19. Задача с параметром: #195749

Преобразование уравнения:
$$|x^2-a^2|=|x+a|\sqrt{3x+1}$$
Разложим левую часть:
$$|x+a|\cdot|x-a|=|x+a|\sqrt{3x+1}$$

Разделение на случаи:
Уравнение равносильно совокупности:
$$|x+a|\left(|x-a|-\sqrt{3x+1}\right)=0$$

Первое решение:
$$x=-a$$
Условие существования:
$$3x+1\geq0\Rightarrow x\geq-\frac{1}{3}$$
Поэтому:
$$-a\geq-\frac{1}{3}\Rightarrow a\leq\frac{1}{3}$$

Второе уравнение:
$$|x-a|=\sqrt{3x+1}$$
Возведем в квадрат:
$$(x-a)^2=3x+1$$
Упрощаем:
$$x^2-(2a+3)x+a^2-1=0$$

Анализ дискриминанта:
$$D=(2a+3)^2-4(a^2-1)=12a+13$$
Условие существования корней:
$$D\geq0\Rightarrow a\geq-\frac{13}{12}$$

Случай 1: $a=-\frac{13}{12}$

• Один корень: $x=\frac{5}{12}$
• Второе решение: $x=\frac{13}{12}$
• Всего два решения

Случай 2: $a=-1$ и $a=\frac{1}{4}$

• Один корень совпадает с $x=-a$
• Второй корень дает дополнительное решение
• Всего два решения

Случай 3: $a>\frac{1}{3}$

• Уравнение $x=-a$ не имеет решений
• Квадратное уравнение дает два решения
• Всего два решения

Итоговые условия:
Уравнение имеет ровно два решения при
$$a\in\{-\frac{13}{12},-1,\frac{1}{4}\}\cup\left(\frac{1}{3},+\infty\right)$$

Ответ:

$$a\in\{-\frac{13}{12},-1,\frac{1}{4}\}\cup\left(\frac{1}{3},+\infty\right)$$