8 класс Геометрия Площадь Теорема Пифагора

Обратная теорема Пифагора: признак прямоугольного треугольника

Содержание

В уроке «Теорема Пифагора» мы знали, что угол прямой, и находили сторону: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В этом уроке задача обратная: известны три стороны, и нужно узнать, есть ли в треугольнике прямой угол. Докажем обратную теорему Пифагора, научимся проверять тройку чисел и разберем ошибки, которые в такой проверке делают чаще всего.

Как веревка с узлами отмечает прямой угол

Строителю нужно разметить угол фундамента, а большого угольника нет. Есть старый прием: веревку делят узлами на $12$ равных частей и натягивают треугольником со сторонами $3$, $4$ и $5$ частей. Угол между сторонами в $3$ и $4$ части получается прямым. Почему так выходит и можно ли этому доверять? Ответ — в конце третьего раздела.

Проведем опыт. Закрепим стороны $CB = 3$ и $CA = 4$ шарниром в точке $C$ и будем менять третью сторону $AB = c$. На каждой стороне построим квадрат — «клумбу», как в прошлом уроке, и сравним большую клумбу $c^2$ с суммой двух малых $3^2 + 4^2 = 25$.

Веревка: стороны 3 и 4 и третья сторона 4, 5 или 6 — Стороны 3 и 4 те же, меняется только третья: при c = 4 угол C острый (16 < 25), при c = 5 прямой (25 = 25), при c = 6 тупой (36 > 25)

Третья сторона $c$	$c^2$	$3^2 + 4^2$	Угол $C$
$4$	$16$	$25$	$68^\circ$, острый
$5$	$25$	$25$	$90^\circ$, прямой
$6$	$36$	$25$	$117^\circ$, тупой

Прямой угол получился ровно тогда, когда большая клумба равна сумме двух малых: $3^2 + 4^2 = 5^2$. Теорема Пифагора этого не объясняет: она начинает с прямого угла, а у нас прямой угол — то, что надо проверить. Нужна новая теорема.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]У треугольника две стороны равны $6$ и $8$. Чему должна быть равна третья сторона, чтобы угол между ними был прямым? [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/c7iovqnssya7.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Для прямого угла между сторонами $6$ и $8$ третья сторона — гипотенуза: $c^2 = 6^2 + 8^2 = 100$.","$c = 10$."],"step":1}],"mix":1}

Условие и вывод меняются местами

В теореме Пифагора дано, что угол прямой, а вывод — равенство клумб. Так работает задача про лестницу: лестница стоит у стены, угол между стеной и землей прямой, и по двум сторонам мы находим третью. В нашем опыте все наоборот: стороны известны, а про угол надо сделать вывод.

Прямая и обратная теоремы Пифагора: условие и вывод поменялись местами — Прямая теорема: прямой угол → равенство клумб. Обратная: равенство клумб → прямой угол. Стрелка развернута

Определение

Обратная теорема — утверждение, в котором условие и вывод данной теоремы поменялись местами.

Обратное утверждение не обязано быть верным. Теорема из 7 класса: «Если углы вертикальные, то они равны». Обратное утверждение «Если углы равны, то они вертикальные» неверно: два угла по $40^\circ$ можно нарисовать в разных местах листа. Поэтому обратную теорему Пифагора придется доказывать отдельно — это сделаем в следующем разделе.

Теорема (обратная теореме Пифагора)

Если квадрат наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Прямой угол лежит против наибольшей стороны.

Ошибка

Стороны треугольника равны $1{,}5$, $2$ и $2{,}5$. Решавр пишет: «$1{,}5^2 + 2^2 = 2{,}25 + 4 = 6{,}25 = 2{,}5^2$, значит, по теореме Пифагора треугольник прямоугольный».

Вычисления верны, а ссылка — нет. Теорема Пифагора говорит только о треугольниках, про которые уже известно, что они прямоугольные. Здесь прямой угол не дан, его надо получить. Вывод «треугольник прямоугольный» дает обратная теорема Пифагора — ее и надо назвать.

{"questions":[{"content":"Какое из утверждений — теорема, обратная теореме Пифагора?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Если $c^2 = a^2 + b^2$, то треугольник прямоугольный","Если $c = a + b$, то треугольник прямоугольный","Если треугольник прямоугольный, то его гипотенуза — наибольшая сторона","Если треугольник прямоугольный, то $c^2 = a^2 + b^2$"],"explanations":["","Такого треугольника не бывает: сторона всегда короче суммы двух других","Это верное утверждение, но не обратная теорема Пифагора","Это прямая теорема: условие и вывод стоят так же, как в теореме Пифагора"],"answer":[0]}},"hints":["Обратная теорема меняет местами условие и вывод прямой.","Прямая: «прямоугольный $\\Rightarrow$ $c^2 = a^2 + b^2$». Обратная: «$c^2 = a^2 + b^2$ $\\Rightarrow$ прямоугольный»."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Стороны треугольника равны $5$, $12$ и $13$. Прямоугольный ли этот треугольник?[[choice-2]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/2oclbsxck71l.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["Нет, потому что стороны все разные","Нельзя определить, нужны углы","Да, потому что $5^2 + 12^2 = 13^2$","Нет, потому что $5 + 12 \\ne 13$"],"explanations":["Разные стороны не мешают углу быть прямым","Для проверки достаточно трех сторон: обратная теорема Пифагора","","Складывать надо квадраты, а не сами длины: $5 + 12 = 17$"],"answer":[2]}},"hints":["Наибольшая сторона — $13$, ее квадрат сравниваем с суммой квадратов двух других.","$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$: равенство верно, по обратной теореме Пифагора треугольник прямоугольный."],"step":1}],"mix":1}

Почему признак верен: треугольник-двойник

Начнем с веревки. У нас есть треугольник со сторонами $3$, $4$ и $5$, про угол мы ничего не знаем. Нарисуем рядом другой треугольник — с прямым углом и катетами $3$ и $4$. Про него теорема Пифагора уже говорит: его гипотенуза равна $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. Получились два треугольника с одинаковыми сторонами $3$, $4$ и $5$. По третьему признаку равенства они равны, значит, равны и их углы. У двойника угол прямой — значит, прямой и у треугольника из веревки.

Треугольник ABC и двойник A₁B₁C₁ с прямым углом: стороны равны — Двойник строим с прямым углом и теми же катетами; по теореме Пифагора его гипотенуза равна c, треугольники равны по трем сторонам — угол C тоже прямой

Доказательство

Дано: треугольник $ABC$, $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$, и $c^2 = a^2 + b^2$. Доказать: $\angle C = 90^\circ$.

Шаг 1. Построим треугольник $A_1B_1C_1$ с прямым углом $C_1$ и катетами $B_1C_1 = a$, $A_1C_1 = b$ (на сторонах прямого угла отложим отрезки $a$ и $b$).

Шаг 2. По теореме Пифагора для двойника $A_1B_1^2 = a^2 + b^2$. По условию $a^2 + b^2 = c^2$, значит, $A_1B_1^2 = c^2$ и $A_1B_1 = c$.

Шаг 3. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ стороны соответственно равны: $BC = B_1C_1 = a$, $AC = A_1C_1 = b$, $AB = A_1B_1 = c$. По третьему признаку равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Шаг 4. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы: $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$. Что и требовалось доказать.

Теперь понятно, почему работает веревка. Треугольник $3$, $4$, $5$ из узлов равен двойнику с прямым углом, потому что $3^2 + 4^2 = 5^2$. Так же подойдет любая тройка с таким равенством, например $5$, $12$, $13$ — это веревка из $30$ равных частей. Тройки натуральных чисел с равенством $a^2 + b^2 = c^2$ называют пифагоровыми тройками.

Интересный факт: как это доказывал Евклид

Скрыть

В «Началах» Евклида (около 300 года до н. э.) теорема Пифагора — предложение 47 первой книги, а обратная теорема — следующее, 48-е. Евклид доказывает ее тем же способом: строит рядом треугольник с прямым углом и сравнивает треугольники по трем сторонам.

