19. Задача с параметром: #195744

Преобразование уравнения:
Исходное уравнение можно переписать в виде:
$$|x^2-a^2|-|x+a|-8|x-a|+8=0$$

Разложение на множители:
Используя свойство $|x^2-a^2|=|x-a|\cdot|x+a|$, получаем:
$$|x-a|\cdot|x+a|-|x+a|-8|x-a|+8=0$$
$$(|x+a|-8)(|x-a|-1)=0$$

Получение решений:
Уравнение распадается на два случая:

• $|x+a|=8$ ⇒ $x=-a\pm8$
• $|x-a|=1$ ⇒ $x=a\pm1$

Анализ количества решений:
Для получения ровно трех различных решений необходимо, чтобы:

• Одно из решений совпало (два уравнения дали одинаковый корень)
• Остальные решения оставались различными

Рассмотрим возможные варианты совпадения корней.

Случай 1: $8-a=a+1$ ⇒ $a=3.5$

• Решения: $x=-11.5$, $x=4.5$, $x=2.5$ (три различных)

Случай 2: $8-a=a-1$ ⇒ $a=4.5$

• Решения: $x=-12.5$, $x=3.5$, $x=5.5$ (три различных)

Случай 3: $-8-a=a+1$ ⇒ $a=-4.5$

• Решения: $x=-3.5$, $x=12.5$, $x=-5.5$ (три различных)

Случай 4: $-8-a=a-1$ ⇒ $a=-3.5$

• Решения: $x=-4.5$, $x=11.5$, $x=-2.5$ (три различных)

Проверка других значений:
Для любых других значений параметра $a$ уравнение будет иметь либо два, либо четыре различных решения.

Итоговый ответ:
Уравнение имеет ровно три различных решения при:
$$a=-4.5,\ -3.5,\ 3.5,\ 4.5$$

Ответ: $a\in\{-4.5,\ -3.5,\ 3.5,\ 4.5\}$