Правильные многогранники. Симметрия в пространстве

Содержание

В уроках о призме, пирамиде и «Усеченная пирамида» мы склеивали многогранники из бумажных граней разной формы. Сегодня возьмем листы одного вида — равные правильные многоугольники — и выясним, какие тела получаются, почему их ровно пять, как сосчитать вершины, ребра и грани и какой симметрией они обладают.

Одинаковых листов еще мало

В наборах для настольных игр есть кости с 4, 6, 8, 12 и 20 гранями. У каждой из них грани — одинаковые правильные многоугольники, и все вершины устроены одинаково. Почему форм с такими свойствами всего пять и нельзя сделать, например, кость с 16 гранями того же типа? Ответ найдем в следующем разделе.

Склеим куб из шести равных квадратов: в каждой его вершине сходятся три квадрата и три ребра. Теперь возьмем шесть равных ромбов с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ и склеим параллелепипед, у которого все ребра равны, — ромбоэдр. У него тоже шесть равных граней и в каждой вершине три ребра. Но ромб с углом $60^\circ$ — не квадрат и вообще не правильный многоугольник.

Третья модель: две правильные пятиугольные пирамиды с равными ребрами, склеенные основаниями. Десять граней — равные правильные треугольники, но в двух «макушках» сходятся по 5 ребер, а в пяти вершинах склейки — по 4.

Слева куб с квадратными гранями и прямым углом 90°, справа ромбоэдр с гранями-ромбами: углы передней грани 60° и 120°. В одной вершине каждого тела выделены три выходящих ребра: у обоих тел они устроены одинаково, но грани ромбоэдра не правильные многоугольники — У куба и ромбоэдра по шесть равных граней и по три ребра в каждой вершине, но грани ромбоэдра — ромбы, а не квадраты

Определение

Многогранник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Правильный многогранник — выпуклый многогранник, у которого все грани — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.

Ошибка

Рассуждают так: «Все грани равны и в каждой вершине по три ребра, как у куба, — значит, многогранник правильный».

Проверим на ромбоэдре. Грани равны, в вершинах по три ребра. Измерим углы грани: $60^\circ$ и $120^\circ$, а у правильного четырехугольника все углы по $90^\circ$. Грань не правильная — тело не правильное.

Где сломалось: равенство граней — только часть первого условия. Нужно проверить три вещи: грани равны, каждая грань — правильный многоугольник (все стороны и все углы равны), в каждой вершине одно число ребер.

{"questions":[{"content":"Шесть равных ромбов с углами $60^\\circ$ и $120^\\circ$ образуют ромбоэдр: все грани равны, в каждой вершине по 3 ребра. Какое условие определения правильного многогранника не выполнено?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Грани не равны между собой","Многогранник не выпуклый","В вершинах сходится разное число ребер","Грани не являются правильными многоугольниками"],"explanations":["Все шесть ромбов равны по условию","Ромбоэдр лежит по одну сторону от плоскости каждой грани","В каждой вершине ромбоэдра по 3 ребра",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверим по определению: выпуклость, равные правильные грани, одно число ребер в каждой вершине.","Ромб с углом $60^\\circ$ — не правильный четырехугольник: у правильного все углы равны."],"step":1},{"content":"Две одинаковые правильные треугольные пирамиды, у которых все ребра равны, склеили основаниями. Получилось тело из шести равных правильных треугольников. Правильный ли это многогранник?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Нет: грани правильных многогранников не бывают треугольниками","Да: все грани — равные правильные треугольники","Да: это октаэдр","Нет: в вершинах сходится разное число ребер"],"explanations":["У тетраэдра, октаэдра и икосаэдра грани — правильные треугольники","Первого условия недостаточно: нужно еще одно число ребер в каждой вершине","У октаэдра восемь граней, а здесь шесть",""],"answer":[3]}},"hints":["Правильный многогранник требует двух условий: грани — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно число ребер.","В трех вершинах склейки сходятся по 4 ребра, в двух макушках — по 3. Второе условие нарушено."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Почему правильных многогранников всего пять

Соберем вершину из бумажных листов. Положим на стол три правильных четырехугольника-квадрата вокруг одной точки: их углы дают $3 \cdot 90^\circ = 270^\circ$, между крайними листами остается щель. Сдвинем края щели и склеим — вершина выгнется вверх. Если бы углы в сумме давали ровно $360^\circ$, щели не было бы, листы лежали бы плоско, и согнуть их в выпуклую вершину (торчащую наружу) нельзя.