Про веревку с узлами часто пишут, что ею пользовались землемеры Древнего Египта. Прямых свидетельств этому нет: это догадка историка математики Морица Кантора, высказанная в XIX веке. Сам прием разметки прямого угла треугольником $3$, $4$, $5$ строители используют до сих пор.

{"questions":[{"content":"Дано: в треугольнике $ABC$ стороны $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$ и $c^2 = a^2 + b^2$. Расставьте шаги доказательства того, что $\\angle C = 90^\\circ$.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Построим треугольник $A_1B_1C_1$ с прямым углом $C_1$ и катетами $B_1C_1 = a$, $A_1C_1 = b$","По теореме Пифагора для него $A_1B_1^2 = a^2 + b^2$","Из условия $a^2 + b^2 = c^2$, значит, $A_1B_1^2 = c^2$ и $A_1B_1 = c$","Тогда треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по трем сторонам","Следовательно, $\\angle C = \\angle C_1 = 90^\\circ$"]}},"hints":["Сначала нужен «образец» — треугольник, в котором прямой угол точно есть.","Пифагор применим только к образцу; затем сравниваем его гипотенузу с $c$ и пользуемся признаком равенства по трем сторонам.","Порядок: построить образец → теорема Пифагора для него → его гипотенуза равна $c$ → треугольники равны → $\\angle C = 90^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Столяр проверяет угол: отмерил $0{,}6$ м и $0{,}8$ м вдоль двух досок, расстояние между метками $1$ м. Прямой ли угол?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нет, потому что числа меньше единицы","Нет, потому что $0{,}6 + 0{,}8 = 1{,}4 \\ne 1$","Нельзя определить без транспортира","Да, угол прямой"],"explanations":["Десятичные числа проверяются так же","Складывают длины, а нужны квадраты","Три стороны определяют углы, транспортир не нужен",""],"answer":[3]}},"hints":["Наибольшая сторона — $1$ м: $1^2 = 1$.","$0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1$. Равенство верно — угол прямой."],"step":1}],"mix":1}

Большая клумба — всегда на самой длинной стороне

Посмотрите на три прямоугольных треугольника: $3$, $4$, $5$; $5$, $12$, $13$; $8$, $15$, $17$. В каждом отдельно в равенстве стоит наибольшее число: $3^2 + 4^2 = 5^2$, $5^2 + 12^2 = 13^2$, $8^2 + 15^2 = 17^2$. Это не случайность. Если $c^2 = a^2 + b^2$, то $c^2$ больше и $a^2$, и $b^2$, поэтому $c$ — самая длинная сторона. Большая клумба может лежать только на наибольшей стороне, и прямой угол лежит против нее.

Тройки 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17: гипотенуза — наибольшая сторона — В каждой пифагоровой тройке отдельно стоит наибольшее число: гипотенуза — самая длинная сторона, прямой угол лежит против нее

Ошибка

Стороны треугольника названы в порядке $30$, $18$, $24$. Решавр берет последнюю сторону за $c$: «$30^2 + 18^2 = 900 + 324 = 1224$, а $24^2 = 576$. Равенства нет, треугольник не прямоугольный».

Проверим по правилу: наибольшая сторона — $30$, и $18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 = 30^2$. Треугольник прямоугольный. Рассуждение сломалось на выборе стороны: квадрат не наибольшей стороны всегда меньше суммы двух других, равенства с ним не бывает, и проверка заранее дает ответ «нет».

Ошибка: 24 взяли за наибольшую сторону; верно — 18² + 24² = 30² — Слева ошибка: отдельно взята сторона 24, ее клумба меньше суммы двух других. Справа верно: 18² + 24² = 30²

Как проверить, прямоугольный ли треугольник

1. Найти наибольшую сторону $c$.

2. Сравнить $c^2$ с суммой квадратов двух других сторон $a^2 + b^2$.

