Параллелепипед и куб. Диагонали

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Какое утверждение верно для любого параллелепипеда?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Все грани — прямоугольники","Противоположные грани параллельны и равны","Диагонали перпендикулярны","Все ребра равны"],"explanations":["Прямоугольны грани только у прямоугольного параллелепипеда","","Для куба диагонали не перпендикулярны","Так только у ромбоэдра и куба"],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте каждое утверждение на косом параллелепипеде.","Всегда верны свойства противоположных граней."],"step":1},{"id":"1","content":"Какое утверждение верно для любого параллелепипеда?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам","Диагонали скрещиваются","Диагонали параллельны","Диагонали равны"],"explanations":["","Они пересекаются в одной точке","Они пересекаются","Равны диагонали только у прямоугольного параллелепипеда"],"answer":[0]}},"hints":["Проверьте каждое утверждение на косом параллелепипеде.","Диагонали всегда имеют общую середину."],"step":1},{"id":"2","content":"Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 1, 4 и 8. Найдите его диагональ. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.","$d^2 = 1 + 16 + 64 = 81$.","$d = 9$."],"step":1},{"id":"2","content":"Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2, 6 и 9. Найдите его диагональ. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"11"}},"hints":["$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.","$d^2 = 4 + 36 + 81 = 121$.","$d = 11$."],"step":1},{"id":"3","content":"Диагональ куба равна $5\\sqrt{3}$. Ребро куба равно [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$15$","$5$","$5\\sqrt{3}$","$\\frac{5\\sqrt{3}}{3}$"],"answer":1}},"hints":["$d = a\\sqrt{3}$.","$a = 5\\sqrt{3} : \\sqrt{3} = 5$."],"step":1},{"id":"3","content":"Диагональ куба равна $9\\sqrt{3}$. Ребро куба равно [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$\\frac{9\\sqrt{3}}{3}$","$27$","$9$","$9\\sqrt{3}$"],"answer":2}},"hints":["$d = a\\sqrt{3}$.","$a = 9\\sqrt{3} : \\sqrt{3} = 9$."],"step":1},{"id":"4","content":"Ребро куба равно 6. Сопоставьте величину и ее значение.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"labels":["Площадь грани","Квадрат диагонали грани","Квадрат диагонали куба"],"items":["36","72","108","144"],"type":"matcher"}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["Площадь грани: $6^2 = 36$.","Квадрат диагонали грани: $6^2 + 6^2 = 72$.","Квадрат диагонали куба: $3 \\cdot 6^2 = 108$. Лишнее число 144 получается при учетверении площади грани."],"step":1},{"id":"4","content":"Ребро куба равно 9. Сопоставьте величину и ее значение.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"labels":["Площадь грани","Квадрат диагонали грани","Квадрат диагонали куба"],"items":["81","162","243","324"],"type":"matcher"}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["Площадь грани: $9^2 = 81$.","Квадрат диагонали грани: $9^2 + 9^2 = 162$.","Квадрат диагонали куба: $3 \\cdot 9^2 = 243$. Лишнее число 324 получается при учетверении площади грани."],"step":1},{"id":"5","content":"Распределите утверждения.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"labels":["Верно для любого параллелепипеда","Верно только для прямоугольного","Неверно для куба"],"items":[["Противоположные грани параллельны и равны","Диагонали пересекаются в одной точке"],["Все грани — прямоугольники","Все четыре диагонали равны"],["Диагонали перпендикулярны друг другу","Диагональ куба равна его ребру"]],"type":"grouper"}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Одного контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть утверждение «для любого»; совпадения в одном примере для подтверждения мало.","Если нужны прямые углы между ребрами, это только прямоугольный параллелепипед; общие свойства следуют из теорем о гранях и диагоналях.","Остальные утверждения опровергает куб."],"step":1},{"id":"5","content":"Распределите утверждения.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"labels":["Верно для любого параллелепипеда","Верно только для прямоугольного","Неверно для куба"],"items":[["Каждая диагональ делится точкой пересечения пополам","Противоположные ребра параллельны и равны"],["Из каждой вершины выходят три взаимно перпендикулярных ребра","Квадрат каждой из четырех диагоналей равен сумме квадратов трех ребер, выходящих из ее конца"],["Диагональ куба равна сумме трех его ребер","Диагонали куба параллельны"]],"type":"grouper"}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Одного контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть утверждение «для любого»; совпадения в одном примере для подтверждения мало.","Если нужны прямые углы между ребрами, это только прямоугольный параллелепипед; общие свойства следуют из теорем о гранях и диагоналях.","Остальные утверждения опровергает куб."],"step":1},{"id":"6","content":"Два измерения прямоугольного параллелепипеда равны 6 и 6, его диагональ равна 11. Найдите третье измерение. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["$c^2 = d^2-a^2-b^2$.","$c^2 = 121-36-36 = 49$.","$c = 7$."],"step":1},{"id":"6","content":"Два измерения прямоугольного параллелепипеда равны 1 и 8, его диагональ равна 9. Найдите третье измерение. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["$c^2 = d^2-a^2-b^2$.","$c^2 = 81-1-64 = 16$.","$c = 4$."],"step":1},{"id":"7","content":"Основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник 3 на 4, высота равна 7. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через диагональ основания и параллельной боковому ребру. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"35"}},"hints":["Сечение — прямоугольник: одна сторона — диагональ основания, другая — высота.","Диагональ основания: $\\sqrt{9 + 16} = 5$.","$S = 5 \\cdot 7 = 35$."],"step":1},{"id":"7","content":"Основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник 6 на 8, высота равна 3. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через диагональ основания и параллельной боковому ребру. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Сечение — прямоугольник: одна сторона — диагональ основания, другая — высота.","Диагональ основания: $\\sqrt{36 + 64} = 10$.","$S = 10 \\cdot 3 = 30$."],"step":1},{"id":"8","content":"Решавр нашел диагональ коробки $1 \\times 2 \\times 2$ как $1 + 2 + 2 = 5$. Чему равна диагональ на самом деле?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$2,24$","$4$","$3$","$5$"],"explanations":["Это диагональ одной грани: третье измерение потеряно","Произведение измерений — объем","","Сумма длин трех ребер — длина ломаной, она длиннее диагонали"],"answer":[2]}},"hints":["Измерения перпендикулярны, поэтому длины не складывают.","$d^2 = 1 + 4 + 4 = 9$.","$d = 3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр нашел диагональ коробки $2 \\times 10 \\times 11$ как $2 + 10 + 11 = 23$. Чему равна диагональ на самом деле?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$220$","$23$","$10,2$","$15$"],"explanations":["Произведение измерений — объем","Сумма длин трех ребер — длина ломаной, она длиннее диагонали","Это диагональ одной грани: третье измерение потеряно",""],"answer":[3]}},"hints":["Измерения перпендикулярны, поэтому длины не складывают.","$d^2 = 4 + 100 + 121 = 225$.","$d = 15$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Влезет ли прямая палка длиной 10,5 дм в ящик $2 \\times 6 \\times 9$ дм?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Не влезет: наибольшее ребро 9 дм меньше 10,5 дм","Влезет: диагональ ящика $\\sqrt{121} = 11$ дм больше 10,5 дм","Влезет: диагональ ящика $\\sqrt{4 + 36 + 81} \\approx 12{,}5$ дм больше 10,5 дм","Не влезет: диагональ основания $\\sqrt{40} \\approx 6{,}32$ дм меньше 10,5 дм"],"explanations":["Палку можно положить по диагонали ящика, а не вдоль ребра","","Сумма квадратов равна 121, значит, диагональ равна 11 дм, а не 12,5 дм","Самая длинная палка лежит по диагонали ящика, а не основания"],"answer":[1]}},"hints":["Самая длинная палка лежит вдоль диагонали ящика.","$d = \\sqrt{4 + 36 + 81} = \\sqrt{121} = 11$ дм.","Сравните длину палки с диагональю."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Влезет ли прямая палка длиной 11,5 дм в ящик $2 \\times 6 \\times 9$ дм?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Не влезет: диагональ ящика $\\sqrt{4 + 36 + 81} = 10$ дм меньше 11,5 дм","Не влезет: диагональ ящика $\\sqrt{121} = 11$ дм меньше 11,5 дм","Влезет: диагональ ящика 11 дм, палка длиннее лишь на 0,5 дм, ее можно слегка наклонить","Влезет: сумма измерений 17 дм больше 11,5 дм"],"explanations":["Сумма квадратов равна 121, значит, диагональ равна 11 дм, а не 10 дм","","Прямая палка не может быть длиннее самого длинного отрезка внутри ящика: 11,5 > 11","Сумма измерений — длина ломаной, а палка прямая"],"answer":[1]}},"hints":["Самая длинная палка лежит вдоль диагонали ящика.","$d = \\sqrt{4 + 36 + 81} = \\sqrt{121} = 11$ дм.","Сравните длину палки с диагональю."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна $6$, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $45^\\circ$. Найдите боковое ребро. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Боковое ребро, диагональ основания и диагональ параллелепипеда образуют прямоугольный треугольник.","При $45^\\circ$ треугольник равнобедренный: катеты равны.","$c = 6$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна $3\\sqrt{3}$, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $30^\\circ$. Найдите боковое ребро. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Боковое ребро, диагональ основания и диагональ параллелепипеда образуют прямоугольный треугольник.","Катет против $30^\\circ$: $c = d_{\\text{осн}} \\cdot \\operatorname{tg} 30^\\circ = 3\\sqrt{3} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{3}}$.","$c = 3$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>