19. Задача с параметром: #195756

Разложение числителя и знаменателя:
$$\frac{(3x-a)(3x+a)}{3x-(9+2a)}=0$$

Условия существования решений:

• Числитель равен нулю: $x=\frac{a}{3}$ или $x=-\frac{a}{3}$
• Знаменатель не равен нулю: $x\neq\frac{9+2a}{3}$

Основные требования:

• Два различных корня числителя: $\frac{a}{3}\neq-\frac{a}{3}$ ⇒ $a\neq0$
• Ни один корень не должен совпадать с запрещенным значением:
  • $\frac{a}{3}\neq\frac{9+2a}{3}$ ⇒ $a\neq-9$
  • $-\frac{a}{3}\neq\frac{9+2a}{3}$ ⇒ $a\neq-3$

Особые случаи:

• При $a=0$: только один корень $x=0$ (не удовлетворяет)
• При $a=-9$: корни $x=-3$ и $x=3$, но $x=-3$ исключается
• При $a=-3$: корни $x=-1$ и $x=1$, но $x=1$ исключается

Итоговый ответ:
Уравнение имеет ровно два различных решения для всех $a\in\mathbb{R}$, кроме:
$$a\in{-9,-3,0}$$

Ответ: $a\in(-\infty,-9)\cup(-9,-3)\cup(-3,0)\cup(0,+\infty)$