19. Задача с параметром: #195751

Замена переменной:
Положим $t = x^2 \geq 0$. Уравнение принимает вид:
$$t^2\sin\alpha + 2t\cos\alpha + \sin\alpha = 0$$

Случай 1: $\sin\alpha = 0$
Уравнение становится линейным:
$$2t\cos\alpha = 0$$
Имеет только решение $t=0$, что дает один корень $x=0$ (не удовлетворяет условию).

Случай 2: $\sin\alpha \neq 0$
Разделим уравнение на $\sin\alpha$:
$$t^2 + 2t\operatorname{ctg}\alpha + 1 = 0$$

Условия для одного положительного корня:

• Дискриминант должен быть нулевым:
  $$D = 4\operatorname{ctg}^2\alpha — 4 = 0 \Rightarrow \operatorname{ctg}\alpha = \pm1$$
• Вершина параболы должна быть положительной:
  $$-\operatorname{ctg}\alpha > 0 \Rightarrow \operatorname{ctg}\alpha < 0$$
• Следовательно: $\operatorname{ctg}\alpha = -1$

Решение тригонометрического уравнения:
$$\operatorname{ctg}\alpha = -1 \Rightarrow \alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Проверка:
При $\alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi k$:

• Уравнение имеет двойной корень $t=1$ (положительный)
• Соответствует двум различным корням $x=\pm1$

Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$