19. Задача с параметром: #195753

Анализ числителя:
$$9x^2-a^2=0 \Rightarrow x=\pm\frac{a}{3}$$

• При $a\neq0$ числитель имеет два различных корня
• При $a=0$ числитель имеет один корень $x=0$ (кратности 2)

Анализ знаменателя:
$$x^2+8x+16-a^2=0 \Rightarrow (x+4)^2=a^2 \Rightarrow x=-4\pm a$$
Корни знаменателя должны отличаться от корней числителя.

Условия для двух решений:

• $a\neq0$ (чтобы было два корня в числителе)
• Корни числителя не должны совпадать с корнями знаменателя:
  $$\pm\frac{a}{3}\neq-4\pm a$$

Решение неравенств:

• $\frac{a}{3}\neq-4+a \Rightarrow a\neq6$
• $-\frac{a}{3}\neq-4+a \Rightarrow a\neq3$
• $\frac{a}{3}\neq-4-a \Rightarrow a\neq-3$
• $-\frac{a}{3}\neq-4-a \Rightarrow a\neq-6$

Итоговые ограничения:
Уравнение имеет ровно два различных решения при всех $a\in\mathbb{R}$, кроме:
$$a\in{-6,-3,0,3,6}$$

Ответ: $(-\infty;-6) \cup (-6; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; 6) \cup (6; +\infty)$