Карточки
Тесты
Зави
Параллелепипед и куб. Диагонали
Параллелепипед и куб. Диагонали
Вы уже знаете, что такое призма. Сегодня рассмотрим призму, в основании которой лежит параллелограмм, — параллелепипед. Докажем, что его противоположные грани параллельны и равны, а диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Затем выведем формулу диагонали прямоугольного параллелепипеда и куба.
Вопрос на весь урок: влезет ли прямая палка длиной 1,5 м в коробку-куб с ребром 1 м? Ответ — в последнем разделе.
Коробка — это призма с параллелограммом в основании
Возьмем бумажную модель призмы из прошлого урока и выберем основание — параллелограмм $ABCD$. Боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ параллельны и равны, поэтому боковые грани — тоже параллелограммы. Получилось тело, у которого все шесть граней — параллелограммы. Так устроена коробка, даже если ее стенки перекошены.
Определение
Параллелепипед — это призма, основание которой — параллелограмм.
Запись $ABCDA_1B_1C_1D_1$: нижнее основание $ABCD$, вершина $A_1$ лежит над $A$, $B_1$ — над $B$ и так далее.
У параллелепипеда 6 граней, 12 ребер и 8 вершин. Две грани, у которых нет общих вершин, называют противоположными. На чертеже это $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, $AA_1B_1B$ и $DD_1C_1C$, $AA_1D_1D$ и $BB_1C_1C$.
Все грани — параллелограммы, поэтому любую пару противоположных граней можно принять за основания. Что противоположные грани параллельны и равны, докажем в следующем разделе; тогда любую стенку можно взять за основание и коробка останется призмой.
Противоположные стенки — один и тот же лист, сдвинутый вдоль ребра
Посмотрим на грани $AA_1B_1B$ и $DD_1C_1C$. Сдвинем первую грань вдоль ребра $AD$ на его длину. Точка $A$ перейдет в $D$, точка $B$ — в $C$, потому что $BC$ параллельно $AD$ и равно ему. Так же $A_1$ перейдет в $D_1$, а $B_1$ — в $C_1$. Грань совпала с противоположной.
Кажется, что противоположные стенки коробки — один лист, перенесенный параллельно. Один чертеж — еще не доказательство, поэтому докажем.
Теорема
Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
Доказательство
Дано: $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед. Доказать: грани $AA_1B_1B$ и $DD_1C_1C$ параллельны и равны (для двух других пар рассуждение такое же).
Шаг 1. $AB \parallel DC$, так как $ABCD$ — параллелограмм. $AA_1 \parallel DD_1$, так как $AA_1D_1D$ — параллелограмм (боковая грань).
Шаг 2. Пересекающиеся прямые $AB$ и $AA_1$ плоскости $AA_1B_1$ соответственно параллельны прямым $DC$ и $DD_1$ плоскости $DD_1C_1$. По признаку параллельности плоскостей эти плоскости параллельны.
Шаг 3. $AB = DC$ и $AA_1 = DD_1$ как противоположные стороны параллелограммов. Углы $A_1AB$ и $D_1DC$ равны как углы с соответственно сонаправленными сторонами.
Шаг 4. У параллелограммов $AA_1B_1B$ и $DD_1C_1C$ соответственно равны две смежные стороны и угол между ними, значит, они равны. Что и требовалось доказать.
Все четыре диагонали встречаются в центре коробки
Определение
Диагональ параллелепипеда — отрезок, соединяющий две вершины, которые не лежат в одной грани.
У параллелепипеда четыре диагонали: $AC_1$, $BD_1$, $CA_1$ и $DB_1$.
Представьте, что внутри коробки натянуты четыре нитки — от каждого угла к противоположному. На чертеже видно, что все они проходят через одну точку, и эта точка — середина каждой нитки. Докажем это для любого параллелепипеда, даже перекошенного.
Теорема
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Доказательство
Шаг 1. Рассмотрим четырехугольник $AB_1C_1D$. $AD \parallel BC$ и $AD = BC$, так как $ABCD$ — параллелограмм. $BC \parallel B_1C_1$ и $BC = B_1C_1$, так как $BB_1C_1C$ — параллелограмм. Две прямые, параллельные третьей, параллельны, поэтому $AD \parallel B_1C_1$ и $AD = B_1C_1$.
Шаг 2. Параллельные прямые $AD$ и $B_1C_1$ задают плоскость, значит, $AB_1C_1D$ — плоский четырехугольник. Две его противоположные стороны параллельны и равны, поэтому $AB_1C_1D$ — параллелограмм.
Шаг 3. Диагонали параллелограмма $AB_1C_1D$ — отрезки $AC_1$ и $B_1D$ — пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Обозначим эту точку $O$: она середина $AC_1$.
Шаг 4. Так же четырехугольники $AA_1C_1C$ и $ABC_1D_1$ — параллелограммы. Поэтому диагонали $CA_1$ и $BD_1$ тоже проходят через середину $AC_1$, то есть через точку $O$, и делятся ею пополам. Что и требовалось доказать.
Точка $O$ — центр симметрии параллелепипеда: каждая вершина симметрична противоположной вершине относительно $O$. Это и есть центр коробки.
Обычная коробка — прямоугольный параллелепипед
Коробка из-под обуви не перекошена: ее боковые ребра перпендикулярны дну, а дно — прямоугольник. Такое тело вы встречали в 5 классе.
Определение
Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию, а основание — прямоугольник. Все шесть его граней — прямоугольники.
Длины трех ребер, выходящих из одной вершины, называют измерениями прямоугольного параллелепипеда: $a = AB$, $b = AD$, $c = AA_1$.
Остальные девять ребер ничего нового не добавляют. Каждое из них параллельно и равно одному из ребер $AB$, $AD$, $AA_1$: у коробки четыре ребра-длины, четыре ребра-ширины и четыре ребра-высоты.
Важно
Измерения берут из одной вершины. Ребра $AB$, $DC$ и $A_1B_1$ — это одно и то же измерение, взятое три раза.
Длину диагонали дают две теоремы Пифагора
Диагональ $AC_1$ — самая длинная прямая палочка, которая помещается в коробке: расстояние между двумя любыми точками коробки не больше наибольшего расстояния между ее вершинами, а оно равно длине диагонали (это покажет формула ниже: диагональ длиннее любого ребра и любой диагонали грани). Как найти ее длину по измерениям? Пройдем от $A$ к $C_1$ в два шага: сначала по дну до точки $C$, потом вверх по ребру $CC_1$.
На дне лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $B$. Вверх поднимается треугольник $ACC_1$: ребро $CC_1$ перпендикулярно дну, поэтому угол $C$ в нем прямой. Его катеты — диагональ дна $AC$ и высота $c$, гипотенуза — диагональ коробки.
Теорема
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
$$d^2=a^2+b^2+c^2$$
Доказательство
Шаг 1. В прямоугольнике $ABCD$ угол $B$ прямой, $BC = AD = b$. По теореме Пифагора $AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + b^2$.
Шаг 2. Ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$, а прямая $AC$ лежит в этой плоскости. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, $CC_1 \perp AC$.
Шаг 3. В прямоугольном треугольнике $ACC_1$ по теореме Пифагора $AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Что и требовалось доказать.
Для каждой из четырех диагоналей выкладка одна и та же, поэтому все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
Пример
Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4, 4 и 7. Найдите диагональ основания и диагональ параллелепипеда.
Решение. По дну: $AC^2 = 4^2 + 4^2 = 32$, $AC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66$. Вверх: $d^2 = AC^2 + 7^2 = 32 + 49 = 81$, $d = 9$.
Проверка смысла: диагональ длиннее наибольшего измерения $7$, но короче пути по трем ребрам $4 + 4 + 7 = 15$.
Ответ: $4\sqrt{2}$ и $9$.
Ошибка
Как ошибаются. Пишут $d=a+b+c$ — «прошли от $A$ до $C_1$ по ребрам». Или пишут $d=\sqrt{a^2+b^2}$ — нашли диагональ дна и остановились.
Проверка на кубе с ребром 1. По теореме $d^2 = 1 + 1 + 1 = 3$, $d = \sqrt{3} \approx 1{,}73$. Сумма $1 + 1 + 1 = 3$ — это длина ломаной $ABCC_1$, а она длиннее отрезка $AC_1$. Число $\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ — это $AC$, диагональ дна: высота потеряна.
Где ломается рассуждение. Длины перпендикулярных отрезков не складывают — по теореме Пифагора складывают их квадраты. Во втором случае сделан только первый из двух шагов: «по дну» без «вверх».
У куба все три шага одинаковы
Куб — прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны: $a = b = c$. Все его грани — равные квадраты. Подставим в формулу диагонали: $d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$.
Следствие
Диагональ куба с ребром $a$ равна $a\sqrt{3}$, диагональ его грани равна $a\sqrt{2}$.
$$d=a\sqrt{3}$$
Вернемся к вопросу из начала урока: палка длиной 1,5 м и куб с ребром 1 м (палку считаем тонкой). Вдоль ребра она не поместится: $1 < 1{,}5$. По диагонали грани тоже нет: $\sqrt{2} \approx 1{,}41 < 1{,}5$. По диагонали куба поместится: $\sqrt{3} \approx 1{,}73 > 1{,}5$.
Выигрыш дает второй шаг «вверх»: диагональ грани лежит на дне, а диагональ куба еще поднимается на высоту ребра.
Пример
Диагональ куба равна 6. Найдите ребро куба и диагональ его грани.
Решение. Из $d = a\sqrt{3}$ получаем $a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$. Диагональ грани: $a\sqrt{2} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{6} \approx 4{,}90$.
Проверка: $3 \cdot (2\sqrt{3})^2 = 3 \cdot 12 = 36 = 6^2$. Диагональ грани короче диагонали куба: $4{,}90 < 6$.
Ответ: $2\sqrt{3}$ и $2\sqrt{6}$.
Обратите внимание
Ребро куба не равно трети диагонали: диагональ делят на $\sqrt{3}$, а не на $3$. Проверка: при $a = 2$ диагональ равна $2\sqrt{3} \approx 3{,}46$, а не $6$.
Угол между диагональю куба и плоскостью основания (повышенный уровень)
Скрыть
Проекция диагонали $AC_1$ на плоскость основания — диагональ грани $AC$, потому что $CC_1$ — перпендикуляр к этой плоскости. Угол $\varphi$ между $AC_1$ и плоскостью основания — угол $C_1AC$.
В прямоугольном треугольнике $ACC_1$: $\operatorname{tg} \varphi = \frac{CC_1}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то есть $\varphi \approx 35{,}3^\circ$. Ответ не зависит от размера куба.
Вывод
Параллелепипед — призма с параллелограммом в основании. Его противоположные грани параллельны и равны, а четыре диагонали встречаются в центре и делятся пополам. В прямоугольном параллелепипеде диагональ находят за два шага теоремы Пифагора: $d^2=a^2+b^2+c^2$, у куба $d=a\sqrt{3}$. Эти формулы понадобятся в задачах на сечения, углы и расстояния в многогранниках.
Часто задаваемые вопросы
У любого параллелепипеда грани — параллелограммы, и коробка может быть перекошена. У прямоугольного боковые ребра перпендикулярны основанию, а все грани — прямоугольники. Для прямоугольного параллелепипеда формула $d^2=a^2+b^2+c^2$ верна всегда; для произвольного применять ее без дополнительного обоснования нельзя.
Нет. Для любого параллелепипеда верно только то, что диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Равны они у прямоугольного параллелепипеда: для каждой диагонали получается одна и та же сумма $a^2+b^2+c^2$.
Диагональ $AC_1$ не является гипотенузой треугольника, катеты которого — ребра. Она гипотенуза треугольника $ACC_1$, и один его катет — диагональ дна $AC$ — сначала нужно найти. Поэтому по трем измерениям теорему Пифагора применяют два раза. Если диагональ основания уже известна, остается только второй шаг.
Да. Все шесть граней — параллелограммы, а противоположные грани параллельны и равны. Поэтому параллелепипед — призма с основаниями в любой паре противоположных граней.
Подставьте куб с ребром 1. Верная формула дает $\sqrt{3} \approx 1{,}73$. Если вышло $3$ или $\sqrt{2}$, формула неверна.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий