Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
19. Задача с параметром: #195741
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$a\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+5\left(x+\frac{1}{x}\right)-9a+15=0$$ имеет ровно два различных корня.
Замена переменной:
Положим $t=x+\frac{1}{x}$. Тогда:
$$x^2-tx+1=0$$
Условия для $t$:
- При $|t|>2$: два различных корня
- При $t=\pm2$: один корень
- При $|t|<2$: нет решений
Преобразование уравнения:
$$at^2+5t-9a+15=0$$
Случай 1: $a=0$
Уравнение: $5t+15=0$ ⇒ $t=-3$
Так как $-3<-2$, получаем два различных корня.
Случай 2: $a\neq0$
Дискриминант: $D=(6a-5)^2$
Корни:
$$t_1=-3,\quad t_2=\frac{3a-5}{a}$$ Условия для двух корней:
- $t_2=-3$ ⇒ $a=\frac{5}{6}$
- или $t_2\in(-2,2)$ ⇒ $1<a<5$
Ответ: $a\in\{0,\frac{5}{6}\}\cup(1,5)$
20
