7. Вычисления и преобразования: преобразования числовых логарифмических выражений

Занесем множитель $2$ под знак логарифма: $$8^{2\log_{8}9}=8^{\log_{8}9^2}$$

Так как основания степени и логарифма одинаковые, можем воспользоваться определением логарифма: $$8^{\log_{8}9^2}=9^2=81$$

Занесем множитель $2$ под знак логарифма: $$7^{2\log_{7}6}=7^{\log_{7}6^2}$$

Так как основания степени и логарифма одинаковые, можем воспользоваться определением логарифма: $$7^{\log_{7}6^2}=6^2=36$$

Занесем множитель $4$ под знак логарифма: $$4^{4\log_{4}3}=4^{\log_{4}3^4}$$

Так как основания степени и логарифма одинаковые, можем воспользоваться определением логарифма: $$4^{\log_{4}3^4}=3^4=81$$

Занесем множитель $2$ под знак логарифма: $$8^{2\log_{8}11}=8^{\log_{8}11^2}$$

Так как основания степени и логарифма одинаковые, можем воспользоваться определением логарифма: $$8^{\log_{8}11^2}=11^2=121$$

Преобразуем разность согласно свойству логарифмов: $$\log_{3}45-\log_{3}5=\log_{3}45 : 5$$

$$\log_{3}45: 5=\log_{3}9=2$$

Преобразуем разность согласно свойству логарифмов: $$\log_{7}686-\log_{7}2=\log_{7}686 : 2$$

$$\log_{7}686:2 = \log_7 343=3$$

Преобразуем разность согласно свойству логарифмов: $$\log_{2}80-\log_{2}5=\log_{2}80 : 5$$

$$\log_{2}80: 5 = \log_2 16=4$$

Преобразуем разность согласно свойству логарифмов: $$\log_{5}100-\log_{5}4=\log_{5}100 : 4$$

$$\log_{5}100 :4 = \log_5 25=2$$

Преобразуем разность согласно свойству логарифмов: $$\log_{12}432-\log_{12}3=\log_{12}432 :3$$

$$\log_{12}432 : 3= \log_{12} 144=2$$

Представим число $81$ как $9$ в степени $2$: $$\log_{9^2}9$$

Вынесем степень основания за знак логарифма: $$\log_{9^2}9=\frac{1}{2}\log_99$$ $$\frac{1}{2}\log_99=\frac{1}{2}\cdot 1 = 0.5$$

Представим число $16$ как $4$ в степени $2,$ а число $64$ — как $4$ в степени $3$: $$\log_{4^2}4^3$$

Вынесем степени основания и аргумента за знак логарифма: $$\log_{4^2}4^3=\frac{3}{2}\log_44$$ $$\frac{3}{2}\log_44=\frac{3}{2}\cdot 1 = 1.5$$

Представим число $32$ как $2$ в степени $5,$ а число $64$ — как $2$ в степени $6$: $$\log_{2^5}2^6$$

Вынесем степени основания и аргумента за знак логарифма: $$\log_{2^5}2^6=\frac{6}{5}\log_22$$ $$\frac{6}{5}\log_22=\frac{6}{5}\cdot 1 = 1.2$$

Представим число $32$ как $2$ в степени $5,$ а число $ 4$ — как $2$ в степени $2$: $$\log_{2^5}2^2$$

Вынесем степени основания и аргумента за знак логарифма: $$\log_{2^5}2^2=\frac{2}{5}\log_22$$ $$\frac{2}{5}\log_22=\frac{2}{5}\cdot 1 = 0.4$$

Представим число $16$ как $2$ в степени $4,$ а число $128$ — как $2$ в степени $7$: $$\log_{2^4}2^7$$

Вынесем степени основания и аргумента за знак логарифма: $$\log_{2^4}2^7=\frac{7}{4}\log_22$$ $$\frac{7}{4}\log_22=\frac{7}{4}\cdot 1 = 1.75$$

Преобразуем сумму согласно свойству логарифмов: $$\log_{3}5.4 + \log_{3}5=\log_{3}5.4 \cdot 5$$

$$\log_{3}5.4 \cdot 5=\log_{3}27=3$$

Преобразуем сумму согласно свойству логарифмов: $$\log_{7}4.9 + \log_{7}10=\log_{7}4.9 \cdot 10$$

$$\log_{7}4.9 \cdot 10 = \log_7 49=2$$

Преобразуем сумму согласно свойству логарифмов: $$\log_{2}12.8 + \log_{2}5=\log_{2}12.8 \cdot 5$$

$$\log_{2}12.8 \cdot 5 = \log_2 64=6$$

Преобразуем сумму согласно свойству логарифмов: $$\log_{5}12.5 + \log_{5}2=\log_{5}12.5 \cdot 2$$

$$\log_{5}12.5 \cdot 2 = \log_5 25=2$$

Преобразуем сумму согласно свойству логарифмов: $$\log_{5}31.25 + \log_{5}4=\log_{5}31.25 \cdot 4$$

$$\log_{5}31.25 \cdot 4 = \log_5 125=3$$