5. Вероятности сложных событий: все задания
Между городами ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше $50$ пассажиров, равна $0.7.$ Вероятность того, что окажется меньше $20$ пассажиров, равна $0.1.$ Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от $20$ до $49$ включительно.
Так как вероятность того, что в автобусе окажется меньше $50$ пассажиров включает в себя вероятность того, что окажется меньше $20$ пассажиров, необходимо вычесть из первой вторую:$$0.7-0.1=0.6$$
Между городами ежедневно ходит электричка. Вероятность того, что в электричке окажется меньше $200$ пассажиров, равна $0.56.$ Вероятность того, что окажется меньше $50$ пассажиров, равна $0.16.$ Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от $50$ до $199$ включительно.
Так как вероятность того, что в электричке окажется меньше $200$ пассажиров включает в себя вероятность того, что окажется меньше $50$ пассажиров, необходимо вычесть из первой вторую:$$0.56-0.16=0.4$$
Вероятность того, что на контрольной по математике учащийся верно решит больше $25$ задач, равна $0.65.$ Вероятность того, что учащийся верно решит больше $26$ задач, равна $0.45.$ Найдите вероятность того, что учащийся верно решит ровно $25$ задач.
Так как вероятность того, что учащийся верно решит больше $25$ задач включает в себя вероятность того, что учащийся верно решит больше $26$ задач, необходимо найти разность этих вероятностей:$$0.65-0.45=0.2$$
Вероятность того, что на контрольной по физике учащийся верно решит больше $17$ задач, равна $0.32.$ Вероятность того, что учащийся верно решит больше $16$ задач, равна $0.55.$ Найдите вероятность того, что учащийся верно решит ровно $17$ задач.
Так как вероятность того, что учащийся верно решит больше $16$ задач включает в себя вероятность того, что учащийся верно решит больше $17$ задач, необходимо найти разность этих вероятностей:$$0.55-0.32=0.23$$
При выпечке торта производится контрольное взвешивание. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем $3\space000$ граммов, равна $0.9.$ Вероятность того, что масса окажется больше, чем $2 \space 500$ граммов, равна $0.95.$ Найдите вероятность того, что масса торта больше, чем $2 \space 500$ граммов, но меньше, чем $3\space000$ граммов.
Найдем вероятность того, что масса торта окажется меньше, чем $2 \space 500$ граммов:$$1-0.95=0.05$$
Вероятность того, что масса окажется меньше, чем $3\space000$ граммов включает в себя вероятность того, что масса торта окажется меньше, чем $2 \space 500$ граммов:$$0.9-0.05=0.85$$
При выпечке торта производится контрольное взвешивание. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем $950$ граммов, равна $0.99.$ Вероятность того, что масса окажется больше, чем $900$ граммов, равна $0.94.$ Найдите вероятность того, что масса торта больше, чем $900$ граммов, но меньше, чем $950$ граммов.
Найдем вероятность того, что масса торта окажется меньше, чем $900$ граммов:$$1-0.94=0.06$$
Вероятность того, что масса окажется меньше, чем $950$ граммов включает в себя вероятность того, что масса торта окажется меньше, чем $900$ граммов:$$0.99-0.06=0.93$$
В магазине два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится чай, равна $0.31.$ Такая же вероятность того, что чай закончится во втором автомате. Вероятность того, что чай закончится в обоих автоматах, равна $0.1.$ Найдите вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах.
Необходимо из $1$ вычесть вероятность того, что в каждом из автоматов закончится чай, а затем прибавить вероятность того, что чай закончится в обоих автоматах, так как эти события зависимые:$$1-0.31-0.31+0.1=0.48$$
В магазине два автомата продают газированные напитки. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончатся газированные напитки, равна $0.25.$ Такая же вероятность того, что газированные напитки закончатся во втором автомате. Вероятность того, что газированные напитки закончатся в обоих автоматах, равна $0.15.$ Найдите вероятность того, что к концу дня газированные напитки останутся в обоих автоматах.
