19. Задача с параметром: #195743

Замена переменной:
Введем замену $t=|x+1|$, где $t\geq0$. Тогда уравнение принимает вид:
$$2at^2-t+1=0$$

Анализ количества решений:
Исходное уравнение будет иметь ровно четыре различных решения, если:

• Уравнение относительно $t$ имеет два различных положительных корня
• Каждому положительному корню $t$ соответствуют два различных значения $x$

Условия для квадратного уравнения:

• Коэффициент при $t^2$ не равен нулю: $a\neq0$
• Дискриминант положительный: $D=1-8a>0$ ⇒ $a<\frac{1}{8}$
• Оба корня положительные

Анализ корней:
Корни уравнения:
$$t_1=\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a},\quad t_2=\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$$ Условия положительности корней:

• Для $t_1$: всегда положителен при $a>0$ (числитель и знаменатель положительны)
• Для $t_2$:
  $$1-\sqrt{1-8a}>0 ⇒ \sqrt{1-8a}<1 ⇒ a>0$$

Объединение условий:

• $a\neq0$
• $0<a<\frac{1}{8}$

Проверка граничных значений:

• При $a→0^+$: уравнение становится линейным, один корень
• При $a=\frac{1}{8}$: один корень кратности 2
• При $a<0$: один корень отрицательный, один положительный (но дает только два решения для $x$)

Итоговый интервал:
Только при $0<a<\frac{1}{8}$ уравнение имеет два различных положительных корня $t$, каждому из которых соответствуют два различных значения $x$, что дает в совокупности четыре различных решения.

Ответ: $a\in\left(0,\frac{1}{8}\right)$