3. Если $c^2 = a^2 + b^2$, треугольник прямоугольный, прямой угол лежит против стороны $c$. Если равенства нет, треугольник не прямоугольный.

Пример 1

В треугольнике $KLM$ стороны $KL = 28$, $LM = 53$, $KM = 45$. Прямоугольный ли он? Если да, какой угол прямой?

Решение. Наибольшая сторона — $LM = 53$, $53^2 = 2809$. Сумма квадратов двух других: $28^2 + 45^2 = 784 + 2025 = 2809$. Равенство верно, по обратной теореме Пифагора треугольник прямоугольный. Прямой угол лежит против стороны $LM$, то есть при вершине $K$.

Ответ: да, $\angle K = 90^\circ$.

{"questions":[{"content":"Стороны треугольника равны $9$, $15$ и $12$. Длину какой стороны надо возводить в квадрат отдельно, чтобы проверить, прямоугольный ли треугольник? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Если угол прямой, то против него лежит гипотенуза — самая длинная сторона.","Наибольшая сторона равна $15$: сравниваем $15^2$ с $9^2 + 12^2$."],"step":1},{"content":"Решавр проверял треугольник со сторонами $33$, $65$ и $56$: «$33^2 + 65^2 = 1089 + 4225 = 5314$, а $56^2 = 3136$. Равенства нет, треугольник не прямоугольный». Какой вывод верен?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Прямоугольный, прямой угол против $56$","Прямоугольный: $33^2 + 56^2 = 65^2$","Не прямоугольный: $33^2 + 65^2 \\ne 56^2$","Не прямоугольный: $33 + 56 \\ne 65$"],"explanations":["Против прямого угла лежит наибольшая сторона, то есть $65$","","Равенство составлено с ошибкой: в сумме оказалась наибольшая сторона $65$, а отдельно — меньшая. Так равенство не выполнится ни для одного треугольника","Складывают квадраты сторон, а не сами длины"],"answer":[1]}},"hints":["Отдельно в квадрат возводят наибольшую сторону. Здесь это $65$, а не последняя названная $56$.","$33^2 + 56^2 = 1089 + 3136 = 4225 = 65^2$. Треугольник прямоугольный, прямой угол лежит против стороны $65$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Клумбы должны совпасть точно

Вернемся к опыту с веревкой. При $c = 4$ большая клумба была меньше суммы малых ($16 < 25$), и угол $C$ вышел острым. При $c = 6$ она была больше ($36 > 25$), и угол вышел тупым. Прямой угол получился только при точном равенстве.

Обратите внимание

Наблюдение (доказывать его в этом уроке не будем): если $c$ — наибольшая сторона, то

Речь об угле против стороны $c$. Остальные два угла треугольника всегда острые.

Ошибка

Стороны треугольника равны $8$, $9$ и $12$. Решавр считает: «$8^2 + 9^2 = 64 + 81 = 145$, $12^2 = 144$. Разница всего $1$ — значит, треугольник прямоугольный».

Проверим: угол против стороны $12$ равен примерно $89{,}6^\circ$. На глаз он прямой, но не прямой: $144 < 145$, и угол острый. Обратная теорема требует точного равенства, «почти равно» ничего не доказывает. Решавр перепутал признак с приближенной оценкой.

Треугольник 8–9–12: угол против 12 почти прямой, но острый — Стороны 8, 9, 12: 145 ≠ 144, угол около 89,6° — почти прямой, но острый

В модели ниже стороны $CA = 4$ и $CB = a$ скреплены шарниром, третья сторона $c$ меняется ползунком. Модель сравнивает $c^2$ с $a^2 + b^2$ и показывает угол $C$. Найдите $c$, при котором угол прямой, для $a = 3$. Затем поставьте $a = 6$: удастся ли сделать угол точно прямым? И наконец поставьте $a = 5$, $c = 3$ — угол $C$ острый, но нет ли в треугольнике другого прямого угла?

