Карточки
Тесты
Зави
Пирамида. Правильная пирамида, тетраэдр
Пирамида. Правильная пирамида, тетраэдр
Вы уже знаете призму и параллелепипед и куб: у них два равных основания. Сегодня — многогранник с одним основанием и одной вершиной сверху, пирамида. Разберем ее элементы, высоту, правильную пирамиду и апофему, правильный тетраэдр и углы наклона ребер и граней.
Пирамида — это шатер на столе
Пирамида Хеопса в Гизе стоит на квадратном основании со стороной около 230 м, ее первоначальная высота — около 147 м. Четыре грани одинаковые. Где на земле находится точка ровно под вершиной? Какой длины путь по середине грани от земли до вершины и насколько круто наклонена грань? Ответим по ходу урока.
Представьте шатер на столе. Пол шатра — плоский многоугольник, а скаты сходятся в одной точке наверху. Каждый скат натянут между стороной пола и верхушкой, поэтому он треугольный. Так устроена любая пирамида.
Определение
Пирамида — многогранник, составленный из многоугольника $A_1A_2\ldots A_n$ и $n$ треугольников $SA_1A_2,\ SA_2A_3,\ \ldots,\ SA_nA_1$ с общей вершиной $S$. Многоугольник — основание, треугольники — боковые грани, точка $S$ — вершина пирамиды, отрезки $SA_1,\ \ldots,\ SA_n$ — боковые ребра.
Пирамиду называют по основанию: $SABC$ — треугольная, $SABCD$ — четырехугольная. Посчитаем элементы $n$-угольной пирамиды. Боковых граней столько же, сколько сторон основания, — $n$, вместе с основанием граней $n+1$. Ребер основания $n$ и боковых ребер $n$, всего $2n$. Вершин $n+1$: $n$ в основании и $S$. Треугольная пирамида — это тетраэдр $DABC$ из модуля о параллельности: у нее любая грань может служить основанием.
Высота показывает, куда упадет отвес
Подвесим из вершины шатра нитку с грузом. Нитка натянется вертикально и коснется пола в точке $O$. Отрезок $SO$ перпендикулярен плоскости пола — это и есть высота.
Определение
Высота пирамиды — перпендикуляр $SO$, проведенный из вершины $S$ к плоскости основания. Его длину тоже называют высотой и обозначают $h$.
Груз не обязательно падает в середину пола. Если ребро $SA$ перпендикулярно основанию, высота совпадает с этим ребром. Если шатер сильно наклонен, точка $O$ лежит вне основания. Если $O$ не совпадает с $A$, то $SO \perp OA$, треугольник $SOA$ прямоугольный: боковое ребро — гипотенуза, высота — катет, и $SO < SA$. Если $O=A$, высота совпадает с ребром $SA$. Во всех случаях $SO^2 = SA^2-OA^2$ и $SO \le SA$.
У правильной пирамиды отвес падает точно в центр
У шатра с равными скатами центральный шест стоит в середине пола. Это свойство превращают в определение.
Определение
Правильная пирамида — пирамида, основание которой — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину с центром основания, является ее высотой.
Центр правильного многоугольника — центр описанной около него окружности. У правильного треугольника это точка пересечения медиан, у квадрата — точка пересечения диагоналей. Расстояние от центра до вершины основания — радиус $R$, до стороны — радиус $r$ вписанной окружности.
Теорема
Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
$$SA = \sqrt{h^2+R^2}$$
Почему это верно
Скрыть
Пусть $SA_1A_2\ldots A_n$ — правильная пирамида, $O$ — центр основания. Отрезок $SO$ перпендикулярен плоскости основания, поэтому треугольники $SOA_1,\ SOA_2,\ \ldots,\ SOA_n$ прямоугольные. У них общий катет $SO$ и равные катеты $OA_1 = OA_2 = \ldots = OA_n = R$. Значит, они равны по двум катетам и $SA_1 = SA_2 = \ldots = SA_n$. Боковые грани имеют равные боковые стороны и равные основания (стороны правильного многоугольника), поэтому равны по трем сторонам.
Пример 1
В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $12\sqrt{2}$, боковое ребро равно 13. Найдем высоту.
Центр $O$ квадрата — точка пересечения диагоналей. $AC = 12\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 24$, поэтому $OA = R = 12$. В прямоугольном треугольнике $SOA$: $SO^2 = 13^2-12^2 = 169-144 = 25$, $SO = 5$.
Ответ: 5.
Для любой пирамиды с равными боковыми ребрами верно и такое: равны и проекции ребер $OA_1,\ \ldots,\ OA_n$, поэтому отвес падает в точку, равноудаленную от вершин основания, — в центр описанной окружности. Правильной такая пирамида будет, если ее основание — правильный многоугольник. Отсюда ответ на первый вопрос о пирамиде Хеопса: точка под вершиной — центр квадрата, пересечение его диагоналей.
Апофема идет по середине ската
Проведем на скате шатра линию от верхушки к середине нижнего края. По ней стекает капля дождя: это самый крутой путь по грани.
Определение
Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. Обозначение: $SM$ или $l$.
Боковая грань $SAB$ — равнобедренный треугольник, поэтому его высота $SM$ является медианой: $M$ — середина $AB$. Треугольник $OAB$ тоже равнобедренный ($OA = OB = R$), значит, $OM \perp AB$ и $OM = r$. Тот же вывод дает теорема о трех перпендикулярах: проекция $OM$ перпендикулярна $AB$, значит, и наклонная $SM \perp AB$. В треугольнике $SOM$ угол $O$ прямой, поэтому
Ошибка
Апофему принимают за высоту пирамиды или за боковое ребро: «из вершины к основанию — значит, апофема».
Проверим на числах. Пусть сторона основания правильной четырехугольной пирамиды $a = 18$, высота $h = 12$. Тогда $OM = 9$, апофема $l = \sqrt{12^2+9^2} = 15$, а боковое ребро $SA = \sqrt{15^2+9^2} = \sqrt{306} \approx 17{,}5$. Три разных числа: $12 < 15 < 17{,}5$.
Где ломается рассуждение: все три отрезка начинаются в $S$, но кончаются в разных точках. Высота — в центре $O$, перпендикулярно основанию. Апофема — в середине $M$ стороны, перпендикулярно этой стороне. Ребро — в вершине $A$. Высота — катет треугольника $SOM$, апофема — его гипотенуза.
Пример 2
Найдем длину пути по середине грани пирамиды Хеопса. Высота $h \approx 147$ м, сторона основания $a \approx 230$ м, значит, $r = OM \approx 115$ м.
$l = \sqrt{147^2+115^2} = \sqrt{21\,609+13\,225} = \sqrt{34\,834} \approx 186{,}6$ м. Боковое ребро длиннее: $SA = \sqrt{l^2+115^2} \approx 219$ м.
Ответ: путь по середине грани — около 187 м.
Шатер, у которого все ребра одинаковые
Склеим шатер из четырех одинаковых равносторонних треугольников. Получится треугольная пирамида, которую можно поставить на любую грань — она выглядит одинаково.
Определение
Правильный тетраэдр — тетраэдр, у которого все шесть ребер равны. Все его грани — равные равносторонние треугольники.
Правильный тетраэдр — частный случай правильной треугольной пирамиды. Обратное неверно: у правильной треугольной пирамиды боковые ребра равны между собой, но могут быть не равны сторонам основания. Боковые ребра тетраэдра $DABC$ равны, поэтому высота $DO$ падает в центр $O$ грани $ABC$. Для равностороннего треугольника $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Правило
Высота правильного тетраэдра с ребром $a$: из треугольника $DOA$ $h^2 = a^2-\frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$.
$$h = a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$$
Пример 3
Ребро правильного тетраэдра равно 3. Найдем высоту.
$R = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. $h^2 = 3^2-(\sqrt{3})^2 = 9-3 = 6$, $h = \sqrt{6} \approx 2{,}45$. Сверка с формулой: $\frac{3\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6}$.
Апофема этого тетраэдра — высота грани: $\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}6$. Она длиннее высоты $h$, как и в любой правильной пирамиде.
Ответ: $\sqrt{6}$.
Ребро и скат наклонены по-разному
Насколько круто стоит шатер, можно измерить двумя углами. Отвес $SO$ дает проекцию на основание: проекция ребра $SA$ — отрезок $OA$, проекция апофемы $SM$ — отрезок $OM$.
Правило
Угол бокового ребра с основанием — угол между ребром и его проекцией: $\angle SAO$. Угол боковой грани с основанием — линейный угол двугранного угла при ребре $AB$: $SM \perp AB$ и $OM \perp AB$, поэтому это $\angle SMO$.
$$\operatorname{tg} \angle SAO = \frac{h}{R},\qquad \operatorname{tg} \angle SMO = \frac{h}{r}$$
Пример 4
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 4, высота равна $2\sqrt{3}$. Найдем углы наклона грани и ребра к основанию.
Грань: $OM = 2$, $\operatorname{tg} \angle SMO = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$, $\angle SMO = 60^\circ$.
Ребро: $OA = 2\sqrt{2}$, $\operatorname{tg} \angle SAO = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1{,}22$, $\angle SAO \approx 50{,}8^\circ$.
Ответ: $60^\circ$ и около $50{,}8^\circ$.
У правильной пирамиды ребро лежит положе грани: у них общий катет $h$, а $R > r$. Теперь последний вопрос о пирамиде Хеопса: $\operatorname{tg} \angle SMO = \frac{147}{115} \approx 1{,}28$, наклон грани — около $52^\circ$. Ребро наклонено положе, примерно на $42^\circ$.
Вывод
Пирамиды встречаются в задачах ЕГЭ о многогранниках, и во многих задачах на высоту, ребро, апофему и углы правильной пирамиды помогает один прием: найти нужный прямоугольный треугольник с катетом-высотой. Вспоминайте шатер и отвес. Памятка ниже — для правильной пирамиды. Здесь $R$ — радиус описанной окружности основания, $r$ — радиус вписанной.
Часто задаваемые вопросы
У правильной пирамиды апофема — это и есть высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды. У неправильной пирамиды высоты боковых граней могут быть как равными, так и различными; слово «апофема» к ним не применяют.
Может. Если пирамида сильно наклонена, отвес из вершины падает за пределы основания. Высота все равно определена: это перпендикуляр к плоскости основания, а не к самому многоугольнику.
Нет. У правильного тетраэдра все шесть ребер равны. У правильной треугольной пирамиды основание — правильный треугольник, боковые ребра равны между собой, но могут отличаться от сторон основания.
Угол между гранью и основанием — линейный угол двугранного угла: его стороны перпендикулярны общему ребру $AB$. Перпендикулярны $AB$ именно апофема $SM$ и отрезок $OM$, а боковое ребро $SA$ с $AB$ не перпендикулярно: они пересекаются в точке $A$ под острым углом $SAB$.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий