Правильный многогранник

Выпуклый многогранник, у которого все грани — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно число ребер

Пять правильных многогранников

Тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр: других правильных многогранников нет

Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника

Меньше $360^\circ$; поэтому правильных многогранников всего пять

Формула Эйлера

Для выпуклого многогранника $B-P + \Gamma =$ 2

Симметрия куба

Центр симметрии, 9 плоскостей и 9 осей; у тетраэдра центра симметрии нет

Двойственность

Центры граней куба — вершины октаэдра; центры граней октаэдра — вершины куба

Что проверять у правильного многогранника

Три вещи: многогранник выпуклый; все грани — равные правильные многоугольники (равны все стороны и все углы); в каждой вершине одно число ребер. Ромбоэдр с ромбами $60^\circ$ и $120^\circ$ не правильный: грани не правильные многоугольники.

Подсчет ребер и вершин

Пусть $B$ — число вершин, $P$ — ребер, $\Gamma$ — граней. Каждое ребро принадлежит двум граням и имеет два конца, поэтому учитывается дважды. Если все грани — $n$-угольники, то $P=\frac{n\Gamma}{2}$; для разных граней $P$ равняется половине суммы чисел их сторон. Если у каждой вершины $q$ ребер, то $B=\frac{2P}{q}$. При одинаковой длине ребер $a$ сумма их длин равна $Pa$.

Центр симметрии

Точки $X$ и $X_1$ симметричны относительно $O$, если $O$ — середина отрезка $XX_1$; сама точка $O$ неподвижна. Точка $O$ является центром симметрии фигуры, если отражение относительно нее переводит фигуру в себя, в частности вершины многогранника — в вершины. У куба это пересечение диагоналей; у правильного тетраэдра такого центра нет.

Ось симметрии

Для различных симметричных точек $X$ и $X_1$ прямая проходит через середину $XX_1$ и перпендикулярна ему; точки самой прямой неподвижны. Фигура переходит в себя при повороте вокруг этой прямой на $180^\circ$. У куба 9 таких осей: 3 через центры противоположных граней, 6 через середины противоположных ребер. У правильного тетраэдра 3 оси через середины противоположных ребер. Диагональ куба допускает поворот на $120^\circ$, но не является осью симметрии в этом определении.

Плоскость симметрии

Для различных симметричных точек $X$ и $X_1$ плоскость проходит через середину $XX_1$ и перпендикулярна ему; точки самой плоскости неподвижны. Отражение в ней переводит фигуру в себя. У куба 9 таких плоскостей: 3 через середины четырех параллельных ребер и 6 через пары противоположных ребер. У правильного тетраэдра их 6: каждая проходит через ребро и середину противоположного ребра.

Эйлер и выпуклость

Для выпуклого многогранника $B-P+\Gamma=2$. У рамки с дырой, склеенной из четырех брусков, $B=16$, $P=32$, $\Gamma=16$ и $B-P+\Gamma=0$: условие «выпуклый» отбросить нельзя.