obrpif-ostryj-pryamoj-tupoj

При $a = 6$ нужно $c^2 = 36 + 16 = 52$, а среди чисел с одним знаком после запятой такого $c$ нет: $7{,}2^2 = 51{,}84$, $7{,}3^2 = 53{,}29$. Угол бывает $89{,}8^\circ$ или $91{,}5^\circ$, но не $90^\circ$. При $a = 5$, $c = 3$ наибольшая сторона — $a$, и $3^2 + 4^2 = 5^2$: прямой угол лежит против стороны $a$, а не при вершине $C$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Стороны треугольника равны $4$, $7$ и $8$. Какое рассуждение верно?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/5hm50vnkhf55.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Прямоугольный: $4^2 + 7^2$ почти равно $8^2$","Не прямоугольный: $4 + 7 \\ne 8$","Прямоугольный: $8$ — наибольшая сторона","Не прямоугольный: $4^2 + 7^2 = 65$, а $8^2 = 64$, равенства нет"],"explanations":["Признак требует точного равенства","Вывод верен, но рассуждение неверно: складывать надо квадраты, а не длины","Наибольшая сторона нужна, чтобы выбрать гипотенузу, а равенство все равно надо проверить",""],"answer":[3]}},"hints":["Наибольшая сторона — $8$: $8^2 = 64$.","$4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65 \\ne 64$. Равенства нет, треугольник не прямоугольный (он остроугольный: $64 < 65$, угол около $89^\\circ$)."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-2]]Стороны треугольника равны $4$, $5$ и $7$. Какой это треугольник по углам?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/tnghfowttvnw.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["Тупоугольный","Такого треугольника нет","Прямоугольный","Остроугольный"],"explanations":["","$4 + 5 > 7$, неравенство треугольника выполнено","$16 + 25 = 41$, а $7^2 = 49$: равенства нет","Остроугольный получается, когда $c^2 < a^2 + b^2$, а здесь $49 > 41$"],"answer":[0]}},"hints":["Наибольшая сторона — $7$: $7^2 = 49$. Сумма квадратов остальных: $16 + 25 = 41$.","$49 > 41$: наибольший угол больше прямого — треугольник тупоугольный."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Даны стороны шести треугольников. Распределите треугольники по видам углов.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Прямоугольный","Остроугольный","Тупоугольный"],"items":[["$14$, $48$, $50$","$63$, $65$, $16$"],["$6$, $7$, $8$","$15$, $10$, $12$"],["$12$, $16$, $21$","$10$, $5$, $7$"]]}},"hints":["В каждой тройке найдите наибольшую сторону: она может стоять на любом месте.","Сравните ее квадрат с суммой квадратов двух других: равно — прямоугольный, меньше — остроугольный, больше — тупоугольный.","Прямоугольные: $14, 48, 50$ ($2500 = 2500$) и $63, 65, 16$ ($4225 = 4225$). Остроугольные: $6, 7, 8$ ($64 < 85$) и $15, 10, 12$ ($225 < 244$). Тупоугольные: $12, 16, 21$ ($441 > 400$) и $10, 5, 7$ ($100 > 74$)."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Признак в задачах: разметка угла и площадь

В задачах признак работает так же, как веревка строителя: сначала проверяем клумбы, а когда угол оказался прямым, пользуемся всем, что знаем о прямоугольном треугольнике, — например, площадью через катеты.

Разметка угла фундамента: диагональ 3,5 м даёт прямой угол, 3,6 м — тупой — Угол фундамента прямой, если 2,1² + 2,8² = 3,5²; при диагонали 3,6 м угол тупой — стены надо свести

Пример 2

Строители отмерили от угла фундамента $2{,}1$ м вдоль одной стены и $2{,}8$ м вдоль другой. Расстояние между метками $3{,}6$ м. Прямой ли угол? Какой должна быть эта диагональ, чтобы угол был прямым?

Решение. Наибольшая сторона — $3{,}6$: $3{,}6^2 = 12{,}96$. Сумма квадратов двух других: $2{,}1^2 + 2{,}8^2 = 4{,}41 + 7{,}84 = 12{,}25$. Равенства нет, $12{,}96 > 12{,}25$ — угол тупой, стены разошлись. Для прямого угла нужно $c^2 = 12{,}25$, то есть $c = 3{,}5$ м.

