Параллелепипед

Призма, в основании которой лежит параллелограмм

Свойство граней параллелепипеда

Противоположные грани параллельны и равны

Диагонали параллелепипеда

Пересекаются в одной точке и делятся ею пополам

Прямоугольный параллелепипед

Прямой параллелепипед с прямоугольником в основании; грани — прямоугольники

Диагональ прямоугольного параллелепипеда

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$, где $a, b, c$ — три измерения

Диагональ куба

$d = a\sqrt{3}$, где $a$ — ребро куба

Грани и основания параллелепипеда

У параллелепипеда 6 граней, 12 ребер и 8 вершин. Все грани — параллелограммы. Противоположные грани не имеют общих вершин; таких пар три. Любую пару противоположных граней можно будет принять за основания — это следует из теоремы следующего раздела.

Пространственные диагонали и центр симметрии

Диагональ параллелепипеда соединяет две вершины, которые не лежат в одной грани. Таких отрезков четыре: $AC_1$, $BD_1$, $CA_1$, $DB_1$. Их общая середина — центр симметрии: противоположные вершины симметричны относительно этой точки. У прямоугольного параллелепипеда все четыре диагонали равны; у произвольного они могут различаться.

Три измерения и два шага Пифагора

Измерения прямоугольного параллелепипеда — длины трех ребер, выходящих из одной вершины: $a=AB$, $b=AD$, $c=AA_1$. Каждое из остальных ребер параллельно и равно одному из них. Сначала находим диагональ основания: $AC^2=a^2+b^2$. Затем используем $CC_1\perp AC$: $AC_1^2=AC^2+c^2$, поэтому $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Эта формула требует прямоугольного параллелепипеда.

Куб: ребро и диагональ грани

Куб — прямоугольный параллелепипед с равными измерениями: $a=b=c$. Все его грани — равные квадраты. Диагональ грани равна $a\sqrt{2}$, ее квадрат — $2a^2$. Для диагонали куба $d^2=3a^2$; обратная формула $a=\frac{d}{\sqrt{3}}$, а не $\frac{d}{3}$.

Палка в коробке: проверка длины

Самая длинная тонкая прямая палка внутри прямоугольной коробки лежит между противоположными вершинами. Палка длины $L$ помещается внутри, если $L\leq d$. При положительных измерениях $d$ больше каждого ребра, но $d<a+b+c$: сумма ребер дает ломаную. Выражение $\sqrt{a^2+b^2}$ дает только диагональ основания. Проверка на кубе с ребром 1: $d=\sqrt{3}$, а не $3$ и не $\sqrt{2}$.

Угол диагонали с основанием

В прямоугольном параллелепипеде проекция $AC_1$ на основание — $AC$, поэтому угол $\varphi$ между диагональю и плоскостью основания равен углу $C_1AC$. В прямоугольном треугольнике $ACC_1$ тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $\operatorname{tg}\varphi=\frac{CC_1}{AC}$. У куба $\operatorname{tg}\varphi=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\varphi\approx35{,}3^\circ$; угол не зависит от размера куба.