Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Углы в геометрии — введение

Содержание

    Если вам приходилось часто ездить по междугородним маршрутам, вполне вероятно, что вы встречали по пути вот это — знак крутого уклона. Водителю он сообщает: «Осторожно! Дорога далее идет под углом». Углы — интересный объект нашего быта. Углы в геометрии — объект не менее интересный, поскольку они одновременно наследуют ряд свойств уже привычных нам фигур: точек и лучей.

    Впереди вас ждет раздел, всецело посвященный изучению данной геометрической фигуры и ее особенностей.  

    Луч и угол

    Согните свою руку так, будто бы бравируете перед кем-то мускулами. Если рассмотреть полученную в результате фигуру «Мистер Мускул» геометрически, она будет состоять из точки перегиба (локтевого сустава) и двух линий (прямых предплечья и плеча).

    Остановимся на прямых и точках. Начертим на плоскости два луча $AB$ и $AB_1$ так, что $AB\cap{AB_1}=A$. Фигура, получившаяся на чертеже ниже, будет называться углом. Видим, что луч и угол взаимосвязаны: углы в геометрии состоят из лучей и точки, общей для этих лучей.

    Дадим определение:

    Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной начальной точки.

    Рассматривать углы в геометрии можно как составную или как в некотором роде «единую» фигуру. Определение, приведенное выше, задает составное понимание фигуры в связке «луч и угол»: луч, еще один луч, точка. Также данную фигуру можно рассмотреть в совокупности. В этом случае лучи будут называться боковыми сторонами, а начальная точка — вершиной угла.

    Луч и угол

    Сторона и вершина

    Угол представляет для нас больший интерес в качестве совокупной фигуры. Изучать его мы будем именно из позиции «вкупе». Однако не забывайте, что любой угол всегда раскладывается на лучи и точку.

    Обозначение угла

    Уильям Отред, английский математик XVI–XVII вв. Придумал логарифмическую линейку, знак деления («$/$»), знак умножения («$\times$»). Также «облагородил» обозначение угла: спасибо мистеру Отреду, что угол мы обозначаем символом «$\angle$», а не знаком неравенства.

    Существует несколько вариантов того, как в математической нотации дается обозначение угла. Все варианты объединяет использование символа «$\textcolor{coral}{\angle}$», — этому символу, кстати, больше четырехсот лет. Примечательно, что первая его версия от 1634 года напоминала знак неравенства «$<$». Символ указывается перед буквенным обозначением и показывает, что далее речь пойдет о фигуре «угол».

    ❗ Почему знаки обозначения фигур важны и нужны

    Забегая немного вперед, покажем одну из особенностей обозначения угла способом «три точки». Делается это следующим образом: «$\angle{ABC}$». Тремя точками в том числе обозначается треугольник: «$\bigtriangleup{ABC}$».

    Если не указывать перед буквами знак фигуры, создается неоднозначность. Вот почему знаки обозначения фигур крайне важны, когда речь идет про углы в геометрии. Не забывайте обозначать фигуры.

    Обозначение угла через вершину


    Обозначить углы в геометрии можно с помощью всего лишь одной буквы — той, что определяет точку вершины. Рассмотрим чертеж, где точка $A$ является вершиной. Данный угол обозначается как $\angle{A}.$

    А вы про какой угол?

    Это наиболее экономный способ записи, однако он не всегда удобен из-за возможной неоднозначности. Например, ситуация на чертеже: точка $A$ здесь является общей для трех лучей. И что, «$\angle{A}$» — это про тот, что слева, или тот, что справа?

    Выбирать обозначение угла важно так, чтобы по ходу решения задачи или доказательства всем было ясно, где располагается указываемый вами угол.

    Обозначение угла строчными греческими буквами


    Дабы избежать неопределенности, на чертеж иногда наносят отдельную букву. Исторически сложилось, что букву эту выбирают из греческого алфавита строчного регистра.

    На представленном чертеже примером такого обозначения будет «$\angle{\alpha}$».

    БукваКак обозначаетсяКак читается
    $\alpha$$\angle{\alpha}$«угол альфа»
    $\beta$$\angle{\beta}$«угол бета»
    $\gamma$$\angle{\gamma}$«угол гамма»
    $\delta$$\angle{\delta}$«угол дельта»
    $\theta$$\angle{\theta}$«угол тета»
    $\phi$$\angle{\phi}$«угол фи»
    Литеры греческого алфавита, используемые в геометрии для обозначения углов.

    Обозначение угла с помощью направляющих точек

    Вспомним, что луч можно обозначать не только с помощью начальной, но и направляющей точки. Рассмотрим лучи, пересекающиеся в точке $A$: $AB\cap{AC}=A$. Направляющими точками лучей являются точки $B$ и $C$.

    Обозначаться данный угол будет как $\angle{CAB}$. Порядок наоборот также допустим: $\angle{BAC}$.

    При способе обозначения «три точки» точка, указанная посередине, всегда является вершиной угла, а боковые буквы в записи являются точками, лежащими на сторонах угла.

    Обозначение угла прямыми

    Последний способ, наименее распространенный, — использовать прямые для обозначения угла. Луч является частью прямой, и если на чертеже имеется дополнительное буквенное указание прямых, их можно записать в порядке против часовой стрелки через скобки. Например, $\angle{(ab)}$.

    Как и с точками, вариант «наоборот» допустим — $\angle{ba}$.

    Дополнительно об обозначении углов

    Скрыть содержимое

    Порядок решает

    Угол из примера в разделе «Обозначение угла с помощью направляющих точек».

    И порядок этот — от точки слева к точке справа. Еще одна данность, как и буквы греческого алфавита: углы в геометрии принято отсчитывать против часовой стрелки. Поэтому угол обозначен в первую очередь как «$\angle{CAB}$», не «$\angle{BAC}$».

    Вариант по направлению часовой стрелки («$\angle{BAC}$») допустим.

    То, что принято, вовсе не обязательно. Просто правило хорошего тона, которое, если того требует удобство, можно нарушить.

    Углы в геометрии: определение направления против часовой стрелки

    Если вам сложно представлять поворот стрелки при обозначении углов, можно воспользоваться простым методом пальцев. Алгоритм прост:

    👉 приложите указательный палец левой руки к крайней точке угла с левой стороны;
    👈 приложите указательный палец правой руки к крайней точке угла с правой стороны;
    ✌️ точка вершины угла должна располагаться посередине;
    ✍️ запишите буквенное обозначение точек слева направо — от пальца левой руки к пальцу правой руки.

    Пример

    Значения не имеет, как при этом расположен угол на плоскости. Рассмотрим, к примеру, положение угла «домиком». Соответствующий угол будет обозначаться как $\angle{MPK}$.

    Еще пример

    Углы в геометрии: внешняя сторона угла

    Угол образует на плоскости две области — внутреннюю область и внешнюю. Определяя углы в геометрии, мы, как правило, оцениваем фигуру, полученную во внутренней области. Однако стороны угла можно рассматривать как для внутренней области, так и для внешней. С учетом, что существует так называемая внешняя сторона угла, лучи соответственно образуют два угла: внутренний и наружный.

    Области угла

    Внешняя сторона угла

    Параллельное по тексту обозначение и внутреннего, и наружного углов часто сопряжено с проблемой неоднозначности. Решить ее можно двумя способами — простым и не очень простым. Если вы ознакомились с содержанием скрытого блока о методе пальцев, предлагаем также ознакомиться с не очень простой альтернативой ниже.

    • Простой. Наносить на чертеж буквенное обозначение углов ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$). Скажем, если внутренний угол обозначить как «$\angle{\theta}$», соответствующий наружный удобно обозначить как «$\angle{\theta_1}$».

    Альтернативный способ

    Скрыть содержимое

    • Не очень простой. Использовать обозначение «три точки» или с помощью прямых, однако при этом держать строгий порядок: против часовой — для внутренних, по часовой — для соответствующих наружных.

    Например, $\angle{ABC}$ и $\angle{CBA}$. Или $\angle{(ab)}$ и $\angle{(ba)}$.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение