Вертикальные углы

Построим на плоскости углы, смежные друг с другом, однако с небольшим «сюжетным твистом»: продолжим луч общей стороны в противоположную сторону. В итоге? Мы получили две пары смежных углов так, что располагаются эти пары на одной прямой. Знакомьтесь, перед вами — вертикальные углы, еще один важный вид составных углов в геометрии.

Сегодня мы изучим, какие углы называются вертикальными, докажем теорему о вертикальных углах и познакомимся с биссектрисами вертикальных углов.

Определение вертикальных углов

На прошлом уроке мы в шутку изобразили смежные углы соседями через стенку. Вертикальные углы же олицетворяют ситуацию, будто к смежным углам на этаж ниже заехали еще соседи.

Рассмотрим их немного с другого приложения: как пару углов $\angle{\alpha}$ и $\angle{\beta}$.

Стороны одного угла являются дополнительными лучами к сторонам другого угла.

Вертикальные углы — углы с общей вершиной, расположенные на плоскости так, что продолжения сторон одного угла являются сторонами другого.

{"questions":[{"content":"[[image-1]][[speech-6]]<br><br><b><i>Первая пара:</></b> $\\angle{BOC}$ и $\\angle$  [[input-26]]<br><i><b>Вторая пара:</b></i></></b> $\\angle{AOB}$ и $\\angle$  [[input-75]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/vertical-test-1.svg","width":"500"},"speech-6":{"type":"speech","text":"Запишите буквенные обозначения углов парами так, чтобы данные пары углов являлись <b><i>вертикальными</i></b>."},"input-26":{"type":"input","inline":1,"answer":["FOA","AOF"]},"input-75":{"type":"input","inline":1,"answer":["FOC","COF"]}}}]}

Вертикальные углы равны?

Рассмотрим пары вертикальных углов:

$\angle{\textcolor{coral}{1}}$ — $\angle{\textcolor{coral}{3}}$ и $\angle{\textcolor{purple}{2}}$ — $\angle{\textcolor{purple}{4}}$.

Создается впечатление, что так парами они и будут равны. Однако определение вертикальных углов подобного свойства не подразумевает, поэтому сформулируем на основе нашего «впечатления» теорему и попробуем ее доказать.

{"questions":[{"content":"Перед доказательством проверим, помните ли вы свойство смежных углов. Допишите в формулировку свойства недостающее слово. <br /><br />«<i>Если два угла равны, то смежные с ними углы также</i> ($\\textcolor{coral}{?}$)». [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"равны"}}}]}

Теорема о вертикальных углах

Вертикальные углы равны.

Доказательство

Рассмотрим произвольные вертикальные углы $\angle{\textcolor{coral}{1}}$ и $\angle{\textcolor{coral}{3}}$. Угол $\angle{\textcolor{purple}{4}}$ является смежным и с $\angle{\textcolor{coral}{1}}$, и $\angle{\textcolor{coral}{3}}$.

Воспользуемся следствием из теоремы о сумме смежных углов, гласящим, что у равных углов равны смежные с ними углы. Заключаем, что $\angle{\textcolor{coral}{1}}=\angle{\textcolor{coral}{3}}$ на основе общего смежного с ними угла $\angle{\textcolor{purple}{4}}$.

То же самое можно заключить про пару углов $\angle{\textcolor{purple}{2}}$ и $\angle{\textcolor{purple}{4}}$. Для данной пары общим смежным углом является $\angle{\textcolor{coral}{1}}$. Имеем попарное равенство:

$$\angle{\textcolor{coral}{1}}=\angle{\textcolor{coral}{3}}\\\angle{\textcolor{purple}{2}}=\angle{\textcolor{purple}{4}}$$

Вертикальные углы равны. Что и требовалось доказать.

Смежные и вертикальные углы

Несмотря на общую точку старта, геометрически смежные и вертикальные углы отличаются друг от друга. Для того, чтобы почувствовать линию, их разделяющую, предлагаем ознакомиться с решением следующей задачи. 

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Может ли сумма вертикальных углов, как и смежных, быть равной $180^\\circ?$  [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да, естественно.","Конечно, нет."],"explanations":["Да и еще раз да. Но только в одном случае: прямые при пересечении образуют четыре прямых угла. Смежные и вертикальные углы все являются парами прямых углов.",""],"answer":[0]}}}]}

Сумма вертикальных углов

Сумма вертикальных углов равна $360^\circ$.

Сумма смежных углов — $180^\circ$. Вертикальные углы — пара смежных «на соседних этажах», и сумма вертикальных углов складывается из двух сумм смежных углов — $360^\circ$.

Внимание на чертеж выше: складывая углы, образующиеся в результате пересечения двух прямых, по порядку, мы действительно получаем полный угол.

С точки зрения математики это тоже работает:

$$x+y=180^\circ\\\textcolor{purple}{2}x+\textcolor{purple}{2}y=360^\circ$$

Где может пригодиться свойство вертикальных углов?

Сумма вертикальных углов отлично выручает в разных типах задач.

Для решения можно составить систему уравнений:

$$\begin{cases}2x+y=270^\circ\\x+y=180^\circ\end{cases}$$

Однако можно воспользоваться свойством вертикальных углов. Нам известна сумма трех углов: найдем разность $360^\circ-270^\circ$ и получим значение четвертого угла.  

$$360^\circ-270^\circ=90^\circ$$

Если один из вертикальных углов прямой, то все остальные углы тоже прямые. Поэтому, работая с пересекающимися прямыми, вспоминайте, что вертикальные углы равны в сумме полному углу.

{"questions":[{"content":"Распределите <b><i>суммы</i></b> градусных мер согласно предложенным углам. [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Смежные углы","Вертикальные углы"],"items":["$180^\\circ$","$360^\\circ$"]}}}]}

Биссектрисы вертикальных углов

Биссектриса — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам.

$AD$ является биссектрисой $\angle{A}.$

Биссектрисы еще не раз будут встречаться нам в курсе геометрии, — более тесное знакомство с ними начинается при изучении треугольников.

Как запомнить что такое биссектриса:

Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.

Биссектрисы вертикальных углов имеют особенность — они всегда располагаются на одной прямой. Попробуем доказать эту теорему.

Теорема о биссектрисе вертикального угла

Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Доказательство

Рассмотрим произвольные вертикальные углы $\angle{AOC}$ и $\angle{BOD}$. Пусть $OL$ и $OM$ — биссектрисы данных вертикальных углов соответственно.

Углы $\angle{AOC}$ и $\angle{BOD}$ равны как вертикальные, следовательно:

$$\angle{BOM}=\angle{MOD}=\angle{AOL}=\angle{LOC}$$

Поскольку градусные меры всех указанных выше углов равны, обозначим их на чертеже как $\alpha$.

Рассмотрим углы $\angle{COB}$ и $\angle{BOD}$. Так как они являются смежными, а $\angle{BOD}=2\alpha$, про угол $\angle{COB}$ можно заключить следующее:

$$\angle{COB}=180^\circ-2\alpha$$

Заметим, что сумма $\angle{LOC}$, $\angle{COB}$ и $\angle{BOM}$ равна:

$$\angle{LOC}+\angle{COB}+\angle{BOM}=\alpha+180-2\alpha+\alpha\\\angle{LOC}+\angle{COB}+\angle{BOM}=180^\circ$$

Если сумма $\angle{LOC}$, $\angle{COB}$ и $\angle{BOM}$ составляет $180^\circ$, угол $\angle{LOM}$ является развернутым. Тогда точки $L$, $O$ и $M$ располагаются на одной прямой.

Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Чему равна градусная мера $\\angle{C_{1}OB}$, если $\\alpha=32^\\circ$, а $OB_{1}$ является биссектрисой угла $\\angle{BOD}$? <br /><br /><i>Точки $C_{1}$ и $B_1$ лежат на одной прямой</i>. [[input-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/bisect-test.svg"},"input-5":{"type":"input","unit":"$^\\circ$","answer":"148"}},"step":1,"calc":1,"hints":["Если точки $C_{1}$ и $B_1$ лежат на одной прямой, а $OB$ является биссектрисой $\\angle{BOD}$, то $\\angle{C_{1}OB_1}$ — развернутый (<i>все его точки лежат на одной прямой</i>).","Рассмотрим $\\angle{C_{1}OB_1}$. Градусная мера развернутого угла составляет $180^\\circ$.","Искомый угол получается в результате разности:<br /><br />$$\\angle{C_{1}OB}=180^\\circ-\\alpha$$","Значение $\\alpha$ нам задано по условию. Считаем: <br /><br />$$\\angle{C_{1}OB}=180^\\circ-32^\\circ=148^\\circ$$","<i><b>Ответ</b></i>: 148."]}]}

Часто задаваемые вопросы