0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Перпендикулярные прямые

Содержание

    Те, кто внимательно работал с предыдущим уроком, могут вспомнить тест-вопрос с подвохом про возможность суммы двух вертикальных углов в $180^\circ$. Вкратце мы объяснили, что, да, ситуация возможна, но только в том случае, когда речь идет про перпендикулярные прямые. Возникает вопрос: если давать строгое определение, какие прямые называются перпендикулярными в геометрии?

    👍 Завершающий урок по углам освещает:

    — перпендикулярными являются прямые… а какие — в подробностях далее;
    — что такое перпендикуляр, проведенный из точки к прямой;
    — связь параллельных и перпендикулярных прямых;
    — он такой один: единственность перпендикуляра.

    Перпендикулярные прямые — частный случай

    Чтобы дать ответ на вопрос о том, какие прямые называются перпендикулярными, для начала начертим две произвольно пересекающиеся прямые $a$ и $b$ под углом $\alpha$. Как мы помним, две прямые при пересечении образуют четыре угла смежными или вертикальными парами. Значит, любой из углов будет образовывать с $\angle{\alpha}$ либо смежный, либо вертикальный угол.

    Из этого делаем вывод, что если при пересечении двух прямых один угол прямой, то остальные углы также являются прямыми. Перед вами — частный случай пересечения прямых, которые в данном контексте будут называться перпендикулярными.

    Определение перпендикулярных прямых

    Мы готовы ответить, какие прямые называются перпендикулярными:

    Перпендикулярными являются прямые, которые пересекаются под углом $90^\circ$.


    Чтобы доказать, что каждый из углов будет прямым, разметим на чертеже оставшиеся углы — углы $\beta$, $\gamma$ и $\delta$. Применим к ним доказанные нами ранее теоремы о вертикальных и смежных углах, при условии, что определение перпендикулярных прямых задает $\angle{\textcolor{purple}{\alpha}}=90^\circ.$

    Доказательство

    Угол $\beta$ — смежный с углом $\alpha$. Известно, что сумма смежных углов равняется $180^{\circ}$. Если угол $\alpha=90^{\circ}$, то получаем, что:

    $$\beta=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$$

    Вертикальные углы равны. Угол $\beta$ вертикален углу $\delta$, следовательно угол $\delta$ так же, как и $\beta$, равняется $90^{\circ}$. Аналогичное применимо и к другой паре вертикальных углов — углам $\alpha$ и $\gamma$.

    Имеем:

    $$\begin{cases}\alpha=90^{\circ}\\\beta=90^{\circ}\\\gamma=90^{\circ}\\\delta=90^{\circ}\end{cases}$$

    Перпендикулярные прямые при пересечении образуют только прямые углы. Что и требовалось доказать.

    Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой

    Произвольные точка и прямая на плоскости

    Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой

    Отрезок $AB$ — перпендикуляр, проведенный из точки $A$ к прямой $a$. Точка пересечения прямой и перпендикулярного к ней отрезка обычно называется основанием перпендикуляра.

    Что это такое? Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, представляет собой отрезок прямой, перпендикулярной к заданной, с концом в точке пересечения.

    Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой: нотация

    🟢 Легко запомнить: значок визуально напоминает мини-версию чертежа перпендикуляра к прямой.  

    Перпендикулярность в геометрической нотации обозначается значком «$\perp$». К примеру, если прямые $a$ и $b$ перпендикулярны, перпендикулярные прямые кратко обозначаются так: $a\perp{b}$. В случае отрезка-перпендикуляра $AB$, что мы разобрали выше, можно было бы записать: $AB\perp{a}$.

    Единственность перпендикуляра

    Важно понимать: одна точка — один перпендикуляр. Вы не можете провести через одну точку прямой более одного перпендикуляра к ней. Данное свойство называется единственность перпендикуляра.

    Теорема о единственности перпендикуляра. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

    Доказательство

    Далее мы воспользуемся крайне сподручным математическим инструментом — доказательством от противного. Подобный вид доказательства заключается в отрицании тезиса доказательства. В математике вам еще не раз придется прибегать к данному способу заключения истинности утверждений.

    Предположим, что теорема ложна и через одну точку прямой проходят сразу два перпендикуляра.

    Рассуждение от противного

    На чертеже: «основной» перпендикуляр отмечен прямой $b$, «альтернативный» — прямой $c$. Угол $(ab)$ по определению прямой. Но по определению прямым является и угол $(ac)$.

    От прямой можно отложить только один угол заданной градусной меры, а у нас их два. Явно возникшее противоречие сообщает о том, что единственность перпендикуляра истинна. Что и требовалось доказать.

    Это интересно: перпендикулярные прямые и отвес

    Решили вы, значит, прикрепить навесную полку к стене. Установка прошла прекрасно, только… Кажется, висит полка криво. Или нет? Своего рода иллюзия обмана?

    Глаз может подвести, необходимо достать-таки объективное доказательство. Поможет вам решить спорный вопрос бесхитростное приспособление, применяемое строителями еще со времен Древнего Египта. А то и раньше.

    Называется оно отвес.

    Отвес представляет собой грузик, прикрепленный к гибкой нити. Грузик хоть и небольшой, но увесистый, а еще имеет специальную форму — заостренного конуса, что позволяет нитке, натянутой грузиком, показывать идеальную вертикальную линию. Если прикрепить отвес к ровному потолку, по углу, образованному прямыми, будет понятно, действительно ли полка весит криво. Прямой угол — «прямая» полка.   

    Интересный поворот в истории: древние римляне отвес нарекли словом ‘perpendiculum’ — от глагольной формы ‘perpendō’, в переводе примерно — «я точно измеряю». Так что существительное «перпендикуляр» и его производные восходят к тому, как Populus Romanus называли отвес.

    Параллельные и перпендикулярные прямые

    Если наша полка в итоге висит идеально ровно по отношению к потолку, то с точки зрения планиметрии прямые, образованные полкой и потолком, будут называться параллельными. Параллельный — это непересекающийся: иными словами, такие прямые лежат в одной плоскости и при этом не пересекаются. Подробнее свойства параллельности мы разберем в курсе геометрии далее.

    Пока просто дадим определение:

    Параллельные прямые — прямые, что находятся в одной плоскости и не имеют точек пересечения.


    Разберем ситуацию, когда помимо двух параллельных прямых имеется перпендикулярная к одной из них. Начертим параллельные прямые $a$ и $b$. К прямой $a$ проведем перпендикуляр $c$ и достроим его до прямой $b$.

    Если $c$ перпендикулярна к $a$, то она также перпендикулярна и к $b$, при условии, что $a$ и $b$ — параллельны. Доказать это можно, опять же, через метод доказательства от противного.

    Подумайте, как применить доказательство от противного, чтобы прийти к выводу, что перпендикулярность и параллельность связаны друг с другом.

    💬 Делитесь своими идеями в комментариях под уроком!

    Связь между параллельностью и перпендикулярностью записать можно и «в обратном порядке»: если две (или более, — количество прямых может быть бесконечным) прямые перпендикулярны к третьей, то эти две прямые — параллельны.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение