Правильные многогранники. Симметрия в пространстве

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Грани многогранника — правильные треугольники, в каждой вершине сходятся 4 ребра. Это [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["икосаэдр","октаэдр","куб","тетраэдр"],"answer":1}},"hints":["Сумма плоских углов у вершины: $4 \\cdot 60^\\circ = 240^\\circ$; найдите эту строку в таблице раздела 2.","Сумме $240^\\circ$ соответствует октаэдр: у тетраэдра в вершине 3 ребра, у икосаэдра — 5."],"step":1},{"id":"1","content":"Грани многогранника — правильные треугольники, в каждой вершине сходятся 5 ребер. Это [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["куб","октаэдр","икосаэдр","тетраэдр"],"answer":2}},"hints":["Сумма плоских углов у вершины: $5 \\cdot 60^\\circ = 300^\\circ$; найдите эту строку в таблице раздела 2.","Сумме $300^\\circ$ соответствует икосаэдр: у тетраэдра в вершине 3 ребра, у октаэдра — 4."],"step":1},{"id":"2","content":"У выпуклого многогранника 7 вершин и 10 граней. Сколько у него ребер? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Формула Эйлера: $B-P + \\Gamma = 2$.","$P = 7 + 10-2 = 15$."],"step":1},{"id":"2","content":"У выпуклого многогранника 9 вершин и 11 граней. Сколько у него ребер? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["Формула Эйлера: $B-P + \\Gamma = 2$.","$P = 9 + 11-2 = 18$."],"step":1},{"id":"3","content":"Распределите тела на правильные многогранники и неправильные[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"labels":["Правильные","Неправильные"],"items":[["Куб","Правильный тетраэдр"],["Прямоугольный параллелепипед $1 \\times 2 \\times 3$","Прямая пятиугольная призма с квадратными боковыми гранями"]],"type":"grouper"}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["У правильного многогранника все грани — равные правильные многоугольники и в вершинах одно число ребер.","У параллелепипеда $1 \\times 2 \\times 3$ грани разные; у пятиугольной призмы основания — пятиугольники, а боковые грани — квадраты, грани не равны."],"step":1},{"id":"3","content":"Распределите тела на правильные многогранники и неправильные[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"labels":["Правильные","Неправильные"],"items":[["Октаэдр","Додекаэдр"],["Правильная шестиугольная призма","Четырехугольная пирамида, все ребра которой равны"]],"type":"grouper"}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["У правильного многогранника все грани — равные правильные многоугольники и в вершинах одно число ребер.","У шестиугольной призмы грани разные; у пирамиды с квадратом и четырьмя правильными треугольниками основание и боковые грани разные."],"step":1},{"id":"4","content":"Все грани выпуклого многогранника — треугольники, граней 14. Сколько у него ребер? [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"21"}},"hints":["Каждая грань имеет 3 стороны, каждое ребро принадлежит двум граням.","$P = 3 \\cdot 14 : 2 = 21$."],"step":1},{"id":"4","content":"Все грани выпуклого многогранника — треугольники, граней 18. Сколько у него ребер? [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"27"}},"hints":["Каждая грань имеет 3 стороны, каждое ребро принадлежит двум граням.","$P = 3 \\cdot 18 : 2 = 27$."],"step":1},{"id":"5","content":"Сколько плоскостей симметрии у правильной четырехугольной пирамиды? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Одни плоскости проходят через вершину пирамиды и диагональ основания: диагоналей две.","Другие проходят через вершину и середины двух противоположных сторон основания: таких пар сторон тоже две. Всего $2 + 2 = 4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Сколько осей симметрии у правильного тетраэдра (ось — поворот на $180^\\circ$)? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Ось проходит через середины двух противоположных ребер.","Ребра разбиваются на 3 пары противоположных, значит, осей 3."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Сколько вершин у правильного многогранника, двойственного икосаэдру? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["Вершины нового тела — центры граней исходного.","У икосаэдра 20 граней, значит, у нового тела 20 вершин."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Сколько вершин у правильного многогранника, двойственного додекаэдру? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Вершины нового тела — центры граней исходного.","У додекаэдра 12 граней, значит, у нового тела 12 вершин."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Сколько плоскостей симметрии у прямой призмы, в основании которой лежит правильный 6-угольник (призма не куб)? [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Вертикальные плоскости проходят через ось призмы и оси симметрии основания: их 6.","Еще одна плоскость делит призму пополам по высоте: 6 + 1 = 7."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Сколько плоскостей симметрии у прямой призмы, в основании которой лежит правильный 10-угольник (призма не куб)? [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"11"}},"hints":["Вертикальные плоскости проходят через ось призмы и оси симметрии основания: их 10.","Еще одна плоскость делит призму пополам по высоте: 10 + 1 = 11."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"У выпуклого многогранника все грани — пятиугольники, в каждой вершине сходятся 3 ребра. Сколько у него граней?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$32$","$20$","$30$","$12$"],"explanations":["Это сумма вершин и граней: ребра в ответ не входят","Это число вершин, а не граней","Это число ребер, а не граней",""],"answer":[3]}},"hints":["Выразите $P$ и $B$ через $\\Gamma$: $P = \\frac{5\\Gamma}{2}$, $B = \\frac{2P}{3}$.","Подставьте в $B-P + \\Gamma = 2$: $B = \\frac{5\\Gamma}{3}$, и получается $\\Gamma \\cdot \\frac{1}{6} = 2$; значит, $\\Gamma = 12$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"У выпуклого многогранника все грани — треугольники, в каждой вершине сходятся 5 ребер. Сколько у него граней?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$12$","$20$","$32$","$30$"],"explanations":["Это число вершин, а не граней","","Это сумма вершин и граней: ребра в ответ не входят","Это число ребер, а не граней"],"answer":[1]}},"hints":["Выразите $P$ и $B$ через $\\Gamma$: $P = \\frac{3\\Gamma}{2}$, $B = \\frac{2P}{5}$.","Подставьте в $B-P + \\Gamma = 2$: $B = \\frac{3\\Gamma}{5}$, и получается $\\Gamma \\cdot \\frac{1}{10} = 2$; значит, $\\Gamma = 20$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решавр: «Многогранник составлен из 6 равных ромбов с углами $60^\\circ$ и $120^\\circ$, в каждой вершине по 3 ребра, как у куба, значит, это правильный многогранник». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Грани — ромбы с острым углом, а не правильные многоугольники","Ошибки нет: это куб","Ошибки нет: равных граней достаточно","Достаточно проверить, что в каждой вершине одно число ребер"],"explanations":["","У куба грани — квадраты, а здесь углы граней разные","Равенство граней — лишь часть первого условия: грань должна быть еще и правильным многоугольником","Это лишь второе условие: грани должны быть еще и равными правильными многоугольниками"],"answer":[0]}},"hints":["Правильный многогранник — это не только равные грани и одинаковое число ребер.","У квадрата диагонали равны, а у этой грани не равны: угол ромба $60^\\circ$, а не $90^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решавр: «Многогранник составлен из 12 равных ромбов, у которых диагонали относятся как $1 : \\sqrt{2}$, значит, это правильный многогранник». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: равных граней достаточно","Грани — ромбы с острым углом, а не правильные многоугольники","Достаточно проверить, что в каждой вершине одно число ребер","Ошибки нет: это куб"],"explanations":["Равенство граней — лишь часть первого условия: грань должна быть еще и правильным многоугольником","","Это лишь второе условие: грани должны быть еще и равными правильными многоугольниками","У куба грани — квадраты, а здесь углы граней разные"],"answer":[1]}},"hints":["Правильный многогранник — это не только равные грани и одинаковое число ребер.","У квадрата диагонали равны, а у этой грани не равны: они относятся как $1 : \\sqrt{2}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр: «У правильного тетраэдра есть центр симметрии — центр описанной сферы». Верно ли это?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Нет, но есть центр у любой грани, и этого достаточно","Нет, центра симметрии у этого тела нет: образ вершины не является вершиной","Да: центр описанной сферы всегда центр симметрии","Да, если все ребра равны"],"explanations":["Центр симметрии тела — одна точка для всего тела, у грани своя симметрия","","Сфера симметрична, но тело — нет: образ вершины не вершина","Равенство ребер центра не создает: у правильного тетраэдра и у пирамиды с равными ребрами центра симметрии нет"],"answer":[1]}},"hints":["Центр симметрии переводит каждую вершину в вершину этого же тела.","У правильного тетраэдра это не выполняется: вершина перешла бы в точку за гранью на продолжении высоты, а там вершины нет."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр: «У правильной четырехугольной пирамиды есть центр симметрии — центр описанной сферы». Верно ли это?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Да: центр описанной сферы всегда центр симметрии","Да, если все ребра равны","Нет, но есть центр у любой грани, и этого достаточно","Нет, центра симметрии у этого тела нет: образ вершины не является вершиной"],"explanations":["Сфера симметрична, но тело — нет: образ вершины не вершина","Равенство ребер центра не создает: у правильного тетраэдра и у пирамиды с равными ребрами центра симметрии нет","Центр симметрии тела — одна точка для всего тела, у грани своя симметрия",""],"answer":[3]}},"hints":["Центр симметрии переводит каждую вершину в вершину этого же тела.","У правильной четырехугольной пирамиды это не выполняется: вершина пирамиды перешла бы за основание."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>