = 256$: тройка $9, 12, 15$","$25 + 121 = 146$, а $12^2 = 144$: сумма больше на 2, равенства нет","","$100 + 576 = 676$, а $25^2 = 625$: это «почти» тройка $10, 24, 26$"],"answer":[2]}},"hints":["Берем наибольшее число как гипотенузу и сравниваем $c^2$ с суммой квадратов двух других.","$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Какая тройка чисел может быть длинами сторон прямоугольного треугольника?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$11,\\ 60,\\ 62$","$10,\\ 24,\\ 27$","$12,\\ 35,\\ 37$","$12,\\ 34,\\ 36$"],"explanations":["$121 + 3600 = 3721$, а $62^2 = 3844$: тройка $11, 60, 61$","$100 + 576 = 676$, а $27^2 = 729$: тройка $10, 24, 26$","","$144 + 1156 = 1300$, а $36^2 = 1296$"],"answer":[2]}},"hints":["Наибольшее число — гипотенуза: сравниваем $c^2$ с $a^2 + b^2$.","$12^2 + 35^2 = 144 + 1225 = 1369 = 37^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 12$ и $BC = 16$, угол $B$ равен $60^\\circ$. Решавр написал: $AC^2 = 12^2 + 16^2 = 400$, $AC = 20$. В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Угол $B$ не прямой, поэтому теорему Пифагора здесь применять нельзя","Надо было вычесть: $AC^2 = 16^2-12^2$","Ошибки нет: $AC = 20$","Надо было сложить стороны: $AC = 12 + 16 = 28$"],"explanations":["","Вычитанием находят катет прямоугольного треугольника, а здесь прямого угла нет вовсе","При угле $60^\\circ$ сторона $AC$ короче $20$: $20$ получилось бы, только если бы угол $B$ был прямым","Сторона треугольника всегда меньше суммы двух других сторон, $28$ получиться не может"],"answer":[0]}},"hints":["Теорема Пифагора верна только для прямоугольного треугольника: квадрат стороны против прямого угла равен сумме квадратов двух других.","Угол $B$ равен $60^\\circ$, а не $90^\\circ$. Треугольник не прямоугольный, и равенство $AC^2 = AB^2 + BC^2$ не выполняется."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"В треугольнике $KLM$ стороны $KL = 5$ и $LM = 12$, угол $L$ равен $120^\\circ$. Решавр написал: $KM^2 = 5^2 + 12^2 = 169$, $KM = 13$. В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Надо было сложить стороны: $KM = 5 + 12 = 17$","Угол $L$ не прямой, поэтому теорему Пифагора здесь применять нельзя","Надо было вычесть: $KM^2 = 12^2-5^2$","Ошибки нет: $KM = 13$"],"explanations":["Сторона треугольника всегда меньше суммы двух других сторон, а $KM \\approx 15{,}1$ меньше $17$: равенство $KM = KL + LM$ здесь невозможно","","Вычитанием находят катет прямоугольного треугольника, а здесь прямого угла нет","Сторона $KM$ лежит против тупого угла и длиннее $13$; равенство Пифагора верно только при угле $90^\\circ$"],"answer":[1]}},"hints":["Теорема Пифагора верна только для прямоугольного треугольника, а угол $L$ — тупой.","Против угла $120^\\circ$ сторона длиннее, чем против прямого: $KM > 13$. Применять $KM^2 = KL^2 + LM^2$ нельзя."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр решал задачу: «Диагональ прямоугольника равна $85$, одна его сторона равна $36$. Найдите другую сторону». Он написал: $b^2 = 85^2 + 36^2 = 8521$. В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Надо было сложить сами числа: $b = 85 + 36 = 121$","Диагональ — катет, надо было $b = 85-36 = 49$","Надо было вычесть: $b^2 = 85^2-36^2$","Ошибки нет: так и находят катет"],"explanations":["Теорема Пифагора связывает квадраты сторон, а не сами числа","Диагональ лежит против прямого угла, она гипотенуза, а вычитают квадраты, не сами числа","","Так находят гипотенузу: катет вычисляют вычитанием"],"answer":[2]}},"hints":["Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника: стороны — катеты, диагональ — гипотенуза. Значит, $85^2 = 36^2 + b^2$.","Верно: $b^2 = 85^2-36^2 = 5929$, $b = 77$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр решал задачу: «Катеты равны $24$ и $32$. Найдите гипотенузу». Он написал: $c = 24 + 32 = 56$. В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Надо было $c^2 = 24 + 32 = 56$, $c = \\sqrt{56}$","Надо было сложить квадраты катетов и извлечь корень","Надо было вычесть катеты: $32-24 = 8$","Ошибки нет: гипотенуза равна сумме катетов"],"explanations":["Складывают квадраты катетов, а не сами катеты: $c^2 = 24^2 + 32^2$","","Разность катетов не связана с гипотенузой","Сторона треугольника всегда короче суммы двух других, поэтому гипотенуза не может равняться $24 + 32$. Верно $c = \\sqrt{576 + 1024} = 40$"],"answer":[1]}},"hints":["Гипотенузу находят по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.","Верно: $c^2 = 576 + 1024 = 1600$, $c = 40$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-5]]Основание равнобедренного треугольника равно $18$, боковая сторона равна $15$. Найдите высоту, проведенную к основанию. [[input-5]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/y25ciaqjp5zp.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Высота делит основание пополам: половина равна $9$.","$h^2 = 15^2-9^2 = 225-81 = 144$, $h = 12$."],"step":1},{"id":"8","content":"[[image-6]]Основание равнобедренного треугольника равно $30$, боковая сторона равна $17$. Найдите высоту, проведенную к основанию. [[input-6]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/szvexfotqpfw.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Половина основания равна $15$.","$h^2 = 289-225 = 64$, $h = 8$."],"step":1},{"id":"9","content":"[[image-7]]Диагонали ромба равны $10$ и $24$. Найдите периметр ромба. [[input-7]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/tt6mteuj13bm.svg"},"input-7":{"type":"input","answer":"52"}},"hints":["Половины диагоналей: $5$ и $12$ — катеты. Сторона: $\\sqrt{25 + 144} = 13$.","Периметр: $4 \\cdot 13 = 52$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-8]]Диагонали ромба равны $16$ и $30$. Найдите периметр ромба. [[input-8]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/94svgd31phiu.svg"},"input-8":{"type":"input","answer":"68"}},"hints":["Половины диагоналей: $8$ и $15$. Сторона: $\\sqrt{64 + 225} = 17$.","Периметр: $4 \\cdot 17 = 68$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-9]]Катеты прямоугольного треугольника равны $4$ и $7$. Найдите гипотенузу и округлите до десятых. [[input-9]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/nn0uhntmjhcj.svg"},"input-9":{"type":"input","answer":["8,1","8.1"]}},"hints":["$c^2 = 16 + 49 = 65$.","$c = \\sqrt{65} \\approx 8{,}06$; до десятых получаем $8{,}1$."],"step":1},{"id":"10","content":"[[image-10]]Катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $6$. Найдите гипотенузу и округлите до десятых. [[input-10]]","widgets":{"image-10":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/n5ynugapge1w.svg"},"input-10":{"type":"input","answer":["7,8","7.8"]}},"hints":["$c^2 = 25 + 36 = 61$.","$c = \\sqrt{61} \\approx 7{,}81$; до десятых получаем $7{,}8$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>