Листы вокруг одной вершины, вид сверху: три квадрата оставляют щель, четыре треугольника оставляют щель, пять квадратов и семь треугольников налезают друг на друга — Вершина сгибается, только пока между листами остается щель: сумма углов меньше 360°

pravilnye-mnogogranniki-vershina

Свойство

В каждой вершине выпуклого многогранника сходятся не менее трех граней, и сумма плоских углов при этой вершине (углов граней с вершиной в этой точке) меньше $360^\circ$.

Здесь $n$ — число сторон правильной грани, $k \ge 3$ — число граней у вершины. Число граней у вершины выпуклого многогранника равно числу ребер $q$ в ней.

$$k \cdot \frac{180^\circ(n-2)}{n} < 360^\circ$$

Свойство примем без доказательства: это теорема о выпуклом многогранном угле, доказательство мы опускаем. Переберем все варианты. Угол правильного многоугольника растет с числом сторон, а сумма — с числом граней у вершины, поэтому достаточно найти первое $k$, при котором сумма не меньше $360^\circ$.

Грань	Угол	Граней у вершины	Сумма углов	Итог
треугольник	$60^\circ$	3	$180^\circ$	тетраэдр
треугольник	$60^\circ$	4	$240^\circ$	октаэдр
треугольник	$60^\circ$	5	$300^\circ$	икосаэдр
треугольник	$60^\circ$	6	$360^\circ$	нельзя: $360^\circ$ — выпуклой вершины не получится
квадрат	$90^\circ$	3	$270^\circ$	куб
квадрат	$90^\circ$	4	$360^\circ$	нельзя: $360^\circ$ — выпуклой вершины не получится
пятиугольник	$108^\circ$	3	$324^\circ$	додекаэдр
пятиугольник	$108^\circ$	4	$432^\circ$	нельзя: больше $360^\circ$, выпуклой вершины не получится
$n \ge 6$ сторон	не меньше $120^\circ$	3	не меньше $360^\circ$	нельзя

Неравенство оставило пять наборов, и для каждого тело действительно существует и единственно с точностью до размера: развертка однозначно определяется гранью и числом граней у вершины. Так получаются пять правильных многогранников (их называют Платоновыми телами): тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр. Это и ответ про игральные кости.

Пять правильных многогранников: тетраэдр с гранями-треугольниками, куб с квадратами, октаэдр с треугольниками, додекаэдр с пятиугольниками, икосаэдр с треугольниками; на каждом теле одна грань выделена заливкой — Пять правильных многогранников: грани — треугольники, квадраты или пятиугольники

{"questions":[{"content":"Распределите правильные многогранники по виду их граней[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"labels":["Грани — треугольники","Грани — квадраты","Грани — пятиугольники"],"items":[["Тетраэдр","Октаэдр","Икосаэдр"],["Куб"],["Додекаэдр"]],"type":"grouper"}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["У тетраэдра, октаэдра и икосаэдра грани — правильные треугольники.","У куба грани — квадраты, у додекаэдра — правильные пятиугольники."],"step":1},{"content":"Почему не существует правильного многогранника, все грани которого — правильные шестиугольники?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Шестиугольники нельзя сделать равными","Угол правильного шестиугольника равен $108^\\circ$","Три угла по $120^\\circ$ в сумме дают $360^\\circ$, вершина получилась бы плоской","Два угла по $120^\\circ$ в сумме дают $240^\\circ$, это слишком мало"],"explanations":["Равные правильные шестиугольники построить можно: условие нарушает именно вершина","$108^\\circ$ — угол правильного пятиугольника","","В вершине многогранника нужно не менее трех граней"],"answer":[2]}},"hints":["В вершине выпуклого многогранника сумма плоских углов меньше $360^\\circ$.","Угол правильного шестиугольника $120^\\circ$, а три таких угла дают $3 \\cdot 120^\\circ = 360^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вершины и ребра можно сосчитать, не глядя на рисунок

Разрежем бумажную модель по всем ребрам: каждое ребро распадется на две стороны соседних листов. Значит, если сложить стороны всех граней, каждое ребро будет сосчитано дважды. А если сложить ребра, выходящие из всех вершин, каждое ребро тоже попадет в сумму дважды — по разу от каждого конца.