Необходимо из $1$ вычесть вероятность того, что в каждом из автоматов закончатся газированные напитки, а затем прибавить вероятность того, что газированные напитки закончатся в обоих автоматах, так как эти события зависимые:$$1-0.25-0.25+0.15=0.65$$
В люстре три лампы. Вероятность перегорания каждой отдельной лампы в течение года равна $0.4.$ Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Найдем вероятность того, что все лампы перегорят, а затем найдем вероятность события ему противоположного:$$1-0.4 \cdot 0.4 \cdot 0.4 = 0.936$$
В люстре две лампы. Вероятность перегорания каждой отдельной лампы в течение года равна $0.8.$ Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Найдем вероятность того, что все лампы перегорят, а затем найдем вероятность события ему противоположного:$$1-0.8 \cdot 0.8 = 0.36$$
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
Перечислим все возможные вероятности выпадения монеты:$$OOO$$ $$OOP$$ $$OPO$$ $$OPP$$ $$POO$$ $$POP$$ $$PPO$$ $$PPP$$
Предположим, что выигрышным жребием является орел. Орел выпадает ровно два раза в трех из восьми случаев:$$\frac{3}{8} = 0.375$$
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Химик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Химик» выиграет жребий все три раза.
Перечислим все возможные вероятности выпадения монеты:$$OOO$$ $$OOP$$ $$OPO$$ $$OPP$$ $$POO$$ $$POP$$ $$PPO$$ $$PPP$$
Предположим, что выигрышным жребием является орел. Орел выпадает ровно три раза в одном из восьми случаев:$$\frac{1}{8} = 0.125$$
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки $7,$ но не дойдя до отметки $1.$
Промежуток от $7$ до $1$ занимает ровно половину циферблата:$$\frac{1}{2}=0.5$$
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки $8,$ но не дойдя до отметки $2.$
Промежуток от $8$ до $2$ занимает ровно половину циферблата:$$\frac{1}{2}=0.5$$
Если шахматист $A$ играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста $B$ с вероятностью $0.5.$ Если $A$ играет чёрными, то $A$ выигрывает у $B$ с вероятностью $0.32.$ Шахматисты $A$ и $B$ играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что $A$ выиграет оба раза.
Шахматист должен выиграть в первый раз, играя белыми фигурами, и во второй раз, играя черными фигурами:$$0.5 \cdot 0.32 = 0.16$$
Если Решавр играет белыми фигурами, то он выигрывает у Иксератопса с вероятностью $0.5.$ Если Решавр играет чёрными, то Решавр выигрывает у Иксератопса с вероятностью $0.48.$ Шахматисты играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что Решавр выиграет оба раза.
Шахматист должен выиграть в первый раз, играя белыми фигурами, и во второй раз, играя черными фигурами:$$0.5 \cdot 0.48 = 0.24$$
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы $4$ очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $3$ очка, в случае ничьей — $1$ очко, если проигрывает — $0$ очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны $0.3.$
Перечислим случаи, когда команда наберет $4$ очка: $$В+В$$ $$В+Н$$ $$Н+В$$
Найдем вероятность ничьи:$$1-0.3-0.3=0.4$$
Найдем вероятность всех вышеуказанных событий:$$0.3 \cdot 0.3 +0.3 \cdot 0.4 + 0.4 \cdot 0.3 =0.33$$
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, баскетбольной команде нужно набрать хотя бы $4$ очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $3$ очка, в случае ничьей — $1$ очко, если проигрывает — $0$ очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны $0.4.$
Перечислим случаи, когда команда наберет $4$ очка: $$В+В$$ $$В+Н$$ $$Н+В$$
Найдем вероятность ничьи:$$1-0.4-0.4=0.2$$
Найдем вероятность всех вышеуказанных событий:$$0.4 \cdot 0.4 +0.4 \cdot 0.2 + 0.2 \cdot 0.4 =0.32$$
За круглый стол на $5$ стульев в случайном порядке рассаживаются $3$ мальчика и $2$ девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.
Предположим, что одна из девочек выбрала себе место и села. Тогда вероятность того, что вторая девочка сядет слева от нее — $\frac{1}{4}.$ Вероятность того, что вторая девочка сядет справа — также $\frac{1}{4}.$ $$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=0.5$$
За круглый стол на $201$ стул в случайном порядке рассаживаются $199$ мальчиков и $2$ девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.
Предположим, что одна из девочек выбрала себе место и села. Тогда вероятность того, что вторая девочка сядет слева от нее — $\frac{1}{200}.$ Вероятность того, что вторая девочка сядет справа — также $\frac{1}{200}.$ $$\frac{1}{200}+\frac{1}{200}=0.01$$
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна $0.08.$ Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна $0.91.$Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна $0.01.$ Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.Вероятность того, что батарейка будет исправна:$$1-0.08=0.92$$
Вероятность того, что батарейка будет исправна:$$1-0.08=0.92$$
Мы можем выбрать исправную батарейку и ее должна забраковать система контроля, или мы выберем неисправную батарейку, и ее также должна забраковать система контроля:$$0.92 \cdot 0.01 + 0.08 \cdot 0.91 = 0.082$$
Автоматическая линия изготавливает гирлянды. Вероятность того, что готовая гирлянда неисправна, равна $0.06.$ Перед упаковкой каждая гирлянда проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную гирлянду, равна $0.93.$Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную гирлянду, равна $0.03.$ Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная гирлянда будет забракована системой контроля.
