Построение треугольника по трем элементам

Мы уже умеем проводить прямую, откладывать на ней отрезки и строить углы заданной величины. Но можно ли так же просто построить любой треугольник, который мы видим перед собой? Оказывается, для этого недостаточно просто начертить три стороны или три угла — нужно знать, какие именно элементы заданы и как они между собой связаны.

На этом уроке рассмотрим, какие три элемента позволяют однозначно задать треугольник и как на практике выполнить построение с помощью циркуля и линейки.

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Три элемента — звучит достаточно, чтобы построить треугольник. Но это не всегда так. Например, если задать три угла, то построить треугольник определенного размера уже не получится — можно вычертить сколько угодно треугольников, и все они будут копиями друг друга, но одни крупнее, а другие мельче.

Такие треугольники называются подобными, и с ними вы познакомитесь немного позже.

А вот если известны длины двух сторон и величина угла между ними, ситуация меняется. Этих данных хватает, чтобы построить единственный треугольник. Почему? Это объясняет первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теперь рассмотрим, как выполнить построение треугольника с такими данными на практике.

Задача на построение

Дано: отрезки $DE$, $EF$ и угол $E$ между ними.

Построить: $\triangle DEF$.

Построение

Скрыть

1. С помощью линейки построим прямую $a$ и отметим на ней точку $E$.
2. Замеряем длину отрезка $DE$ циркулем и откладываем его на прямой $a$, ставя иглу циркуля в точку $E$. Делаем засечку на прямой и получаем точку $D$.
3. При помощи циркуля строим угол, равный данному в точке $E$ и проводим вверх луч под нужным углом.
4. Замеряем циркулем отрезок $EF$ и отмечаем на этом луче точку $F$.
5. Соединяем точки $D$ и $F$.

$\triangle DEF$ построен.

{"questions":[{"content":"Даны отрезки $AB = 6$ $см$, $AC = 4$ $см$ и $\\angle A = 60^\\circ$. Можно ли по этим данным построить треугольник?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/afrika-egipet.svg","width":"299"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Нет, этих данных недостаточно.","Да, и получится единственный треугольник.","Да, и таких треугольников может быть несколько.","Нет, угол не должен находиться между сторонами."],"answer":[1]}},"hints":["Угол расположен между двумя известными сторонами.","Это как раз тот случай, когда работает первый признак равенства треугольников."]}]}

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам

Вы уже, наверное, обратили внимание, что построение треугольника связано с признаками их равенства. Теперь обратимся ко второму признаку равенства треугольников.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Значит, если нам заданы длина стороны и величины двух углов, прилежащих к ней, то возможно построить треугольник, который также будет единственным в своем роде. Рассмотрим, как выполняется такое построение шаг за шагом.

Задача на построение

Дано: сторона $MN$, $\angle M$ и $\angle N$.

Построить: $\triangle MNK$.

Построение

Скрыть

1. С помощью линейки строим прямую $a$ и отмечаем на ней точку $M$.
2. Откладываем на прямой отрезок $MN$ заданной длины, при помощи циркуля и получаем точку $N$.
3. При помощи циркуля, в точке $M$ строим угол, равный $\angle M$ и проводим вверх луч под нужным углом.
4. В точке $N$, также при помощи циркуля, строим угол, равный $\angle N$, внутрь треугольника и продлеваем луч до точки пересечения с предыдущим лучом — она и будет являться точкой $K$ — третьей вершиной треугольника.

$\triangle MNK$ построен.

{"questions":[{"content":"Можно ли построить треугольник, если заданы сторона и два угла?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/istorik-istoriya-chitaet-knigu-kniga-lupa-01.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Да, в любом случае.","Можно, но только если углы прилежат к заданной стороне.","Можно, если углы не равны между собой.","Можно, но только если углы не прилежат к заданной стороне."],"answer":[1]}},"hints":["Если углы не прилежат к заданной стороне, построение выполнить нельзя.","Данное построение возможно выполнить, если углы находятся по краям этой стороны."]}]}

Построение треугольника по трем сторонам

Если вы внимательно следите за темой, то, скорее всего, уже понимаете, какой признак равенства здесь «включается». Конечно же, третий — тот, который работает, когда известны все три стороны.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Это значит, что по трем сторонам можно построить однозначно один треугольник. Главное, чтобы стороны удовлетворяли неравенству треугольника: сумма двух любых сторон должна быть больше третьей. Иначе треугольник не получится.

