19. Задача с параметром: #195745

Преобразование уравнения:
$$|x^2-a^2|=|x+a|\sqrt{x^2-ax+4a}$$
Разложим левую часть:
$$|x+a|\cdot|x-a|=|x+a|\sqrt{x^2-ax+4a}$$

Разделение на случаи:
Уравнение равносильно совокупности:
$$|x+a|\left(|x-a|-\sqrt{x^2-ax+4a}\right)=0$$

Первое решение:
$$x=-a$$
Условие существования:
$$x^2-ax+4a\geq0$$
Подставляя $x=-a$:
$$a^2+a^2+4a\geq0\Rightarrow2a^2+4a\geq0\Rightarrow a\leq-2\ \text{или}\ a\geq0$$

Второе уравнение:
$$|x-a|=\sqrt{x^2-ax+4a}$$
Возведем в квадрат:
$$(x-a)^2=x^2-ax+4a$$
Упрощаем:
$$x^2-2ax+a^2=x^2-ax+4a$$
$$-ax+a^2-4a=0$$
$$a(a-x-4)=0$$

Случай 1: $a=0$

• Уравнение имеет бесконечно много решений
• Не удовлетворяет условию

Случай 2: $a\neq0$

• Решение: $x=a-4$
• Проверяем условие существования корня:
  $$(a-4)^2-a(a-4)+4a\geq0$$
  $$a^2-8a+16-a^2+4a+4a\geq0$$
  $$16\geq0$$ (всегда верно)
• Исключаем случай, когда корни совпадают:
  $$-a=a-4\Rightarrow a=2$$

Итоговые условия:

• При $a\leq-2$: два различных корня ($x=-a$ и $x=a-4$)
• При $0<a<2$: два различных корня
• При $a>2$: два различных корня
• Исключаем $a=0$ и $a=2$

Ответ: $a\in(-\infty,-2]\cup(0,2)\cup(2,+\infty)$