Вероятность того, что гирлянда будет исправна:$$1-0.06=0.94$$
Мы можем выбрать исправную гирлянду и ее должна забраковать система контроля, или мы выберем неисправную гирлянду, и ее также должна забраковать система контроля:$$0.94 \cdot 0.03 + 0.06 \cdot 0.93 = 0.084$$
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из трех мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна $0.7.$ Найдите вероятность того, что стрелок попадет в две первые мишени и не попадет в последнюю.
Найдем вероятность промаха: $$1-0.7=0.3$$
Стрелок должен попасть в первую мишень и попасть во вторую мишень, и не попасть в третью:$$0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.3 =0.147$$
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из трех мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна $0.4.$ Найдите вероятность того, что стрелок не попадет в две первые мишени и попадет в последнюю.
Найдем вероятность промаха: $$1-0.4=0.6$$
Стрелок должен не попасть в первую мишень и не попасть во вторую мишень, и попасть в третью:$$0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.4 =0.144$$
Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит ее. Известно, что он попадает в цель с вероятностью $0.4$ при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее $0.7?$
Найдем вероятность промаха:$$1-0.4=0.6$$
Предположим, стрелку дали два патрона. Тогда он может попасть с первого раза или не попасть с первого и попасть со второго раза:$$0.4+0.6 \cdot 0.4 = 0.64$$
Дадим стрелку три патрона. Тогда он может попасть с первого раза или не попасть с первого и попасть со второго раза, или не попасть с первого раза и не попасть со второго раза, и попасть с третьего раза:$$0.4+0.6 \cdot 0.4 +0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.4 = 0.784$$
Биатлонист стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит ее. Известно, что он попадает в цель с вероятностью $0.5$ при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать биатлонисту, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее $0.8?$
Найдем вероятность промаха:$$1-0.5=0.5$$
Предположим, биатлонисту дали два патрона. Тогда он может попасть с первого раза или не попасть с первого и попасть со второго раза:$$0.5+0.5 \cdot 0.5 = 0.75$$
Дадим биатлонисту три патрона. Тогда он может попасть с первого раза или не попасть с первого и попасть со второго раза, или не попасть с первого раза и не попасть со второго раза, и попасть с третьего раза:$$0.5+0.5 \cdot 0.5 +0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.875$$
В коробке $10$ синих, $12$ красных и $3$ зеленых фломастера. Случайным образом выбирают два фломастера. Чему равна вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
Всего фломастеров в коробке: $$10+12+3 = 25$$
Мы можем сначала выбрать синий фломастер, а затем красный или сначала выбрать красный фломастер, а затем уже синий:$$\frac{10}{25} \cdot \frac{12}{24}+ \frac{12}{25} \cdot \frac{10}{24}= 0.4$$
В ящике $6$ синих, $7$ красных и $3$ зеленых карандаша. Случайным образом выбирают два карандаша. Чему равна вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный карандаш?
Всего карандашей в коробке: $$6+7+3 = 16$$
Мы можем сначала выбрать синий карандаш, а затем красный или сначала выбрать красный карандаш, а затем уже синий:$$\frac{6}{16} \cdot \frac{7}{15}+ \frac{7}{16} \cdot \frac{6}{15}=0.35 $$
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна $7.$ Результат округлите до сотых.
Перечислим варианты выпадения $7$ очков:$$1+6$$ $$2+5$$ $$3+4$$ $$4+3$$ $$5+2$$ $$6+1$$
Вероятность выпадения определенного числа на кости — $\frac{1}{6}.$ Тогда вероятность всей комбинации: $$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$$
Таких комбинаций у нас получилось $6$:$$\frac{1}{36} \cdot 6 = \frac{6}{36} \approx 0.17$$
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна $6.$ Результат округлите до сотых.
Перечислим варианты выпадения $6$ очков:$$1+5$$ $$2+4$$ $$3+3$$ $$4+2$$ $$5+1$$
Вероятность выпадения определенного числа на кости — $\frac{1}{6}.$ Тогда вероятность всей комбинации: $$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$$
Таких комбинаций у нас получилось $5$:$$\frac{1}{36} \cdot 5 = \frac{5}{36} \approx 0.14$$
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше $25$ пассажиров, равна $0.91.$ Вероятность того, что окажется меньше $20$ пассажиров, равна $0.37.$ Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от $20$ до $24$ включительно.
Так как вероятность того, что в автобусе окажется меньше $25$ пассажиров включает в себя вероятность того, что окажется меньше $20$ пассажиров, необходимо вычесть из первой вторую:$$0.91-0.37=0.54$$
Из города в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в воскресенье в автобусе окажется меньше $25$ пассажиров, равна $0.83.$ Вероятность того, что окажется меньше $20$ пассажиров, равна $0.37.$ Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от $20$ до $24$ включительно.
Так как вероятность того, что в автобусе окажется меньше $25$ пассажиров включает в себя вероятность того, что окажется меньше $20$ пассажиров, необходимо вычесть из первой вторую:$$0.83-0.37=0.46$$
Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся верно решит больше $13$ задач, равна $0.51.$ Вероятность того, что учащийся верно решит больше $12$ задач, равна $0.58.$ Найдите вероятность того, что учащийся верно решит ровно $13$ задач.
Так как вероятность того, что учащийся верно решит больше $12$ задач включает в себя вероятность того, что учащийся верно решит больше $13$ задач, необходимо найти разность этих вероятностей:$$0.58-0.51=0.07$$
Вероятность того, что на тестировании по химии учащийся верно решит больше $15$ задач, равна $0,51.$ Вероятность того, что учащийся верно решит больше $14$ задач, равна $0.65.$ Найдите вероятность того, что учащийся верно решит ровно $15$ задач.
Так как вероятность того, что учащийся верно решит больше $14$ задач включает в себя вероятность того, что учащийся верно решит больше $15$ задач, необходимо найти разность этих вероятностей:$$0.65-0.51=0.14$$
При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем $810$ граммов, равна $0.91.$ Вероятность того, что масса окажется больше, чем $790$ граммов, равна $0.93.$ Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем $790$ граммов, но меньше, чем $810$ граммов.
Найдем вероятность того, что масса булки окажется меньше, чем $790$ граммов:$$1-0.93=0.07$$
Вероятность того, что масса окажется меньше, чем $810$ граммов включает в себя вероятность того, что масса булки окажется меньше, чем $790$ граммов:$$0.91-0.07=0.84$$
При выпечке пирога производится контрольное взвешивание. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем $900$ граммов, равна $0.97.$ Вероятность того, что масса окажется больше, чем $800$ граммов, равна $0.92.$ Найдите вероятность того, что масса пирога больше, чем $800$ граммов, но меньше, чем $900$ граммов.
Найдем вероятность того, что масса пирога окажется меньше, чем $800$ граммов:$$1-0.97=0.03$$
Вероятность того, что масса окажется меньше, чем $900$ граммов включает в себя вероятность того, что масса пирога окажется меньше, чем $800$ граммов:$$0.92-0.03=0.89$$
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна $0.35.$ Такая же вероятность того, что кофе закончится во втором автомате. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0.15.$ Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Необходимо из $1$ вычесть вероятность того, что в каждом из автоматов закончится кофе, а затем прибавить вероятность того, что закончится в обоих автоматах, так как эти события зависимые:$$1-0.35-0.35+0.15=0.45$$
В магазине два автомата продают игрушки. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончатся игрушки, равна $0.4.$ Такая же вероятность того, что игрушки закончатся во втором автомате. Вероятность того, что игрушки закончатся в обоих автоматах, равна $0.14.$ Найдите вероятность того, что к концу дня игрушки останутся в обоих автоматах.
Необходимо из $1$ вычесть вероятность того, что в каждом из автоматов закончатся игрушки, а затем прибавить вероятность того, что игрушки закончатся в обоих автоматах, так как эти события зависимые:$$1-0.4-0.4+0.14=0.34$$
Помещение освещается фонарем с четырьмя лампами. Вероятность перегорания каждой отдельной лампы в течение года равна $0.2.$ Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Найдем вероятность того, что все лампы перегорят, а затем найдем вероятность события ему противоположного:$$1-0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.2 = 0.9984$$
Помещение освещается фонарем с тремя лампами. Вероятность перегорания каждой отдельной лампы в течение года равна $0.3.$ Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Найдем вероятность того, что все лампы перегорят, а затем найдем вероятность события ему противоположного:$$1-0.3 \cdot 0.3 \cdot 0.3 = 0.973$$