Приведем пошаговое построение.

Задача на построение

Дано: отрезки $AB$, $AC$ и $BC$.

Построить: $\triangle ABC$.

Построение

Скрыть

1. Строим прямую $a$ и отмечаем на ней точку $A$.
2. Замеряем циркулем отрезок $AB$. Ставим иглу циркуля в точку $A$ и делаем засечку на прямой — получаем точку $B$.
3. Замеряем циркулем отрезок $AC$. Ставим иглу в точку $A$ и проводим полудугу вверх.
4. Замеряем циркулем отрезок $BC$. Ставим иглу в точку $B$ и проводим вторую дугу, пересекающую первую.
5. Точка пересечения дуг — это точка $C$. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$.

$\triangle ABC$ построен.

Интерактив

В этом интерактиве вы можете сами построить треугольник, задавая длины его сторон. С помощью ползунков изменяйте величины $AB$, $BC$ и $CA$, а затем нажмите кнопку «Построить треугольник». Если выбранные значения удовлетворяют неравенствам треугольника, фигура появится на экране; если же нет — Вы сразу получите сообщение о невозможности построения.

Это задание помогает вам на практике убедиться в важном свойстве: сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей.

{"questions":[{"content":"У Марка три палочки длиной $4$ $см$, $6$ $см$ и $10$ $см$.<br />Он говорит: «Сейчас построю треугольник».<br />Что можно ответить Марку?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/05/obrazavr_stroitelny-material-dlya-mebeli.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Молодец, треугольник точно получится.","Получится, если взять циркуль.","Не получится, одна палочка слишком длинная.","Все получится, если сколотить палочки молотком."],"answer":[2]}},"hints":["Подумайте, можно ли соединить три палочки так, чтобы получилась замкнутая фигура.","Вспомните о неравенстве треугольника."]}]}

Построение треугольника по двум сторонам и углу, лежащему против большей из них

В предыдущих главах мы убедились, что треугольник можно построить, если заданы три элемента, удовлетворяющие определенным условиям, и разобрали три случая, напрямую связанных с известными вам признаками равенства треугольников.

Но существует и другой, менее распространенный в учебной литературе и это - четвертый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол, лежащий против большей из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, лежащему против большей из них, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Логически размышляя, можно сделать вывод, что построение единственного треугольника возможно благодаря и этому признаку.

Рассмотрим данное построение также пошагово.

Задача на построение

Дано: стороны $AB$, $AC$, угол $\angle B$, причем $AC > AB$.

Построить: $\triangle ABC$.

Построение

Скрыть

1. С помощью линейки строим прямую $a$ и отмечаем на ней точку $B$.
2. С помощью циркуля строим угол, равный заданному углу $B$.
3. Замеряем циркулем отрезок $AB$. Ставим иглу циркуля в точку $B$ и откладываем на одной стороне угла дугу длины $AB$, получаем точку $A$.
4. Замеряем циркулем отрезок $AC$. Ставим иглу в точку $A$ и описываем дугу радиусом $AC$ до пересечения с другой стороной угла, получаем точку $C$. Соединяем все точки.

$\triangle ABC$ построен.

Действительно,если изменить условие и сделать $AB > AC$, то треугольник может и не получиться. Попробуйте выстроить такой треугольник самостоятельно.

{"questions":[{"content":"В каком случае по двум сторонам и углу можно построить единственный треугольник?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_istina_kriterii-05.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Всегда, независимо от того, где находится угол.","Только если угол лежит напротив меньшей из заданных сторон.","Только если угол лежит напротив большей из заданных сторон.","Всегда, если угол прилегает к большей из сторон."],"answer":[2]}},"hints":["Дело не только в самом угле, а в том, напротив какой стороны он расположен.","Если угол лежит напротив большей стороны, треугольник будет однозначным."]}]}

Построение треугольника по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них

Мы уже знаем, что треугольник можно построить по трем сторонам или по сторонам и углам. А можно ли построить треугольник, если заданы две стороны и медиана, проведенная к одной иэ этих сторон?

На первый взгляд кажется, что этого мало. Но, если подумать, эти три элемента тоже могут однозначно определить треугольник.

