19. Задача с параметром: #195748

Преобразование уравнения:
$$|x^2-a^2|=|x+a|\sqrt{4x+3}$$
Разложим левую часть:
$$|x+a|\cdot|x-a|=|x+a|\sqrt{4x+3}$$

Разделение на случаи:
Уравнение равносильно совокупности:
$$|x+a|\left(|x-a|-\sqrt{4x+3}\right)=0$$

Первое решение:
$$x=-a$$
Условие существования:
$$4x+3\geq0\Rightarrow x\geq-\frac{3}{4}$$
Поэтому:
$$-a\geq-\frac{3}{4}\Rightarrow a\leq\frac{3}{4}$$

Второе уравнение:
$$|x-a|=\sqrt{4x+3}$$
Возведем в квадрат:
$$(x-a)^2=4x+3$$
Упрощаем:
$$x^2-(2a+4)x+a^2-3=0$$

Анализ дискриминанта:
$$D=(2a+4)^2-4(a^2-3)=16a+28=4(4a+7)$$
Условие существования корней:
$$D\geq0\Rightarrow a\geq-\frac{7}{4}$$

Случай 1: $a=-\frac{7}{4}$

• Один корень: $x=\frac{1}{4}$
• Второе решение: $x=\frac{7}{4}$
• Всего два решения

Случай 2: $a=-\frac{3}{2}$ и $a=\frac{1}{2}$

• Один корень совпадает с $x=-a$
• Второй корень дает дополнительное решение
• Всего два решения

Случай 3: $a>\frac{3}{4}$

• Уравнение $x=-a$ не имеет решений
• Квадратное уравнение дает два решения
• Всего два решения

Итоговые условия:
Уравнение имеет ровно два решения при:
$$a\in\{-\frac{7}{4},-\frac{3}{2},\frac{1}{2}\}\cup\left(\frac{3}{4},+\infty\right)$$

Ответ: $a\in\{-\frac{7}{4},-\frac{3}{2},\frac{1}{2}\}\cup\left(\frac{3}{4},+\infty\right)$