15. Электродинамика: все задания

Формула увеличения линзы:
$$ \Gamma = \frac{h’}{h} = \frac{f}{d- f} $$ где $h$ — высота предмета, $h’$ — высота изображения, $f$ — фокусное расстояние, $d$ — расстояние от предмета до линзы.

При приближении предмета к фокусу $(d \rightarrow f)$ знаменатель $( d- f ) $ уменьшается, следовательно, увеличение $\Gamma$ возрастает. Поэтому размер изображения $h’$ увеличивается.

Оптическая сила определяется формулой:
$$ D = \frac{1}{f} $$ где $f$ — фокусное расстояние, которое является постоянной характеристикой линзы и не зависит от положения предмета. Следовательно, оптическая сила не изменяется.

Используем формулу тонкой линзы:
$$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $$ где $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения, $F$ — фокусное расстояние линзы.

По условию предмет удаляют от линзы ($d$ увеличивается), а $F$ остается постоянным. Из формулы следует, что при увеличении $d$ величина $\frac{1}{d}$ уменьшается, поэтому $\frac{1}{f}$ увеличивается, а значит, $f$ уменьшается.

Оптическая сила определяется как:
$$ D = \frac{1}{F} $$ где $F$ — фокусное расстояние, которое является постоянной характеристикой линзы. Поскольку $F$ не изменяется, то и $D$ не изменяется.

Энергия конденсатора определяется формулой:
$$ W = \frac{q^2}{2C}, $$ где $ q $ — максимальный заряд, $ C $ — емкость конденсатора.
Таким образом, верна формула $ \dfrac{q^2}{2C}. $

В колебательном контуре энергия периодически переходит из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки. Максимальная энергия магнитного поля катушки равна максимальной энергии электрического поля конденсатора:
$$ \frac{LI^2}{2} = \frac{q^2}{2C}, $$ где $ I $ — максимальная сила тока, $ L $ — индуктивность катушки.
Отсюда выражаем силу тока:
$$ I = \frac{q}{\sqrt{LC}} $$ Следовательно, верна формула $ \dfrac{q^2}{2C} .$

Сила тока равна производной заряда по времени:
$$ i(t) = \frac{dq(t)}{dt} = \frac{d}{dt}\left(2 \cdot 10^{-4} \cdot \cos(5000t)\right) $$ Вычисляем производную:
$$ i(t) = -2 \cdot 10^{-4} \cdot 5000 \cdot \sin(5000t) = -1 \cdot \sin(5000t) $$ Используя тригонометрическое тождество $ -\sin(x) = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) ,$ получаем:
$$ i(t) = 1 \cdot \cos\left(5000t + \frac{\pi}{2}\right) $$ Таким образом, верна формула $ 1 \cdot \cos\left(5000t + \dfrac{\pi}{2}\right) .$

Сила тока равна производной заряда по времени:
$$ i(t) = \frac{dq(t)}{dt} = \frac{d}{dt}\left(2 \cdot 10^{-4} \cdot \cos(5000t)\right) $$ Вычисляем производную:
$$ i(t) = -2 \cdot 10^{-4} \cdot 5000 \cdot \sin(5000t) = -1 \cdot \sin(5000t) $$ Используя тригонометрическое тождество $ -\sin(x) = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) ,$ получаем:
$$ i(t) = 1 \cdot \cos\left(5000t + \frac{\pi}{2}\right) $$ Энергия магнитного поля определяется выражением:
$$ W_L(t) = \frac{Li^2(t)}{2} $$ Подставляем найденное выражение для силы тока:
$$ W_L(t) = \frac{4 \cdot 10^{-3} \cdot \left(-1 \cdot \sin(5000t)\right)^2}{2} $$ $$= 2 \cdot 10^{-3} \cdot \sin^2(5000t) $$
Следовательно, верна формула $ 2 \cdot 10^{-3} \cdot \sin^2(5000t). $

Напряжение на конденсаторе связано с зарядом формулой:
$$ u(t) = \frac{q(t)}{C} $$ Подставляем заданную зависимость заряда:
$$ u(t) = \frac{4 \cdot 10^{-4} \cdot \sin(2000t)}{50 \cdot 10^{-6}} = 8 \sin(2000t) $$ Таким образом, верна формула $ 8 \sin(2000t) .$

Энергия электрического поля конденсатора определяется выражением:
$$ W_C(t) = \frac{q^2(t)}{2C} $$ Подставляем зависимость заряда:
$$ W_C(t) = \frac{\left(4 \cdot 10^{-4} \cdot \sin(2000t)\right)^2}{2 \cdot 50 \cdot 10^{-6}}$$ $$ = \frac{16 \cdot 10^{-8} \sin^2(2000t)}{100 \cdot 10^{-6}} = 1,6 \cdot 10^{-3} \sin^2(2000t) $$ Следовательно, верна формула $ 1,6 \cdot 10^{-3} \cdot \sin^2(2000t). $

Из условия задачи следует, что колебания заряда описываются синусоидальной функцией:
$$ q(t) = q_{\text{max}} \sin(\omega t) $$ где:
$ q_{\text{max}} = 4 \cdot 10^{-8} \ Кл$ — максимальный заряд,
$ \omega = 2.5 \cdot 10^6 \ рад/с$ — циклическая частота.

