Пирамида. Правильная пирамида, тетраэдр

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"В основании правильной пирамиды лежит правильный треугольник. Куда падает высота?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["В середину одной из сторон","В произвольную внутреннюю точку","Центр правильного треугольника — точка пересечения медиан","В вершину основания"],"explanations":["Середина стороны не равноудалена от всех вершин","Положение однозначно определяется равенством ребер","","Ребро совпало бы с высотой, и такая пирамида не правильная"],"answer":[2]}},"hints":["Высота падает в центр основания.","Центр правильного многоугольника — точка, равноудаленная от вершин."],"step":1},{"id":"1","content":"В основании правильной пирамиды лежит квадрат. Куда падает высота?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Точка пересечения диагоналей квадрата","В середину одной из сторон","В вершину основания","В произвольную внутреннюю точку"],"explanations":["","Середина стороны не равноудалена от всех вершин","Ребро совпало бы с высотой, и такая пирамида не правильная","Положение однозначно определяется равенством ребер"],"answer":[0]}},"hints":["Высота падает в центр основания.","Центр правильного многоугольника — точка, равноудаленная от вершин."],"step":1},{"id":"2","content":"У пирамиды 14 ребер. Сколько у нее граней? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Ребер основания столько же, сколько боковых.","Основание — 7-угольник.","Граней $7 + 1 = 8$."],"step":1},{"id":"2","content":"У пирамиды 18 ребер. Сколько у нее граней? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Ребер основания столько же, сколько боковых.","Основание — 9-угольник.","Граней $9 + 1 = 10$."],"step":1},{"id":"3","content":"В правильной пирамиде боковое ребро равно 13, а радиус окружности, описанной около основания, равен 5. Найдите высоту пирамиды. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Высота, боковое ребро и радиус описанной окружности образуют прямоугольный треугольник.","$h^2 = 13^2-5^2 = 144$.","$h = 12$."],"step":1},{"id":"3","content":"В правильной пирамиде боковое ребро равно 17, а радиус окружности, описанной около основания, равен 8. Найдите высоту пирамиды. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Высота, боковое ребро и радиус описанной окружности образуют прямоугольный треугольник.","$h^2 = 17^2-8^2 = 225$.","$h = 15$."],"step":1},{"id":"4","content":"В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10, апофема равна 13. Высота пирамиды равна [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["13","17","12","8"],"answer":2}},"hints":["$OM = 10 : 2 = 5$.","$h^2 = 13^2-5^2 = 144$.","$h = 12$."],"step":1},{"id":"4","content":"В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 16, апофема равна 17. Высота пирамиды равна [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["17","15","23","9"],"answer":1}},"hints":["$OM = 16 : 2 = 8$.","$h^2 = 17^2-8^2 = 225$.","$h = 15$."],"step":1},{"id":"5","content":"В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 12, высота равна 8. Найдите апофему. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["$OM = 12 : 2 = 6$.","$l^2 = 8^2 + 6^2 = 100$.","$l = 10$."],"step":1},{"id":"5","content":"В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 24, высота равна 9. Найдите апофему. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["$OM = 24 : 2 = 12$.","$l^2 = 9^2 + 12^2 = 225$.","$l = 15$."],"step":1},{"id":"6","content":"Ребро правильного тетраэдра равно 6. Сопоставьте величину и ее значение.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"labels":["Квадрат ребра","Квадрат радиуса описанной окружности грани","Квадрат высоты тетраэдра"],"items":["36","12","24","18"],"type":"matcher"}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["Квадрат ребра: $6^2 = 36$.","Квадрат радиуса описанной окружности грани: $R^2 = 36 : 3 = 12$.","Квадрат высоты: $h^2 = 36-12 = 24$. Лишнее число 18 — половина квадрата ребра."],"step":1},{"id":"6","content":"Ребро правильного тетраэдра равно 12. Сопоставьте величину и ее значение.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"labels":["Квадрат ребра","Квадрат радиуса описанной окружности грани","Квадрат высоты тетраэдра"],"items":["144","48","96","72"],"type":"matcher"}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["Квадрат ребра: $12^2 = 144$.","Квадрат радиуса описанной окружности грани: $R^2 = 144 : 3 = 48$.","Квадрат высоты: $h^2 = 144-48 = 96$. Лишнее число 72 — половина квадрата ребра."],"step":1},{"id":"7","content":"В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $30^\\circ$. Найдите боковое ребро. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Угол между ребром и основанием — $\\angle SAO$ в прямоугольном треугольнике $SOA$.","Катет $SO$ лежит против угла $30^\\circ$, поэтому он вдвое короче гипотенузы $SA$.","$SA = 2 \\cdot 4 = 8$."],"step":1},{"id":"7","content":"В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 7, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $30^\\circ$. Найдите боковое ребро. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"14"}},"hints":["Угол между ребром и основанием — $\\angle SAO$ в прямоугольном треугольнике $SOA$.","Катет $SO$ лежит против угла $30^\\circ$, поэтому он вдвое короче гипотенузы $SA$.","$SA = 2 \\cdot 7 = 14$."],"step":1},{"id":"8","content":"Решавр нашел апофему правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 30 и высотой 8 и получил 8. Чему равна апофема?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$17$","$\\sqrt{514}$","$8$","$23$"],"explanations":["","Это боковое ребро, а не апофема","Это высота: апофема — наклонный отрезок и длиннее высоты","Катеты складывают нельзя: гипотенузу находят по Пифагору"],"answer":[0]}},"hints":["Высота и апофема — разные отрезки.","$l^2 = 8^2 + 15^2 = 289$.","$l = 17$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр нашел апофему правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 20 и высотой 24 и получил 24. Чему равна апофема?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$34$","$\\sqrt{776}$","$24$","$26$"],"explanations":["Катеты складывают нельзя: гипотенузу находят по Пифагору","Это боковое ребро, а не апофема","Это высота: апофема — наклонный отрезок и длиннее высоты",""],"answer":[3]}},"hints":["Высота и апофема — разные отрезки.","$l^2 = 24^2 + 10^2 = 676$.","$l = 26$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Верно ли, что пирамида правильная, если основание — прямоугольник, не являющийся квадратом, а боковые ребра равны?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Да: правильного основания достаточно","Да: равенства ребер достаточно","Нет: основание не правильное","Да: условия равносильны"],"explanations":["Основание здесь не правильное, так что это условие не выполнено","Нужно еще правильное основание: у прямоугольника, не являющегося квадратом, стороны разные","","Каждое условие в отдельности недостаточно"],"answer":[2]}},"hints":["Правильная пирамида: правильное основание и высота, падающая в его центр.","Проверьте оба условия по отдельности."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Верно ли, что пирамида правильная, если основание — правильный многоугольник?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Нет: высота может падать не в центр основания","Да: равенства ребер достаточно","Да: правильного основания достаточно","Да: условия равносильны"],"explanations":["","Здесь основание уже правильное, а равенство ребер не дано: без него высота может упасть не в центр","Правильное основание — только одно условие: высота еще может упасть не в центр основания","Каждое условие в отдельности недостаточно"],"answer":[0]}},"hints":["Правильная пирамида: правильное основание и высота, падающая в его центр.","Проверьте оба условия по отдельности."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 8, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом $60^\\circ$. Найдите сторону основания. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Угол между гранью и основанием — $\\angle SMO$ в прямоугольном треугольнике $SOM$, апофема $SM$ — гипотенуза.","$OM = SM \\cdot \\cos 60^\\circ = 8 \\cdot \\frac12 = 4$.","$OM$ — половина стороны основания, поэтому сторона равна $2 \\cdot 4 = 8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 14, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом $60^\\circ$. Найдите сторону основания. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"14"}},"hints":["Угол между гранью и основанием — $\\angle SMO$ в прямоугольном треугольнике $SOM$, апофема $SM$ — гипотенуза.","$OM = SM \\cdot \\cos 60^\\circ = 14 \\cdot \\frac12 = 7$.","$OM$ — половина стороны основания, поэтому сторона равна $2 \\cdot 7 = 14$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>