Два куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Слева общее ребро AB граней ABCD и AA₁B₁B выделено: ребро — две стороны двух граней. Справа в вершине A выделены три ребра AB, AD, AA₁ и отмечены два конца ребра AB — Ребро — общая сторона двух граней и соединяет две вершины, поэтому каждое ребро в подсчете учитывается дважды

Правило

Обозначим $B$ — число вершин, $P$ — число ребер, $\Gamma$ — число граней. Если все грани многогранника — $n$-угольники и в каждой вершине сходится $q$ ребер, то

$$P = \frac{n \cdot \Gamma}{2}, \qquad B = \frac{2P}{q}$$

Пример 1

Классический футбольный мяч сшит из 12 пятиугольников и 20 шестиугольников; в каждом углу сходятся три лоскута. Сколько у такой модели ребер-швов и вершин?

Решение. Грани разные, поэтому стороны считаем по видам: $12 \cdot 5 + 20 \cdot 6 = 60 + 120 = 180$. Каждый шов — две стороны, $P = 180 : 2 = 90$. В каждой вершине три шва, а у шва два конца: $B = 2 \cdot 90 : 3 = 60$.

Ответ: 90 швов и 60 вершин. Это не правильный многогранник: его грани не равны.

Тело	Грань, $n$	$\Gamma$	$q$	$P$	$B$
тетраэдр	3	4	3	6	4
куб	4	6	3	12	8
октаэдр	3	8	4	?	?
додекаэдр	5	12	3	?	?
икосаэдр	3	20	5	?	?

Проверим строку куба: $P = 4 \cdot 6 : 2 = 12$, $B = 2 \cdot 12 : 3 = 8$. Пустые клетки заполните по тем же двум формулам.

{"questions":[{"content":"Сопоставьте правильный многогранник и число его вершин[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"labels":["Тетраэдр","Куб","Икосаэдр","Додекаэдр"],"items":["4","8","12","20","6","5"],"type":"matcher"}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["Тетраэдр: 4 вершины.","Куб: 8 вершин.","Икосаэдр: 12 вершин.","Додекаэдр: 20 вершин; число 12 — вершины икосаэдра, 5 — число тел."],"step":1}],"mix":1}

Вершины минус ребра плюс грани — всегда два для выпуклого тела

Посчитаем $B-P+\Gamma$ для знакомых тел. Тетраэдр: $4-6+4 = 2$. Куб: $8-12+6 = 2$. Додекаэдр: $20-30+12 = 2$. Футбольный мяч: $60-90+32 = 2$. У $n$-угольной призмы из урока 4.1 $2n$ вершин, $3n$ ребер и $n+2$ грани: $2n-3n+n+2 = 2$ при любом $n$.

Теорема Эйлера

Для любого выпуклого многогранника число вершин минус число ребер плюс число граней равно двум:

$$B-P+\Gamma = 2$$

Слева правильная шестиугольная призма: B = 12, P = 18, Γ = 8, 12 − 18 + 8 = 2. Справа невыпуклая квадратная рамка с отверстием из четырех брусков, стыки брусков на передней грани показаны отрезками (на задней грани они такие же): 16 − 32 + 16 = 0 — Для выпуклой призмы B − P + Γ = 2; у невыпуклой рамки с дырой получается 0

Важно

Условие «выпуклый» нельзя отбросить. Рамка для фотографии из четырех брусков — невыпуклый многогранник: у нее 16 вершин, 32 ребра и 16 граней, и $16-32+16 = 0$. Грань-кольцо — не многоугольник, поэтому ее делят стыками на четыре трапеции; стыки тоже ребра. Вершин $8+8 = 16$, ребер $12+12+8 = 32$ (8 стыков — по 4 на передней и задней гранях), граней $4+4+4+4 = 16$.

Для некоторых невыпуклых тел формула тоже верна (например, для двух кубов, приставленных уступом), но в нашем курсе она доказана только для выпуклых многогранников.

Пример 2

У выпуклого многогранника 7 граней и 15 ребер. Сколько у него вершин?

Решение. Из $B-P+\Gamma = 2$ выразим $B = 2+P-\Gamma$: ребра прибавляются, грани вычитаются. $B = 2+15-7 = 10$.

Ответ: 10.

Идея доказательства (повышенный уровень)

Скрыть

Уберем одну грань, а остальную поверхность растянем на плоскость: получится сетка многоугольников, у которой столько же вершин и ребер и на одну грань меньше. Нужно доказать, что для сетки $B-P+\Gamma = 1$.

Разобьем многоугольники сетки диагоналями на треугольники: сумма не меняется. Затем снимем треугольники с края: при каждом снятии сумма тоже не меняется. Останется один треугольник: $3-3+1 = 1$.

{"questions":[{"content":"У октаэдра 6 вершин и 8 граней. Сколько у него ребер? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Формула Эйлера: $B-P + \\Gamma = 2$.","$P = B + \\Gamma-2 = 6 + 8-2 = 12$."],"step":1},{"content":"У выпуклого многогранника 9 вершин и 14 граней. Сколько у него ребер? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"21"}},"hints":["$P = B + \\Gamma-2$.","$P = 9 + 14-2 = 21$."],"step":1}],"mix":1}

Зеркало и поворот: симметрия куба и тетраэдра

Поставим бумажный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ к зеркалу так, чтобы зеркало разрезало его пополам: отражение половины дополнит ее до целого куба. Такое зеркало — плоскость симметрии. Определения те же, что на плоскости в 8–9 классах, только вместо прямой может быть плоскость.

Определение

Точки $X$ и $X_1$ симметричны относительно точки $O$, если $O$ — середина отрезка $XX_1$; относительно прямой $a$, если $a$ проходит через середину $XX_1$ и перпендикулярна ему; относительно плоскости $\alpha$, если $\alpha$ проходит через середину $XX_1$ и перпендикулярна ему. Точки самой $O$, $a$ или $\alpha$ симметричны сами себе.

Если каждая точка фигуры симметрична некоторой точке этой же фигуры, то $O$ — центр симметрии, $a$ — ось симметрии, $\alpha$ — плоскость симметрии фигуры.

Симметрия относительно оси — то же, что поворот модели на $180^\circ$ вокруг этой прямой: каждая точка описывает полуокружность и попадает в симметричную. При симметрии многогранник переходит в себя, поэтому вершины переходят в вершины, а ребра — в ребра.

Два куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с центром O. Слева плоскость симметрии через середины ребер AA₁, BB₁, CC₁, DD₁: каждое из этих ребер делится на равные половины. Справа плоскость AA₁C₁C через два противоположных ребра: вершины B и D лежат по разные стороны, отрезок BD пересекает плоскость в своей середине на AC — Плоскости симметрии куба двух видов: через середины четырех параллельных ребер и через два противоположных ребра

Пример 3

Сколько плоскостей симметрии у куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$?

Решение. Первый вид: плоскость через середины четырех параллельных ребер, например $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$. Она перпендикулярна этим ребрам и делит их пополам. Направлений ребер три, значит, таких плоскостей 3.

Второй вид: плоскость через два противоположных ребра, например $AA_1C_1C$. Вершины $B$ и $D$ симметричны относительно нее: $BD \perp AC$, $BD \perp AA_1$, середина $BD$ лежит на $AC$. Ребер 12, в каждой такой плоскости их два, значит, плоскостей $12 : 2 = 6$.

Ответ: $3 + 6 = 9$ плоскостей.

Центр симметрии куба — точка $O$ пересечения его диагоналей: она середина каждой из них, вершины разбиваются на пары $A$ и $C_1$, $B$ и $D_1$ и так далее. Осей симметрии у куба 9. Оси через центры противоположных граней: поворот на $180^\circ$ переводит грань $ABCD$ в себя, таких осей 3. Оси через середины противоположных ребер, например $AB$ и $C_1D_1$: их 6.

Правильный тетраэдр DABC, M — середина ребра BC. Плоскость DAM выделена заливкой; BM = MC отмечены рисками, AM ⊥ BC и DM ⊥ BC отмечены квадратиками, вершины B и C меняются местами при отражении в этой плоскости — Плоскость через ребро DA и середину M ребра BC — зеркало тетраэдра: B и C меняются местами

Теперь правильный тетраэдр $DABC$ и точка $M$ — середина $BC$. Треугольники $ABC$ и $DBC$ правильные, поэтому медианы $AM$ и $DM$ перпендикулярны $BC$. Значит, $BC$ перпендикулярна плоскости $DAM$, и $M$ — середина $BC$: точки $B$ и $C$ симметричны относительно этой плоскости, а $D$ и $A$ лежат в ней. Плоскость $DAM$ — плоскость симметрии тетраэдра. Такая плоскость есть у каждого из 6 ребер: она проходит через ребро и середину противоположного ребра. Плоскостей симметрии у тетраэдра 6.

Обратите внимание

Центра симметрии у правильного тетраэдра нет. Если бы он был, то, поскольку центр не вершина (вершина не может быть серединой отрезка между двумя другими точками тела), каждая вершина переходила бы в другую и четыре вершины разбились бы на две пары, например $D$ и $A$, $B$ и $C$, а отрезки $DA$ и $BC$ имели бы общую середину. Тогда эти отрезки лежали бы в одной плоскости вместе со всеми четырьмя вершинами, а вершины тетраэдра в одной плоскости не лежат. Осей симметрии у тетраэдра три: каждая проходит через середины двух противоположных ребер.

{"questions":[{"content":"Сколько плоскостей симметрии у правильного тетраэдра? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Каждая плоскость симметрии проходит через ребро и середину противоположного ребра.","Ребер 6, значит, плоскостей 6."],"step":1},{"content":"У какого из тел есть центр симметрии?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Правильная треугольная призма","Правильная четырехугольная пирамида","Правильный тетраэдр","Куб"],"explanations":["Основание — треугольник: вершина верхнего основания перешла бы в точку нижней плоскости, где вершины нет","Вершина пирамиды перешла бы за основание","Вершина перешла бы в точку за гранью на продолжении высоты, а там вершины нет",""],"answer":[3]}},"hints":["Центр симметрии переводит каждую вершину в другую вершину тела.","Вершины куба разбиваются на пары, симметричные относительно его центра."],"step":1}],"mix":1}

Центры граней дают новый правильный многогранник

Отметим на каждом листе модели его центр и соединим центры соседних граней (граней с общим ребром). Внутри получится новая модель. У правильного тетраэдра четыре грани, поэтому у нового тела четыре вершины; в каждой вершине тетраэдра сходятся три грани, и их центры образуют треугольник. Получается снова правильный тетраэдр, только меньше.

Правильный тетраэдр DABC и четыре точки — центры его граней. Соединив центры, получаем меньший тетраэдр внутри большого; невидимые ребра обоих тел показаны штрихом — Центры четырех граней правильного тетраэдра — вершины меньшего правильного тетраэдра

Правило

Центры граней правильного многогранника — вершины правильного многогранника. Число вершин нового тела равно числу граней исходного, а число граней — числу вершин исходного; число сторон грани и число ребер у вершины меняются местами. Такие два тела называют двойственными.

Проверим на додекаэдре: 12 граней дают 12 вершин; в каждой из 20 вершин сходятся 3 грани, их центры образуют треугольник — 20 треугольных граней. У нового тела 12 вершин и 20 треугольных граней — это икосаэдр. Ребер у обоих по 30.

{"questions":[{"content":"Центры граней куба являются вершинами [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["октаэдра","додекаэдра","тетраэдра","икосаэдра"],"answer":0}},"hints":["У куба 6 граней, значит, у нового тела 6 вершин.","6 вершин и 8 граней у октаэдра."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Правильные многогранники — самые симметричные тела: по ним делают честные игральные кости, а подсчет вершин, ребер и граней встречается в задании 3 ЕГЭ. Главное вспоминайте через бумажную модель.

Вопрос	Как ответить через модель
Правилен ли многогранник?	Выпуклый, все листы — равные правильные многоугольники и у каждой вершины одно число ребер; одинаковых листов мало
Почему тел пять?	У вершины выпуклого тела между листами остается щель: $k \cdot \frac{180^\circ(n-2)}{n} < 360^\circ$, $k \ge 3$
Сколько ребер?	Если все грани — $n$-угольники: $P = \frac{n \cdot \Gamma}{2}$, каждое ребро — две стороны листов
Связь $B$, $P$, $\Gamma$	Для выпуклого многогранника $B-P+\Gamma = 2$
Симметрия	Плоскость — зеркало, ось — поворот на 180°, центр — середина отрезков между парами вершин. Куб: центр, 9 плоскостей, 9 осей; тетраэдр: 6 плоскостей, 3 оси, центра нет
Двойственность	Центры граней: тетраэдр — тетраэдр, куб — октаэдр, додекаэдр — икосаэдр

Часто задаваемые вопросы

Поворот куба на 120° вокруг диагонали совмещает куб с собой. Почему диагональ не считают осью симметрии?

Ось симметрии в школьном определении — прямая, симметрия относительно которой есть поворот на $180^\circ$. Поворот на $180^\circ$ вокруг диагонали $AC_1$ куб с собой не совмещает. Если считать осью любую прямую, поворот вокруг которой на некоторый угол совмещает куб с собой, осей 13: 3 через центры граней, 4 диагонали, 6 через середины ребер. В нашем определении — только поворот на $180^\circ$, поэтому осей 9.

Бывают ли честные игральные кости, которые не являются правильными многогранниками?

Да. Кость с 10 гранями составлена из равных дельтоидов, все грани расположены одинаково, поэтому выпадают одинаково часто. Но дельтоид — не правильный многоугольник, а в вершинах сходится разное число ребер: 5 или 3.

Награды за урок