Таким образом, зависимость заряда от времени имеет вид:
$$ q(t) = 4 \cdot 10^{-8} \sin(2.5 \cdot 10^6 t) $$Следовательно, верна формула $ 4 \cdot 10^{-8} \sin(2.5 \cdot 10^6 t) .$

Из условия задачи следует, что колебания заряда описываются синусоидальной функцией:
$$ q(t) = q_{\text{max}} \sin(\omega t) $$ где:
$ q_{\text{max}} = 4 \cdot 10^{-8} \ Кл$ — максимальный заряд,
$ \omega = 2.5 \cdot 10^6 \ рад/с$ — циклическая частота.

Таким образом, зависимость заряда от времени имеет вид:
$$ q(t) = 4 \cdot 10^{-8} \sin(2.5 \cdot 10^6 t) $$
Энергия электрического поля конденсатора определяется выражением:
$$ W_c(t) = \frac{q^2(t)}{2C}, $$ где $ C = 4 \cdot 10^{-8} \ Ф$ — емкость конденсатора.

Подставляем выражение для заряда:
$$ W_c(t) = \frac{\left(4 \cdot 10^{-8} \sin(2.5 \cdot 10^6 t)\right)^2}{2 \cdot 4 \cdot 10^{-8}}$$ $$ = \frac{16 \cdot 10^{-16} \sin^2(2.5 \cdot 10^6 t)}{8 \cdot 10^{-8}} = 2 \cdot 10^{-6} \sin^2(2.5 \cdot 10^6 t) $$ Таким образом, верна формула $ 2 \cdot 10^{-6} \sin^2(2.5 \cdot 10^6 t) .$

При переходе света из воздуха в воду:
Скорость света уменьшается: $v = \frac{c}{n},$ где $n = 1.33$ — показатель преломления воды.
Частота света $\nu$ остается постоянной.
Длина волны изменяется по формуле: $$\lambda = \frac{v}{\nu} = \frac{c}{n\nu} = \frac{\lambda_0}{n}$$Таким образом, длина волны в воде уменьшается.

При переходе света из воздуха в воду:
Скорость света уменьшается: $v = \frac{c}{n},$ где $n = 1.33$ — показатель преломления воды.
Частота света $\nu$ остается постоянной.
Длина волны изменяется по формуле: $$\lambda = \frac{v}{\nu} = \frac{c}{n\nu} = \frac{\lambda_0}{n}$$Таким образом, длина волны в воде уменьшается.

Условие дифракционного максимума:
$$d\sin\varphi = k\lambda$$ Для первого максимума $( k=1 )$:
$$\sin\varphi = \frac{\lambda}{d}$$
Поскольку длина волны $\lambda$ уменьшается, то $\sin\varphi$ также уменьшается, а значит и сам угол $\varphi$ уменьшается.

Период колебаний в контуре определяется формулой Томсона:
$$T = 2\pi\sqrt{LC}$$ где:
$L$ — индуктивность катушки,
$C$ — емкость конденсатора.

При увеличении индуктивности $L$ период колебаний $T$ увеличивается.

Период колебаний в контуре определяется формулой Томсона:
$$T = 2\pi\sqrt{LC}$$ где:
$L$ — индуктивность катушки,
$C$ — емкость конденсатора.

При увеличении индуктивности $L$ период колебаний $T$ увеличивается.

Длина волны излучения связана с периодом колебаний соотношением:
$$\lambda = cT$$ где $c$ — скорость света.

Поскольку период колебаний увеличивается, длина волны излучения также увеличивается.

Частота световой волны определяется источником излучения и не зависит от среды распространения.
$$ \nu = \text{const} $$ При удалении воды частота не изменится.

Условие дифракционного максимума:
$$ d\sin\varphi = k\lambda $$ где:
$d$ — период решетки,
$\varphi$ — угол дифракции,
$\lambda$ — длина волны в среде.

При переходе из воды $(n=1.33 )$ в воздух $( n=1 )$:
Длина волны увеличивается: $\lambda_{\text{возд}} = n\lambda_{\text{вод}}$
Из формулы дифракции: $\sin\varphi = \frac{\lambda}{d}$ увеличивается
Следовательно, угол $\varphi$ увеличивается.

Согласно закону Ома для участка цепи:
$$ R = \frac{U}{I} $$ Таким образом, данная формула вычисляет сопротивление резистора.

По закону Джоуля-Ленца мощность, выделяемая на резисторе, может быть выражена как:
$$ P = \frac{U^2}{R} $$ Следовательно, эта формула определяет мощность тока, выделяющуюся на резисторе.