Ответ: нет, угол тупой; диагональ должна быть $3{,}5$ м.

Пример 3

Стороны треугольника равны $61$, $11$ и $60$. Докажите, что он прямоугольный, и найдите его площадь.

Решение. Наибольшая сторона — $61$: $61^2 = 3721$. $11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721$. Равенство верно, по обратной теореме Пифагора треугольник прямоугольный. Катеты — две меньшие стороны $11$ и $60$, гипотенуза $61$ в формулу площади не входит: $S = \tfrac12 \cdot 11 \cdot 60 = 330$.

Ответ: $330$.

{"questions":[{"content":"В треугольнике $KLM$ стороны $KL = 36$, $LM = 77$, $KM = 85$. Прямой угол этого треугольника — [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["угол $K$","угол $L$","угол $M$","прямого угла нет"],"answer":1}},"hints":["Наибольшая сторона — $KM = 85$: $36^2 + 77^2 = 1296 + 5929 = 7225 = 85^2$. Треугольник прямоугольный.","Прямой угол лежит против наибольшей стороны $KM$, то есть при вершине $L$."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Стороны треугольника равны $10$, $24$ и $26$. Докажите, что он прямоугольный, и найдите его площадь. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/4lwclmcdejle.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"120"}},"hints":["$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2$: треугольник прямоугольный, катеты $10$ и $24$.","$S = \\tfrac12 \\cdot 10 \\cdot 24 = 120$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Теорема Пифагора и обратная к ней — одна связь, прочитанная в две стороны. Знаем, что угол прямой, — находим сторону. Знаем три стороны — проверяем угол: квадрат наибольшей стороны сравниваем с суммой квадратов двух других. Этим пользуются строители, когда размечают угол веревкой $3$, $4$, $5$, и это же нужно в задачах ОГЭ, где надо увидеть прямоугольный треугольник по числам. Больше задач — в уроке «Практикум: теорема Пифагора в задачах».

Случай	Как вспомнить через клумбы
Угол прямой, ищем сторону	Теорема Пифагора: большая клумба равна сумме малых
Даны три стороны, прямой ли угол	Обратная теорема: клумбы совпали — угол прямой
Какую сторону брать отдельно	Наибольшую: большая клумба только на самой длинной стороне
Суммы почти равны	Не признак: клумбы должны совпасть точно
Большая клумба меньше или больше	Угол против нее острый или тупой

Часто задаваемые вопросы

Обязательно ли в формулировке слово «наибольшей»?

Для верности теоремы — нет: если квадрат какой-то стороны равен сумме квадратов двух других, эта сторона и так наибольшая. Но слово подсказывает, какую сторону брать при проверке. Квадрат меньшей стороны с суммой квадратов двух других не сравнивают: равенства с ним не бывает.

Чем пифагоровы тройки удобны?

Их полезно узнавать сразу: $3$, $4$, $5$; $5$, $12$, $13$; $8$, $15$, $17$; $7$, $24$, $25$. Если все стороны треугольника умножить на одно число, равенство сохранится: $6$, $8$, $10$ — тоже прямоугольный треугольник. Но проверку все равно стоит записать, ведь «похожая» тройка может оказаться не пифагоровой.

Можно ли проверить прямой угол транспортиром?

Транспортир дает приближенный результат: угол $89{,}6^\circ$ на чертеже не отличить от прямого. Обратная теорема Пифагора дает точный ответ по длинам сторон. Поэтому в задачах вывод о прямом угле делают по равенству, а не по рисунку.

Если равенства нет, можно ли сказать, что треугольник не прямоугольный?

Да, если сравнивали квадрат наибольшей стороны. Если бы треугольник был прямоугольным, по теореме Пифагора равенство выполнялось бы для его гипотенузы, то есть для наибольшей стороны. Здесь работают обе теоремы вместе.

Награды за урок