5. Вероятности сложных событий: Теоремы о вероятностях событий
Между городами ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше $50$ пассажиров, равна $0.7.$ Вероятность того, что окажется меньше $20$ пассажиров, равна $0.1.$ Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от $20$ до $49$ включительно.
Так как вероятность того, что в автобусе окажется меньше $50$ пассажиров включает в себя вероятность того, что окажется меньше $20$ пассажиров, необходимо вычесть из первой вторую:$$0.7-0.1=0.6$$
20
Между городами ежедневно ходит электричка. Вероятность того, что в электричке окажется меньше $200$ пассажиров, равна $0.56.$ Вероятность того, что окажется меньше $50$ пассажиров, равна $0.16.$ Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от $50$ до $199$ включительно.
Так как вероятность того, что в электричке окажется меньше $200$ пассажиров включает в себя вероятность того, что окажется меньше $50$ пассажиров, необходимо вычесть из первой вторую:$$0.56-0.16=0.4$$
20
Вероятность того, что на контрольной по математике учащийся верно решит больше $25$ задач, равна $0.65.$ Вероятность того, что учащийся верно решит больше $26$ задач, равна $0.45.$ Найдите вероятность того, что учащийся верно решит ровно $25$ задач.
Так как вероятность того, что учащийся верно решит больше $25$ задач включает в себя вероятность того, что учащийся верно решит больше $26$ задач, необходимо найти разность этих вероятностей:$$0.65-0.45=0.2$$
20
Вероятность того, что на контрольной по физике учащийся верно решит больше $17$ задач, равна $0.32.$ Вероятность того, что учащийся верно решит больше $16$ задач, равна $0.55.$ Найдите вероятность того, что учащийся верно решит ровно $17$ задач.
Так как вероятность того, что учащийся верно решит больше $16$ задач включает в себя вероятность того, что учащийся верно решит больше $17$ задач, необходимо найти разность этих вероятностей:$$0.55-0.32=0.23$$
20
При выпечке торта производится контрольное взвешивание. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем $3\space000$ граммов, равна $0.9.$ Вероятность того, что масса окажется больше, чем $2 \space 500$ граммов, равна $0.95.$ Найдите вероятность того, что масса торта больше, чем $2 \space 500$ граммов, но меньше, чем $3\space000$ граммов.
Найдем вероятность того, что масса торта окажется меньше, чем $2 \space 500$ граммов:$$1-0.95=0.05$$
Вероятность того, что масса окажется меньше, чем $3\space000$ граммов включает в себя вероятность того, что масса торта окажется меньше, чем $2 \space 500$ граммов:$$0.9-0.05=0.85$$
20
При выпечке торта производится контрольное взвешивание. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем $950$ граммов, равна $0.99.$ Вероятность того, что масса окажется больше, чем $900$ граммов, равна $0.94.$ Найдите вероятность того, что масса торта больше, чем $900$ граммов, но меньше, чем $950$ граммов.
Найдем вероятность того, что масса торта окажется меньше, чем $900$ граммов:$$1-0.94=0.06$$
Вероятность того, что масса окажется меньше, чем $950$ граммов включает в себя вероятность того, что масса торта окажется меньше, чем $900$ граммов:$$0.99-0.06=0.93$$
20
В магазине два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится чай, равна $0.31.$ Такая же вероятность того, что чай закончится во втором автомате. Вероятность того, что чай закончится в обоих автоматах, равна $0.1.$ Найдите вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах.
Необходимо из $1$ вычесть вероятность того, что в каждом из автоматов закончится чай, а затем прибавить вероятность того, что чай закончится в обоих автоматах, так как эти события зависимые:$$1-0.31-0.31+0.1=0.48$$
20
В магазине два автомата продают газированные напитки. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончатся газированные напитки, равна $0.25.$ Такая же вероятность того, что газированные напитки закончатся во втором автомате. Вероятность того, что газированные напитки закончатся в обоих автоматах, равна $0.15.$ Найдите вероятность того, что к концу дня газированные напитки останутся в обоих автоматах.
