Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
НАЗНАЧИТЬ

Вертикальные углы

Содержание

    Построим на плоскости углы, смежные друг с другом, однако с небольшим «сюжетным твистом»: продолжим луч общей стороны в противоположную сторону. В итоге? Мы получили две пары смежных углов так, что располагаются эти пары на одной прямой. Знакомьтесь, перед вами — вертикальные углы, еще один важный вид составных углов в геометрии.

    📚 В данном уроке:

    • какие углы называются вертикальными;
    • рассуждаем, как так получается, что вертикальные углы равны;
    • смежные и вертикальные углы — сходства и различия;
    • рассматриваем биссектрисы вертикальных углов.

    Определение вертикальных углов

    На прошлом уроке мы в шутку изобразили смежные углы соседями через стенку. Вертикальные углы же олицетворяют ситуацию, будто к смежным углам на этаж ниже заехали еще соседи, так же живущие через стенку.

    Рассмотрим их немного с другого приложения. Как пару углов $\angle{\alpha}$ и $\angle{\beta}$. Стороны одного угла являются дополнительными лучами к сторонам другого угла. Такое определение им и дадим.

    Определение вертикальных углов:  

    Вертикальные углы — углы с общей вершиной, расположенные на плоскости так, что продолжения сторон одного угла являются сторонами другого.

    Какие углы называются вертикальными: определение через прямые

    Так как мы имеем две пары дополнительных друг к другу лучей, можно, с другой стороны, подметить, что вертикальные углы образуются в результате пересечения двух прямых. Пересечение двух прямых образует четыре угла (смежными парами).

    «Вертикальные углы равны»

    Присмотримся к парам вертикальных углов:

    $\angle{\textcolor{coral}{1}}$ — $\angle{\textcolor{coral}{3}}$ и $\angle{\textcolor{purple}{2}}$ — $\angle{\textcolor{purple}{4}}$.

    Создается сильное впечатление, что так парами они и будут равны. Определение вертикальных углов подобного свойства не подразумевает, поэтому сформулируем на основе нашего «сильного впечатления» теорему. И попробуем ее доказать.

    Теорема о вертикальных углах. Вертикальные углы равны.

    Доказательство

    Рассмотрим произвольные вертикальные углы $\angle{\textcolor{coral}{1}}$ и $\angle{\textcolor{coral}{3}}$. Угол $\angle{\textcolor{purple}{4}}$ является смежным и с $\angle{\textcolor{coral}{1}}$, и $\angle{\textcolor{coral}{3}}$. Воспользуемся следствием из теоремы о сумме смежных углов, гласящим, что у равных углов равны смежные с ними углы. Заключаем, что $\angle{\textcolor{coral}{1}}=\angle{\textcolor{coral}{3}}$ на основе общего смежного с ними угла $\angle{\textcolor{purple}{4}}$.

    То же самое можно заключить про пару углов $\angle{\textcolor{purple}{2}}$ и $\angle{\textcolor{purple}{4}}$. Для данной пары общим смежным углом является $\angle{\textcolor{coral}{1}}$. Имеем попарное равенство:

    $$\angle{\textcolor{coral}{1}}=\angle{\textcolor{coral}{3}}\\\angle{\textcolor{purple}{2}}=\angle{\textcolor{purple}{4}}$$

    Вертикальные углы равны. Что и требовалось доказать.

    Смежные и вертикальные углы

    Несмотря на общую точку старта, геометрически смежные и вертикальные углы отличаются друг от друга. Для того, чтобы почувствовать линию, их разделяющую, предлагаем ознакомиться с решением следующей задачи. 

    Задача. Сумма двух углов, образующихся при пересечении двух прямых, равна $60^\circ$. Чему равняются данные углы?

    Решение. При пересечении двух прямых можно рассмотреть как пару смежных, так и вертикальных углов. Сумма углов, заданных в условии, составляет $60^\circ$. Смежными данные углы быть не могут, поскольку это нарушает условие теоремы о сумме смежных углов.