Задача на построение

Дано: стороны $AB$, $AC$ и медиана $BM$, проведенная к стороне $AC$.

Построить: $\triangle ABC$.

Построение

Скрыть

1. На прямой $a$ строим отрезок $AC$ заданной длины.
2. На отрезке $AC$ строим точку $M$ - середину $AC$.
3. Замеряем циркулем отрезок $AB$ и строим полуокружность с центром в точке $A$ и радиусом $AB$.
4. Замеряем циркулем длину медианы $BM$ и строим полуокружность с центром в точке $M$ и радиусом $BM$ до пересечения с предыдущей полуокружностью - получим точку $B$.
5. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$.

$\triangle ABC$ построен.

{"questions":[{"content":"Что обязательно нужно сделать, прежде чем откладывать медиану при построении треугольника?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_chalk.svg","width":"299"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Построить угол между сторонами.","Найти середину стороны, к которой проведена медиана.","Провести биссектрису.","Построить окружность вокруг стороны."],"answer":[1]}},"hints":["Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.","Без этой точки невозможно точно отложить длину медианы."]}]}

Построение треугольника по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне

Иногда полезно смотреть на треугольник не как на отдельную фигуру, а как на часть чего-то большего, например параллелограмма. В этом построении мы используем тот факт, что медиана треугольника делит противоположную сторону пополам. А середина отрезка может быть точкой пересечения диагоналей параллелограмма.

Задача на построение

Дано: стороны $a$, $b$ и медиана $m_c$, проведенная к стороне $c$.

Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

Построение

Скрыть

1. Строим произвольную прямую и откладываем на ней два отрезка, равных медиане $m_c$. Пусть точка между медианами - $M$, начало первой медианы - точка $A$, конец второй медианы - точка $B$.
2. Замеряем циркулем отрезок $a$ и строим полуокружность с центром в точке $A$ и радиусом $a$.
   Замеряем циркулем отрезок $b$ и строим полуокружность с центром в точке $B$ и радиусом $b$ до пересечения с предыдущей полуокружностью в точке $C$.
   Чтобы получить точку $D$ нужно из точки $A$ провести радиус равный $b$, а из точки $B$ - радиус равный $a$.
3. Соединим полученные точки и получим параллелограмм$ACBD$ ( у него противоположные стороны равны по построению), следовательно точка $M$ будет являться серединой диагонали $CD$ $\Rightarrow$ $AM$ - медиана в $\triangle ACD$, в котором $AC = a$, $AD = b$, а $CD = c$.

Искомый треугольник построен.

{"questions":[{"content":"Почему при построении треугольника по двум сторонам и медиане удобно использовать параллелограмм?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/uchenyi-obrazavr66-01.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Потому что параллелограмм всегда можно превратить в треугольник.","Потому что в параллелограмме диагонали пересекаются в своих серединах.","Потому что углы параллелограмма равны углам треугольника.","Потому что медиана равна стороне параллелограмма."],"answer":[1]}},"hints":["Медиана треугольника проходит через середину его стороны.","В параллелограмме диагонали пересекаются в точке, которая необходима для построения."]}]}

Как треугольники "строят" мир

Еще в древности люди понимали, что треугольник - не просто фигура, а удобный инструмент для измерений. Египтяне использовали треугольники, чтобы восстанавливать размеры участков земли после разлива Нила.

Они измеряли расстояния от точки наблюдения до двух ориентиров и угол между этими направлениями. Достаточно было знать длину двух сторон и угол между ними, и можно было вычислить, где проходит граница поля.

Позже те же приемы применяли моряки. Чтобы определить расстояние до берега или до другого корабля, достаточно было измерить угол между направлениями и знать одно расстояние - все остальное достраивалось с помощью построения треугольника.

В наши дни методы не изменились, просто вычисления теперь производят с помощью компьютерных технологий. В GPS-навигации используется так называемая триангуляция: зная расстояния до нескольких спутников и углы между ними, можно определить точное местоположение объекта. То же самое делают геодезисты при строительстве дорог, мостов и зданий.

А в 3D-моделировании почти все построено на треугольниках: любая сложная форма на экране состоит из маленьких плоских треугольников, и каждый из них задается через длины сторон и углы.

Как видите, умение строить треугольник по трем элементам может пригодиться в самых разных задачах - от навигации до цифровых технологий.

Часто задаваемые вопросы