Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
НАЗНАЧИТЬ

Перпендикулярные прямые

Содержание

    Те, кто внимательно работал с предыдущим уроком, могут вспомнить тест-вопрос с подвохом про возможность суммы двух вертикальных углов в $180^\circ$. Вкратце мы объяснили, что, да, ситуация возможна, но только в том случае, когда речь идет про перпендикулярные прямые. Возникает вопрос: если давать строгое определение, какие прямые называются перпендикулярными в геометрии?

    👍 Завершающий урок по углам освещает:

    — перпендикулярными являются прямые… а какие — в подробностях далее;
    — что такое перпендикуляр, проведенный из точки к прямой;
    — связь параллельных и перпендикулярных прямых;
    — он такой один: единственность перпендикуляра.

    Перпендикулярные прямые — частный случай

    Чтобы дать ответ на вопрос о том, какие прямые называются перпендикулярными, для начала начертим две произвольно пересекающиеся прямые $a$ и $b$ под углом $\alpha$. Как мы помним, две прямые при пересечении образуют четыре угла смежными или вертикальными парами. Значит, любой из углов будет образовывать с $\angle{\alpha}$ либо смежный, либо вертикальный угол.

    Из этого делаем вывод, что если при пересечении двух прямых один угол прямой, то остальные углы также являются прямыми. Перед вами — частный случай пересечения прямых, которые в данном контексте будут называться перпендикулярными.

    Определение перпендикулярных прямых

    Мы готовы ответить, какие прямые называются перпендикулярными:

    Перпендикулярными являются прямые, которые пересекаются под углом $90^\circ$.


    Чтобы доказать, что каждый из углов будет прямым, разметим на чертеже оставшиеся углы — углы $\beta$, $\gamma$ и $\delta$. Применим к ним доказанные нами ранее теоремы о вертикальных и смежных углах, при условии, что определение перпендикулярных прямых задает $\angle{\textcolor{purple}{\alpha}}=90^\circ.$

    Доказательство

    Угол $\beta$ — смежный с углом $\alpha$. Известно, что сумма смежных углов равняется $180^{\circ}$. Если угол $\alpha=90^{\circ}$, то получаем, что:

    $$\beta=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$$

    Вертикальные углы равны. Угол $\beta$ вертикален углу $\delta$, следовательно угол $\delta$ так же, как и $\beta$, равняется $90^{\circ}$. Аналогичное применимо и к другой паре вертикальных углов — углам $\alpha$ и $\gamma$.

    Имеем:

    $$\begin{cases}\alpha=90^{\circ}\\\beta=90^{\circ}\\\gamma=90^{\circ}\\\delta=90^{\circ}\end{cases}$$

    Перпендикулярные прямые при пересечении образуют только прямые углы. Что и требовалось доказать.

    Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой

    Произвольные точка и прямая на плоскости

    Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой

    Отрезок $AB$ — перпендикуляр, проведенный из точки $A$ к прямой $a$. Точка пересечения прямой и перпендикулярного к ней отрезка обычно называется основанием перпендикуляра.

    Что это такое? Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, представляет собой отрезок прямой, перпендикулярной к заданной, с концом в точке пересечения.

    Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой: нотация

    🟢 Легко запомнить: значок визуально напоминает мини-версию чертежа перпендикуляра к прямой.  

    Перпендикулярность в геометрической нотации обозначается значком «$\perp$». К примеру, если прямые $a$ и $b$ перпендикулярны, перпендикулярные прямые кратко обозначаются так: $a\perp{b}$. В случае отрезка-перпендикуляра $AB$, что мы разобрали выше, можно было бы записать: $AB\perp{a}$.

    Единственность перпендикуляра

    Важно понимать: одна точка — один перпендикуляр. Вы не можете провести через одну точку прямой более одного перпендикуляра к ней. Данное свойство называется единственность перпендикуляра.

    Теорема о единственности перпендикуляра. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

    Доказательство

    Далее мы воспользуемся крайне сподручным математическим инструментом — доказательством от противного. Подобный вид доказательства заключается в отрицании тезиса доказательства. В математике вам еще не раз придется прибегать к данному способу заключения истинности утверждений.

    Предположим, что теорема ложна и через одну точку прямой проходят сразу два перпендикуляра.

    Рассуждение от противного

    На чертеже: «основной» перпендикуляр отмечен прямой $b$, «альтернативный» — прямой $c$. Угол $(ab)$ по определению прямой. Но по определению прямым является и угол $(ac)$.

    От прямой можно отложить только один угол заданной градусной меры, а у нас их два. Явно возникшее противоречие сообщает о том, что единственность перпендикуляра истинна. Что и требовалось доказать.

    Это интересно: перпендикулярные прямые и отвес

    Решили вы, значит, прикрепить навесную полку к стене. Установка прошла прекрасно, только… Кажется, висит полка криво. Или нет? Своего рода иллюзия обмана?

    Глаз может подвести, необходимо достать-таки объективное доказательство. Поможет вам решить спорный вопрос бесхитростное приспособление, применяемое строителями еще со времен Древнего Египта. А то и раньше.

    Называется оно отвес.

    Отвес представляет собой грузик, прикрепленный к гибкой нити. Грузик хоть и небольшой, но увесистый, а еще имеет специальную форму — заостренного конуса, что позволяет нитке, натянутой грузиком, показывать идеальную вертикальную линию. Если прикрепить отвес к ровному потолку, по углу, образованному прямыми, будет понятно, действительно ли полка весит криво. Прямой угол — «прямая» полка.   

    Интересный поворот в истории: древние римляне отвес нарекли словом ‘perpendiculum’ — от глагольной формы ‘perpendō’, в переводе примерно — «я точно измеряю». Так что существительное «перпендикуляр» и его производные восходят к тому, как Populus Romanus называли отвес.

    Параллельные и перпендикулярные прямые

    Если наша полка в итоге висит идеально ровно по отношению к потолку, то с точки зрения планиметрии прямые, образованные полкой и потолком, будут называться параллельными. Параллельный — это непересекающийся: иными словами, такие прямые лежат в одной плоскости и при этом не пересекаются. Подробнее свойства параллельности мы разберем в курсе геометрии далее.

    Пока просто дадим определение:

    Параллельные прямые — прямые, что находятся в одной плоскости и не имеют точек пересечения.


    Разберем ситуацию, когда помимо двух параллельных прямых имеется перпендикулярная к одной из них. Начертим параллельные прямые $a$ и $b$. К прямой $a$ проведем перпендикуляр $c$ и достроим его до прямой $b$.

    Если $c$ перпендикулярна к $a$, то она также перпендикулярна и к $b$, при условии, что $a$ и $b$ — параллельны. Доказать это можно, опять же, через метод доказательства от противного.

    Подумайте, как применить доказательство от противного, чтобы прийти к выводу, что перпендикулярность и параллельность связаны друг с другом.

    💬 Делитесь своими идеями в комментариях под уроком!

    Связь между параллельностью и перпендикулярностью записать можно и «в обратном порядке»: если две (или более, — количество прямых может быть бесконечным) прямые перпендикулярны к третьей, то эти две прямые — параллельны.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Закрепим термины с карточками?

    Определения и теоремы
    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение

    НАЗНАЧИТЬ