18. Задача с параметром: Аналитическое решение уравнений, неравенств и систем

Замена переменной:
Положим $t=x+\frac{1}{x}$. Тогда:
$$x^2-tx+1=0$$
Условия для $t$:

• При $|t|>2$: два различных корня
• При $t=\pm2$: один корень
• При $|t|<2$: нет решений

Преобразование уравнения:
$$at^2+5t-9a+15=0$$

Случай 1: $a=0$
Уравнение: $5t+15=0$ ⇒ $t=-3$
Так как $-3<-2$, получаем два различных корня

Случай 2: $a\neq0$
Дискриминант: $D=(6a-5)^2$
Корни:
$$t_1=-3,\quad t_2=\frac{3a-5}{a}$$ Условия для двух корней:

• $t_2=-3$ ⇒ $a=\frac{5}{6}$
• или $t_2\in(-2,2)$ ⇒ $1<a<5$

Ответ: $a\in\{0,\frac{5}{6}\}\cup(1,5)$

Замена переменной:
Введем замену $t=|x+1|$, где $t\geq0$. Тогда уравнение принимает вид:
$$2at^2-t+1=0$$

Анализ количества решений:
Исходное уравнение будет иметь ровно четыре различных решения, если:

• Уравнение относительно $t$ имеет два различных положительных корня
• Каждому положительному корню $t$ соответствуют два различных значения $x$

Условия для квадратного уравнения:

• Коэффициент при $t^2$ не равен нулю: $a\neq0$
• Дискриминант положительный: $D=1-8a>0$ ⇒ $a<\frac{1}{8}$
• Оба корня положительные

Анализ корней:
Корни уравнения:
$$t_1=\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a},\quad t_2=\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$$ Условия положительности корней:

• Для $t_1$: всегда положителен при $a>0$ (числитель и знаменатель положительны)
• Для $t_2$:
  $$1-\sqrt{1-8a}>0 ⇒ \sqrt{1-8a}<1 ⇒ a>0$$

Объединение условий:

• $a\neq0$
• $0<a<\frac{1}{8}$

Проверка граничных значений:

• При $a→0^+$: уравнение становится линейным, один корень
• При $a=\frac{1}{8}$: один корень кратности 2
• При $a<0$: один корень отрицательный, один положительный (но дает только два решения для $x$)

Итоговый интервал:
Только при $0<a<\frac{1}{8}$ уравнение имеет два различных положительных корня $t$, каждому из которых соответствуют два различных значения $x$, что дает в совокупности четыре различных решения.

Ответ: $a\in\left(0,\frac{1}{8}\right)$

Преобразование уравнения:
Исходное уравнение можно переписать в виде:
$$|x^2-a^2|-|x+a|-8|x-a|+8=0$$

Разложение на множители:
Используя свойство $|x^2-a^2|=|x-a|\cdot|x+a|$, получаем:
$$|x-a|\cdot|x+a|-|x+a|-8|x-a|+8=0$$
$$(|x+a|-8)(|x-a|-1)=0$$

Получение решений:
Уравнение распадается на два случая:

• $|x+a|=8$ ⇒ $x=-a\pm8$
• $|x-a|=1$ ⇒ $x=a\pm1$

Анализ количества решений:
Для получения ровно трех различных решений необходимо, чтобы:

• Одно из решений совпало (два уравнения дали одинаковый корень)
• Остальные решения оставались различными

Рассмотрим возможные варианты совпадения корней.

Случай 1: $8-a=a+1$ ⇒ $a=3.5

• Решения: $x=-11.5$, $x=4.5$, $x=2.5$ (три различных)

Случай 2: $8-a=a-1$ ⇒ $a=4.5$

• Решения: $x=-12.5$, $x=3.5$, $x=5.5$ (три различных)

Случай 3: $-8-a=a+1$ ⇒ $a=-4.5$

• Решения: $x=3.5$, $x=-12.5$, $x=-5.5$ (три различных)

Случай 4: $-8-a=a-1$ ⇒ $a=-3.5$

• Решения: $x=4.5$, $x=-11.5$, $x=-2.5$ (три различных)

Проверка других значений:
Для любых других значений параметра $a$ уравнение будет иметь либо два, либо четыре различных решения.

Итоговый ответ:
Уравнение имеет ровно три различных решения при:
$$a=-4.5,\ -3.5,\ 3.5,\ 4.5$$

Ответ: $a\in\{-4.5,\ -3.5,\ 3.5,\ 4.5\}$

Преобразование уравнения:
$$|x^2-a^2|=|x+a|\sqrt{x^2-ax+4a}$$
Разложим левую часть:
$$|x+a|\cdot|x-a|=|x+a|\sqrt{x^2-ax+4a}$$

Разделение на случаи:
Уравнение равносильно совокупности:
$$|x+a|\left(|x-a|-\sqrt{x^2-ax+4a}\right)=0$$

Первое решение:
$$x=-a$$
Условие существования:
$$x^2-ax+4a\geq0$$
Подставляя $x=-a$:
$$a^2+a^2+4a\geq0\Rightarrow2a^2+4a\geq0\Rightarrow a\leq-2\ \text{или}\ a\geq0$$

Второе уравнение:
$$|x-a|=\sqrt{x^2-ax+4a}$$
Возведем в квадрат:
$$(x-a)^2=x^2-ax+4a$$
Упрощаем:
$$x^2-2ax+a^2=x^2-ax+4a$$
$$-ax+a^2-4a=0$$
$$a(a-x-4)=0$$

Случай 1: $a=0$

• Уравнение имеет бесконечно много решений
• Не удовлетворяет условию

Случай 2: $a\neq0$

• Решение: $x=a-4$
• Проверяем условие существования корня:
  $$(a-4)^2-a(a-4)+4a\geq0$$
  $$a^2-8a+16-a^2+4a+4a\geq0$$
  $$16\geq0$$ (всегда верно)
• Исключаем случай, когда корни совпадают:
  $$-a=a-4\Rightarrow a=2$$

Итоговые условия:

• При $a\leq-2$: два различных корня ($x=-a$ и $x=a-4$)
• При $0<a<2$: два различных корня
• При $a>2$: два различных корня
• Исключаем $a=0$ и $a=2$

Ответ: $a\in(-\infty,-2]\cup(0,2)\cup(2,+\infty)$

Преобразование уравнения:
$$|x^2-a^2|=|x+a|\sqrt{4x+3}$$
Разложим левую часть:
$$|x+a|\cdot|x-a|=|x+a|\sqrt{4x+3}$$

Разделение на случаи:
Уравнение равносильно совокупности:
$$|x+a|\left(|x-a|-\sqrt{4x+3}\right)=0$$

Первое решение:
$$x=-a$$
Условие существования:
$$4x+3\geq0\Rightarrow x\geq-\frac{3}{4}$$
Поэтому:
$$-a\geq-\frac{3}{4}\Rightarrow a\leq\frac{3}{4}$$

Второе уравнение:
$$|x-a|=\sqrt{4x+3}$$
Возведем в квадрат:
$$(x-a)^2=4x+3$$
Упрощаем:
$$x^2-(2a+4)x+a^2-3=0$$

Анализ дискриминанта:
$$D=(2a+4)^2-4(a^2-3)=16a+28=4(4a+7)$$
Условие существования корней:
$$D\geq0\Rightarrow a\geq-\frac{7}{4}$$

Случай 1: $a=-\frac{7}{4}$

• Один корень: $x=\frac{1}{4}$
• Второе решение: $x=\frac{7}{4}$
• Всего два решения

Случай 2: $a=-\frac{3}{2}$ и $a=\frac{1}{2}$

• Один корень совпадает с $x=-a$
• Второй корень дает дополнительное решение
• Всего два решения

Случай 3: $a>\frac{3}{4}$

• Уравнение $x=-a$ не имеет решений
• Квадратное уравнение дает два решения
• Всего два решения

Итоговые условия:
Уравнение имеет ровно два решения при:
$$a\in\{-\frac{7}{4},-\frac{3}{2},\frac{1}{2}\}\cup\left(\frac{3}{4},+\infty\right)$$

Ответ: $a\in\{-\frac{7}{4},-\frac{3}{2},\frac{1}{2}\}\cup\left(\frac{3}{4},+\infty\right)$

Преобразование уравнения:
$$|x^2-a^2|=|x+a|\sqrt{3x+1}$$
Разложим левую часть:
$$|x+a|\cdot|x-a|=|x+a|\sqrt{3x+1}$$

Разделение на случаи:
Уравнение равносильно совокупности:
$$|x+a|\left(|x-a|-\sqrt{3x+1}\right)=0$$

Первое решение:
$$x=-a$$
Условие существования:
$$3x+1\geq0\Rightarrow x\geq-\frac{1}{3}$$
Поэтому:
$$-a\geq-\frac{1}{3}\Rightarrow a\leq\frac{1}{3}$$

Второе уравнение:
$$|x-a|=\sqrt{3x+1}$$
Возведем в квадрат:
$$(x-a)^2=3x+1$$
Упрощаем:
$$x^2-(2a+3)x+a^2-1=0$$

Анализ дискриминанта:
$$D=(2a+3)^2-4(a^2-1)=12a+13$$
Условие существования корней:
$$D\geq0\Rightarrow a\geq-\frac{13}{12}$$

Случай 1: $a=-\frac{13}{12}$

• Один корень: $x=\frac{5}{12}$
• Второе решение: $x=\frac{13}{12}$
• Всего два решения

Случай 2: $a=-1$ и $a=\frac{1}{4}$

• Один корень совпадает с $x=-a$
• Второй корень дает дополнительное решение
• Всего два решения

Случай 3: $a>\frac{1}{3}$

• Уравнение $x=-a$ не имеет решений
• Квадратное уравнение дает два решения
• Всего два решения

Итоговые условия:
Уравнение имеет ровно два решения при:
$$a\in\{-\frac{13}{12},-1,\frac{1}{4}\}\cup\left(\frac{1}{3},+\infty\right)$$

Ответ:

$$a\in\{-\frac{13}{12},-1,\frac{1}{4}\}\cup\left(\frac{1}{3},+\infty\right)$$

Замена переменной:
Положим $t = x^2 \geq 0$. Уравнение принимает вид:
$$t^2\sin\alpha + 2t\cos\alpha + \sin\alpha = 0$$

Случай 1: $\sin\alpha = 0$
Уравнение становится линейным:
$$2t\cos\alpha = 0$$
Имеет только решение $t=0$, что дает один корень $x=0$ (не удовлетворяет условию)

Случай 2: $\sin\alpha \neq 0$
Разделим уравнение на $\sin\alpha$:
$$t^2 + 2t\operatorname{ctg}\alpha + 1 = 0$$

Условия для одного положительного корня:

• Дискриминант должен быть нулевым:
  $$D = 4\operatorname{ctg}^2\alpha — 4 = 0 \Rightarrow \operatorname{ctg}\alpha = \pm1$$
• Вершина параболы должна быть положительной:
  $$-\operatorname{ctg}\alpha > 0 \Rightarrow \operatorname{ctg}\alpha < 0$$
• Следовательно: $\operatorname{ctg}\alpha = -1$

Решение тригонометрического уравнения:
$$\operatorname{ctg}\alpha = -1 \Rightarrow \alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Проверка:
При $\alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi k$:

• Уравнение имеет двойной корень $t=1$ (положительный)
• Соответствует двум различным корням $x=\pm1$

Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Анализ числителя:
$$9x^2-a^2=0 \Rightarrow x=\pm\frac{a}{3}$$

• При $a\neq0$ числитель имеет два различных корня
• При $a=0$ числитель имеет один корень $x=0$ (кратности 2)

Анализ знаменателя:
$$x^2+8x+16-a^2=0 \Rightarrow (x+4)^2=a^2 \Rightarrow x=-4\pm a$$
Корни знаменателя должны отличаться от корней числителя

Условия для двух решений:

• $a\neq0$ (чтобы было два корня в числителе)
• Корни числителя не должны совпадать с корнями знаменателя:
  $$\pm\frac{a}{3}\neq-4\pm a$$

Решение неравенств:

• $\frac{a}{3}\neq-4+a \Rightarrow a\neq6$
• $-\frac{a}{3}\neq-4+a \Rightarrow a\neq3$
• $\frac{a}{3}\neq-4-a \Rightarrow a\neq-3$
• $-\frac{a}{3}\neq-4-a \Rightarrow a\neq-6$

Итоговые ограничения:
Уравнение имеет ровно два различных решения при всех $a\in\mathbb{R}$, кроме:
$$a\in{-6,-3,0,3,6}$$

Ответ: $(-\infty;-6) \cup (-6; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; 6) \cup (6; +\infty)$

Разложение числителя и знаменателя:
$$\frac{(3x-a)(3x+a)}{3x-(9+2a)}=0$$

Условия существования решений:

• Числитель равен нулю: $x=\frac{a}{3}$ или $x=-\frac{a}{3}$
• Знаменатель не равен нулю: $x\neq\frac{9+2a}{3}$

Основные требования:

• Два различных корня числителя: $\frac{a}{3}\neq-\frac{a}{3}$ ⇒ $a\neq0$
• Ни один корень не должен совпадать с запрещенным значением:
  • $\frac{a}{3}\neq\frac{9+2a}{3}$ ⇒ $a\neq-9$
  • $-\frac{a}{3}\neq\frac{9+2a}{3}$ ⇒ $a\neq-3$

Особые случаи:

• При $a=0$: только один корень $x=0$ (не удовлетворяет)
• При $a=-9$: корни $x=-3$ и $x=3$, но $x=-3$ исключается
• При $a=-3$: корни $x=-1$ и $x=1$, но $x=1$ исключается

Итоговый ответ:
Уравнение имеет ровно два различных решения для всех $a\in\mathbb{R}$, кроме:
$$a\in{-9,-3,0}$$

Ответ: $a\in(-\infty,-9)\cup(-9,-3)\cup(-3,0)\cup(0,+\infty)$