Необходимо из $1$ вычесть вероятность того, что в каждом из автоматов закончатся газированные напитки, а затем прибавить вероятность того, что газированные напитки закончатся в обоих автоматах, так как эти события зависимые:$$1-0.25-0.25+0.15=0.65$$
20
В люстре три лампы. Вероятность перегорания каждой отдельной лампы в течение года равна $0.4.$ Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Найдем вероятность того, что все лампы перегорят, а затем найдем вероятность события ему противоположного:$$1-0.4 \cdot 0.4 \cdot 0.4 = 0.936$$
20
В люстре две лампы. Вероятность перегорания каждой отдельной лампы в течение года равна $0.8.$ Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Найдем вероятность того, что все лампы перегорят, а затем найдем вероятность события ему противоположного:$$1-0.8 \cdot 0.8 = 0.36$$
20
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
Перечислим все возможные вероятности выпадения монеты:$$OOO$$ $$OOP$$ $$OPO$$ $$OPP$$ $$POO$$ $$POP$$ $$PPO$$ $$PPP$$
Предположим, что выигрышным жребием является орел. Орел выпадает ровно два раза в трех из восьми случаев:$$\frac{3}{8} = 0.375$$
20
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Химик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Химик» выиграет жребий все три раза.
Перечислим все возможные вероятности выпадения монеты:$$OOO$$ $$OOP$$ $$OPO$$ $$OPP$$ $$POO$$ $$POP$$ $$PPO$$ $$PPP$$
Предположим, что выигрышным жребием является орел. Орел выпадает ровно три раза в одном из восьми случаев:$$\frac{1}{8} = 0.125$$
20
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки $7,$ но не дойдя до отметки $1.$
Промежуток от $7$ до $1$ занимает ровно половину циферблата:$$\frac{1}{2}=0.5$$
20
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки $8,$ но не дойдя до отметки $2.$
Промежуток от $8$ до $2$ занимает ровно половину циферблата:$$\frac{1}{2}=0.5$$
20
Если шахматист $A$ играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста $B$ с вероятностью $0.5.$ Если $A$ играет чёрными, то $A$ выигрывает у $B$ с вероятностью $0.32.$ Шахматисты $A$ и $B$ играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что $A$ выиграет оба раза.
Шахматист должен выиграть в первый раз, играя белыми фигурами, и во второй раз, играя черными фигурами:$$0.5 \cdot 0.32 = 0.16$$
20
Если Решавр играет белыми фигурами, то он выигрывает у Иксератопса с вероятностью $0.5.$ Если Решавр играет чёрными, то Решавр выигрывает у Иксератопса с вероятностью $0.48.$ Шахматисты играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что Решавр выиграет оба раза.
Шахматист должен выиграть в первый раз, играя белыми фигурами, и во второй раз, играя черными фигурами:$$0.5 \cdot 0.48 = 0.24$$
20
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы $4$ очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $3$ очка, в случае ничьей — $1$ очко, если проигрывает — $0$ очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны $0.3.$
Перечислим случаи, когда команда наберет $4$ очка: $$В+В$$ $$В+Н$$ $$Н+В$$
Найдем вероятность ничьи:$$1-0.3-0.3=0.4$$
Найдем вероятность всех вышеуказанных событий:$$0.3 \cdot 0.3 +0.3 \cdot 0.4 + 0.4 \cdot 0.3 =0.33$$
20
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, баскетбольной команде нужно набрать хотя бы $4$ очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $3$ очка, в случае ничьей — $1$ очко, если проигрывает — $0$ очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны $0.4.$
Перечислим случаи, когда команда наберет $4$ очка: $$В+В$$ $$В+Н$$ $$Н+В$$
Найдем вероятность ничьи:$$1-0.4-0.4=0.2$$
Найдем вероятность всех вышеуказанных событий:$$0.4 \cdot 0.4 +0.4 \cdot 0.2 + 0.2 \cdot 0.4 =0.32$$
20
За круглый стол на $5$ стульев в случайном порядке рассаживаются $3$ мальчика и $2$ девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.
Предположим, что одна из девочек выбрала себе место и села. Тогда вероятность того, что вторая девочка сядет слева от нее — $\frac{1}{4}.$ Вероятность того, что вторая девочка сядет справа — также $\frac{1}{4}.$ $$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=0.5$$
20
За круглый стол на $201$ стул в случайном порядке рассаживаются $199$ мальчиков и $2$ девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.
Предположим, что одна из девочек выбрала себе место и села. Тогда вероятность того, что вторая девочка сядет слева от нее — $\frac{1}{200}.$ Вероятность того, что вторая девочка сядет справа — также $\frac{1}{200}.$ $$\frac{1}{200}+\frac{1}{200}=0.01$$
20