13. Неравенства и системы неравенств: квадратные неравенства

Найдём нули множителей:

$x+8=0$
$x=-8$

$x-3=0$
$x=3$

Отметим точки $-8$ и $3$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки не включаются.

Произведение двух множителей отрицательно между корнями:

$-8<x<3$

Такому ответу соответствует вариант $1$.

Разложим выражение на множители:

$10x-x^2=x(10-x)$

Получаем неравенство:

$x(10-x)\le0$

Нули множителей:

$x=0$
$x=10$

Произведение неположительно вне промежутка между корнями, сами точки входят, так как знак $\le$.

Значит, решение:

$(-\infty;0]\cup[10;+\infty)$

Такому ответу соответствует вариант $2$.

Найдём нули множителей:

$x+5=0$
$x=-5$

$x-2=0$
$x=2$

Отметим точки $-5$ и $2$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки не включаются.

Произведение двух множителей отрицательно между корнями:

$-5<x<2$

Такому ответу соответствует вариант $4$.

Решим неравенство:

$49x^2\ge36$

$x^2\ge\frac{36}{49}$

$x^2\ge\left(\frac{6}{7}\right)^2$

Значит:

$x\le-\frac{6}{7}$ или $x\ge\frac{6}{7}$

Решение:

$(-\infty;-\frac{6}{7}]\cup[\frac{6}{7};+\infty)$

Такому ответу соответствует вариант $4$.

Разложим выражение на множители:

$8x-x^2=x(8-x)$

Получаем неравенство:

$x(8-x)\ge0$

Нули множителей:

$x=0$
$x=8$

Произведение неотрицательно между корнями, сами точки входят, так как знак $\ge$.

Значит, решение:

$[0;8]$

Такому ответу соответствует вариант $2$.

На рисунке отмечены точки $-7$ и $7$, они не входят в решение, так как точки пустые.

Штриховка идёт влево от $-7$ и вправо от $7$, значит решение:

$(-\infty;-7)\cup(7;+\infty)$

Такое решение имеет неравенство:

$x^2-49>0$

Такому ответу соответствует вариант $1$.

Найдём нули множителей:

$x+1=0$
$x=-1$

$x-9=0$
$x=9$

Отметим точки $-1$ и $9$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки не включаются.

Произведение двух множителей положительно вне промежутка между корнями:

$x<-1$ или $x>9$

Решение:

$(-\infty;-1)\cup(9;+\infty)$

Такому ответу соответствует вариант $2$.

Разложим выражение на множители:

$7x-x^2=x(7-x)$

Получаем неравенство:

$x(7-x)\ge0$

Нули множителей:

$x=0$
$x=7$

Произведение неотрицательно между корнями, сами точки входят, так как знак $\ge$.

Значит, решение:

$[0;7]$

Такому ответу соответствует вариант $4$.

Решим неравенство:

$25x^2\ge4$
$x^2\ge\frac{4}{25}$
$x^2\ge\left(\frac{2}{5}\right)^2$

Значит:

$x\le-\frac{2}{5}$ или $x\ge\frac{2}{5}$

Так как $\frac{2}{5}=0{,}4$, получаем:

$(-\infty;-0{,}4]\cup[0{,}4;+\infty)$

Такому ответу соответствует вариант $2$.

Найдём нули множителей:

$x+1=0$
$x=-1$

$x-7=0$
$x=7$

Произведение двух множителей неотрицательно вне промежутка между корнями, сами точки входят, так как знак $\ge$.

Значит, решение:

$(-\infty;-1]\cup[7;+\infty)$

Такому ответу соответствует вариант $1$.

Разложим выражение на множители:

$3x-x^2=x(3-x)$

Получаем неравенство:

$x(3-x)>0$

Нули множителей:

$x=0$
$x=3$

Произведение положительно между корнями, сами точки не входят, так как знак строгий $>$.

Значит, решение:

$(0;3)$

Такому ответу соответствует вариант $4$.

На рисунке отмечены точки $-6$ и $6$, они не входят в решение, так как точки пустые.

Штриховка идёт между числами $-6$ и $6$, значит решение:

$(-6;6)$

Такое решение имеет неравенство:

$x^2-36<0$

Такому ответу соответствует вариант $3$.