0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Вертикальные углы

Содержание

    Построим на плоскости углы, смежные друг с другом, однако с небольшим «сюжетным твистом»: продолжим луч общей стороны в противоположную сторону. В итоге? Мы получили две пары смежных углов так, что располагаются эти пары на одной прямой. Знакомьтесь, перед вами — вертикальные углы, еще один важный вид составных углов в геометрии.

    📚 В данном уроке:

    • какие углы называются вертикальными;
    • рассуждаем, как так получается, что вертикальные углы равны;
    • смежные и вертикальные углы — сходства и различия;
    • рассматриваем биссектрисы вертикальных углов.

    Определение вертикальных углов

    На прошлом уроке мы в шутку изобразили смежные углы соседями через стенку. Вертикальные углы же олицетворяют ситуацию, будто к смежным углам на этаж ниже заехали еще соседи, так же живущие через стенку.

    Рассмотрим их немного с другого приложения. Как пару углов $\angle{\alpha}$ и $\angle{\beta}$. Стороны одного угла являются дополнительными лучами к сторонам другого угла. Такое определение им и дадим.

    Определение вертикальных углов:  

    Вертикальные углы — углы с общей вершиной, расположенные на плоскости так, что продолжения сторон одного угла являются сторонами другого.

    Какие углы называются вертикальными: определение через прямые

    Так как мы имеем две пары дополнительных друг к другу лучей, можно, с другой стороны, подметить, что вертикальные углы образуются в результате пересечения двух прямых. Пересечение двух прямых образует четыре угла (смежными парами).

    «Вертикальные углы равны»

    Присмотримся к парам вертикальных углов:

    $\angle{\textcolor{coral}{1}}$ — $\angle{\textcolor{coral}{3}}$ и $\angle{\textcolor{purple}{2}}$ — $\angle{\textcolor{purple}{4}}$.

    Создается сильное впечатление, что так парами они и будут равны. Определение вертикальных углов подобного свойства не подразумевает, поэтому сформулируем на основе нашего «сильного впечатления» теорему. И попробуем ее доказать.

    Теорема о вертикальных углах. Вертикальные углы равны.

    Доказательство

    Рассмотрим произвольные вертикальные углы $\angle{\textcolor{coral}{1}}$ и $\angle{\textcolor{coral}{3}}$. Угол $\angle{\textcolor{purple}{4}}$ является смежным и с $\angle{\textcolor{coral}{1}}$, и $\angle{\textcolor{coral}{3}}$. Воспользуемся следствием из теоремы о сумме смежных углов, гласящим, что у равных углов равны смежные с ними углы. Заключаем, что $\angle{\textcolor{coral}{1}}=\angle{\textcolor{coral}{3}}$ на основе общего смежного с ними угла $\angle{\textcolor{purple}{4}}$.

    То же самое можно заключить про пару углов $\angle{\textcolor{purple}{2}}$ и $\angle{\textcolor{purple}{4}}$. Для данной пары общим смежным углом является $\angle{\textcolor{coral}{1}}$. Имеем попарное равенство:

    $$\angle{\textcolor{coral}{1}}=\angle{\textcolor{coral}{3}}\\\angle{\textcolor{purple}{2}}=\angle{\textcolor{purple}{4}}$$

    Вертикальные углы равны. Что и требовалось доказать.

    Смежные и вертикальные углы

    Несмотря на общую точку старта, геометрически смежные и вертикальные углы отличаются друг от друга. Для того, чтобы почувствовать линию, их разделяющую, предлагаем ознакомиться с решением следующей задачи. 

    Задача. Сумма двух углов, образующихся при пересечении двух прямых, равна $60^\circ$. Чему равняются данные углы?

    Решение. При пересечении двух прямых можно рассмотреть как пару смежных, так и вертикальных углов. Сумма углов, заданных в условии, составляет $60^\circ$. Смежными данные углы быть не могут, поскольку это нарушает условие теоремы о сумме смежных углов.