    Значит, условием нам предложена сумма двух вертикальных углов. Теорема о вертикальных углах говорит, что вертикальные углы равны. Из этого следует, что градусная мера каждого угла составляет по $30^\circ$:

    $$30^\circ+30^\circ=60^\circ$$

    Сумма вертикальных углов

    Свойство вертикальных углов. Сумма вертикальных углов равна $360^\circ$.

    Сумма смежных углов — $180^\circ$. Вертикальные углы — пара смежных «на соседних этажах», и сумма вертикальных углов складывается из двух сумм смежных углов — $360^\circ$.

    Внимание на чертеж выше: складывая углы, образующиеся в результате пересечения двух прямых, по порядку, мы действительно получаем полный угол.

    Да и чисто математически работает:

    $$x+y=180^\circ\\\textcolor{purple}{2}x+\textcolor{purple}{2}y=360^\circ$$

    👀 Где это может оказаться полезным?   

    Сумма вертикальных углов отлично выручает в различном типе задач. Например, условие: «Найдите углы, получающиеся при пересечении двух прямых, если сумма трех из этих углов равна $270^\circ$».

    Можно пойти витиеватым путем. Составить систему уравнений:

    $$\begin{cases}2x+y=270^\circ\\x+y=180^\circ\end{cases}$$

    Принцип Оккама — не множь сущности без необходимого. Здесь обходится и без длинного решения. Нам известна сумма трех углов: найдем разность $360^\circ-270^\circ$ и получим значение четвертого угла.  

    $$360^\circ-270^\circ=90^\circ$$

    Если один из вертикальных углов прямой, то все остальные углы тоже прямые. Вот так, быстро, в мгновение ока вертикальные углы щелкаются как орешки. Поэтому, работая с пересекающимися прямыми, временами вспоминайте, что вертикальные углы равны в сумме полному углу.

    Биссектрисы вертикальных углов


    Биссектриса — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам.

    Так, на чертеже $AD$ является биссектрисой $\angle{A}.$

    Биссектрисы еще не раз будут встречаться нам в курсе геометрии, — более тесное знакомство с ними начинается при изучении треугольников. А чтобы вы к тому времени не забыли, как такой луч называется, есть бородатый мнемонический трюк, который, даем гарантию, знает даже ваша бабушка!

    🐀 Стишок про биссектрису

    Биссектриса — это крыса:
    Она скачет по углам,
    Чтоб делить их пополам.

    Биссектрисы вертикальных углов имеют особенность — они всегда располагаются на одной прямой. Далее мы приведем доказательство данной теоремы.

    Теорема о биссектрисе вертикального угла. Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

    Доказательство

    Рассмотрим произвольные вертикальные углы $\angle{AOC}$ и $\angle{BOD}$. Пусть $OL$ и $OM$ — биссектрисы данных вертикальных углов соответственно. Углы $\angle{AOC}$ и $\angle{BOD}$ равны как вертикальные, следовательно:

    $$\angle{BOM}=\angle{MOD}=\angle{AOL}=\angle{LOC}$$

    Поскольку градусные меры всех указанных выше углов равны, обозначим их на чертеже как $\alpha$.

    Рассмотрим углы $\angle{COB}$ и $\angle{BOD}$. Так как они являются смежными, а $\angle{BOD}=2\alpha$, про угол $\angle{COB}$ можно заключить следующее:

    $$\angle{COB}=180^\circ-2\alpha$$

    Заметим, что сумма $\angle{LOC}$, $\angle{COB}$ и $\angle{BOM}$ равна:

    $$\angle{LOC}+\angle{COB}+\angle{BOM}=\alpha+180-2\alpha+\alpha\\\angle{LOC}+\angle{COB}+\angle{BOM}=180^\circ$$

    Если сумма $\angle{LOC}$, $\angle{COB}$ и $\angle{BOM}$ составляет $180^\circ$, угол $\angle{LOM}$ является развернутым. Тогда точки $L$, $O$ и $M$ располагаются на одной прямой.

    Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.  Что и требовалось доказать.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Следующий урок

    Перпендикулярные прямые
    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение

    НАЗНАЧИТЬ