Пирамида

Многогранник из основания-многоугольника и треугольных граней с общей вершиной

Высота пирамиды

Перпендикуляр из вершины к плоскости основания

Правильная пирамида

Основание — правильный многоугольник, высота падает в его центр

Апофема

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины пирамиды

Правильный тетраэдр

Пирамида, у которой все шесть ребер равны

Катеты треугольника апофемы

Гипотенуза — апофема, катеты — высота и радиус вписанной окружности основания

Элементы и название пирамиды

Пирамиду называют по многоугольнику основания. У $n$-угольной пирамиды $n$ боковых граней, всего $n+1$ граней, $2n$ ребер и $n+1$ вершин. Боковые ребра соединяют общую вершину с вершинами основания. Треугольная пирамида — тетраэдр; любую его грань можно выбрать основанием.

Высота и боковые ребра

Для любой пирамиды $SO^2=SA^2-OA^2$ и $SO\le SA$; равенство возможно при $O=A$. Точка $O$ может лежать внутри основания, на его границе или вне его. У правильной пирамиды $OA=R$ — радиус описанной окружности, $SA=\sqrt{h^2+R^2}$; все боковые ребра равны, боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Если боковые ребра любой пирамиды равны, $O$ — центр описанной окружности основания; для правильности нужно еще правильное основание. У правильного треугольника центр — пересечение медиан, у квадрата — диагоналей.

Апофема: два прямоугольных треугольника

В правильной пирамиде $O$ — центр основания, $M$ — середина его стороны $AB$, $a=AB$, $SM=l$. Отрезки $SM$ и $OM$ перпендикулярны $AB$; $OM=r$ — радиус вписанной окружности. В треугольнике $SOM$ апофема — гипотенуза: $l^2=h^2+r^2$. В треугольнике $SMA$ она катет: $SA^2=l^2+(a/2)^2$. Поэтому $h

Высота правильного тетраэдра

При ребре $a$ все грани — равные равносторонние треугольники; высота падает в центр грани. Радиус описанной около грани окружности $R=a/\sqrt{3}$, $h^2=a^2-R^2=2a^2/3$, $h=a\sqrt{2/3}=a\sqrt{6}/3$. Апофема $l=a\sqrt{3}/2$. Правильная треугольная пирамида становится правильным тетраэдром, если боковое ребро равно стороне основания.

Угол бокового ребра с основанием

В правильной пирамиде $SO=h$ — высота, $OA=R$, а $OA$ — проекция ребра $SA$ на основание. Искомый угол — $\angle SAO$; в прямоугольном треугольнике $SOA$ $\operatorname{tg}\angle SAO=h/R$.

Угол боковой грани с основанием

В правильной пирамиде $O$ — центр основания, $M$ — середина стороны $AB$, $SM=l$, $OM=r$, $SO=h$. Отрезки $SM$ и $OM$ перпендикулярны общему ребру $AB$, поэтому линейный угол двугранного угла — $\angle SMO$, $\operatorname{tg}\angle SMO=h/r$. Поскольку $R>r$, наклон грани больше наклона бокового ребра.