    Значит, условием нам предложена сумма двух вертикальных углов. Теорема о вертикальных углах говорит, что вертикальные углы равны. Из этого следует, что градусная мера каждого угла составляет по $30^\circ$:

    $$30^\circ+30^\circ=60^\circ$$

    Сумма вертикальных углов

    Свойство вертикальных углов. Сумма вертикальных углов равна $360^\circ$.

    Сумма смежных углов — $180^\circ$. Вертикальные углы — пара смежных «на соседних этажах», и сумма вертикальных углов складывается из двух сумм смежных углов — $360^\circ$.

    Внимание на чертеж выше: складывая углы, образующиеся в результате пересечения двух прямых, по порядку, мы действительно получаем полный угол.

    Да и чисто математически работает:

    $$x+y=180^\circ\\\textcolor{purple}{2}x+\textcolor{purple}{2}y=360^\circ$$

    👀 Где это может оказаться полезным?   

    Сумма вертикальных углов отлично выручает в различном типе задач. Например, условие: «Найдите углы, получающиеся при пересечении двух прямых, если сумма трех из этих углов равна $270^\circ$».

    Можно пойти витиеватым путем. Составить систему уравнений:

    $$\begin{cases}2x+y=270^\circ\\x+y=180^\circ\end{cases}$$

    Принцип Оккама — не множь сущности без необходимого. Здесь обходится и без длинного решения. Нам известна сумма трех углов: найдем разность $360^\circ-270^\circ$ и получим значение четвертого угла.  

    $$360^\circ-270^\circ=90^\circ$$

    Если один из вертикальных углов прямой, то все остальные углы тоже прямые. Вот так, быстро, в мгновение ока вертикальные углы щелкаются как орешки. Поэтому, работая с пересекающимися прямыми, временами вспоминайте, что вертикальные углы равны в сумме полному углу.

    Биссектрисы вертикальных углов


    Биссектриса — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам.

    Так, на чертеже $AD$ является биссектрисой $\angle{A}.$

    Биссектрисы еще не раз будут встречаться нам в курсе геометрии, — более тесное знакомство с ними начинается при изучении треугольников. А чтобы вы к тому времени не забыли, как такой луч называется, есть бородатый мнемонический трюк, который, даем гарантию, знает даже ваша бабушка!

    🐀 Стишок про биссектрису

    Биссектриса — это крыса:
    Она скачет по углам,
    Чтоб делить их пополам.

    Биссектрисы вертикальных углов имеют особенность — они всегда располагаются на одной прямой. Далее мы приведем доказательство данной теоремы.

    Теорема о биссектрисе вертикального угла. Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

    Доказательство

    Рассмотрим произвольные вертикальные углы $\angle{AOC}$ и $\angle{BOD}$. Пусть $OL$ и $OM$ — биссектрисы данных вертикальных углов соответственно. Углы $\angle{AOC}$ и $\angle{BOD}$ равны как вертикальные, следовательно:

    $$\angle{BOM}=\angle{MOD}=\angle{AOL}=\angle{LOC}$$

    Поскольку градусные меры всех указанных выше углов равны, обозначим их на чертеже как $\alpha$.

    Рассмотрим углы $\angle{COB}$ и $\angle{BOD}$. Так как они являются смежными, а $\angle{BOD}=2\alpha$, про угол $\angle{COB}$ можно заключить следующее:

    $$\angle{COB}=180^\circ-2\alpha$$

    Заметим, что сумма $\angle{LOC}$, $\angle{COB}$ и $\angle{BOM}$ равна:

    $$\angle{LOC}+\angle{COB}+\angle{BOM}=\alpha+180-2\alpha+\alpha\\\angle{LOC}+\angle{COB}+\angle{BOM}=180^\circ$$

    Если сумма $\angle{LOC}$, $\angle{COB}$ и $\angle{BOM}$ составляет $180^\circ$, угол $\angle{LOM}$ является развернутым. Тогда точки $L$, $O$ и $M$ располагаются на одной прямой.

    Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.  Что и требовалось доказать.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение