8. МКТ и молекулярная физика: Работа, количество теплоты, внутренняя энергия
Порция идеального одноатомного газа обладала внутренней энергией $300\space Дж.$ В некотором процессе давление этой порции газа увеличилось в $6$ раз, а объем уменьшился в $1.5$ раза. Чему стала равна внутренняя энергия газа в конце данного процесса?
Ответ дайте в джоулях.
Используем выражение для внутренней энергии идеального одноатомного газа:
$$U = \frac{3}{2}pV$$ $1.$ Запишем начальную энергию: $$U_1 = \frac{3}{2}p_1V_1 = 300\,\text{Дж}$$$2.$ Выразим конечные параметры: $$p_2 = 6p_1$$ $$V_2 = \frac{V_1}{1.5}$$$3.$ Найдем конечную энергию: $$U_2 = \frac{3}{2}p_2V_2 = \frac{3}{2} \cdot 6p_1 \cdot \frac{V_1}{1.5} = \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{1.5} \cdot p_1V_1 = 4 \cdot \frac{3}{2}p_1V_1 = 4U_1$$ $4.$ Вычислим значение: $$U_2 = 4 \cdot300\,\text{Дж} = 1\space200\,\text{Дж}$$
20
На рисунке показан циклический процесс изменения состояния $1\space моль$ одноатомного идеального газа. На каком участке цикла изменение внутренней энергии газа равно полученному газом количеству теплоты?
Используем первый закон термодинамики:
$$\Delta U = Q-A$$ $1.$ Анализ процесса $1$ (изотермический):
$\Delta T = 0 \Rightarrow \Delta U = 0;$
$p \uparrow, V \downarrow \Rightarrow A < 0.$
Из первого закона: $Q = A < 0$ (газ отдает тепло).
$2.$ Анализ процесса $2$ (изохорный):
$V = const \Rightarrow A = 0;$
$T \uparrow \Rightarrow \Delta U > 0.$
Из первого закона: $\Delta U = Q$ (вся теплота идет на изменение внутренней энергии).
20
В некотором процессе идеальный газ получил количество теплоты $50\space Дж.$ При этом внутренняя энергия газа увеличилась на $20\spaceДж.$ Чему равна работа, совершенная газом в этом процессе?
Ответ запишите в джоулях.
Используем первый закон термодинамики: $$Q = A + \Delta U$$ $1.$ Выразим работу газа: $$A = Q-\Delta U$$ $2.$ Подставим известные значения: $$A = 50\,\text{Дж}-20\,\text{Дж} = 30\,\text{Дж}$$
20
В сосуде находился идеальный одноатомный газ при температуре $250\space К.$ Половину газа выпустили из сосуда, а оставшийся в нем газ нагрели до температуры $600\space К.$ Во сколько раз внутренняя энергия содержимого сосуда в конечном состоянии отличается от внутренней энергии содержимого сосуда в начальном состоянии?
Используем формулу внутренней энергии идеального одноатомного газа:$$U = \frac{3}{2}\nu RT$$ $1.$ Начальная внутренняя энергия:$$U_1 = \frac{3}{2}\nu R \cdot 250\,\text{К}$$ $2.$ Конечная внутренняя энергия (после выпуска половины газа и нагрева): $$U_2 = \frac{3}{2}\left(\frac{\nu}{2}\right) R \cdot 600\,\text{К} = \frac{3}{4}\nu R \cdot 600\,\text{К}$$ $3.$ Найдем отношение энергий: $$\frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{3}{4}\nu R \cdot 600}{\frac{3}{2}\nu R \cdot 250} = \frac{600}{2 \cdot 250} = \frac{600}{500} = 1.2$$
20
На рисунке показан график зависимости давления одноатомного идеального газа от его объема при постоянной массе газа. Во сколько раз уменьшилась внутренняя энергия газа при переходе из состояния $1$ в состояние $2?$
Используем формулу внутренней энергии идеального одноатомного газа: $$U = \frac{3}{2}pV$$ $1.$ Вычислим внутреннюю энергию в состояниях $1$ и $2{:}$ $$U_1 = \frac{3}{2}p_1V_1 = \frac{3}{2} \cdot 3\,\text{атм} \cdot 3\,\text{л}$$ $$U_2 = \frac{3}{2}p_2V_2 = \frac{3}{2} \cdot 2\,\text{атм} \cdot 1\,\text{л}$$ $2.$ Найдем отношение внутренних энергий:
$$\frac{U_1}{U_2} = \frac{p_1V_1}{p_2V_2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 1} = \frac{9}{2} = 4.5$$
20
Чему равна работа, совершенная газом в процессе $CD,$ если он получил в этом процессе количество теплоты $40\space кДж?$ Ответ запишите в килоджоулях.
Используем первый закон термодинамики:
$$\Delta U = Q-A$$ $1.$ Процесс $CD$ является изохорным ($V = const){:}$ $$A = p\Delta V = 0$$ $2.$ Для изохорного процесса: $$\Delta U = Q = 40\,\text{кДж}$$ $$A = 0\,\text{кДж}$$
20
В процессе $BC$ (см. рисунок) идеальный одноатомный газ совершил работу $60\space кДж.$ Чему равно изменение его внутренней энергии в этом процессе? Ответ запишите в килоджоулях.
Используем соотношения для изобарного процесса идеального газа: $$\Delta U = \frac{3}{2}p\Delta V = \frac{3}{2}A$$ $1.$ Для изобарного процесса работа газа: $$A = p\Delta V = 60\,\text{кДж}$$ $2.$ Изменение внутренней энергии одноатомного газа: $$\Delta U = \frac{3}{2}p\Delta V = \frac{3}{2}A = \frac{3}{2} \cdot 60\,\text{кДж} = 90\,\text{кДж}$$
20
На рисунке представлены графики двух процессов, происходящих с одним и тем же количеством идеального газа. Определите отношение работ $\dfrac{A_1}{A_2}$ в этих процессах.
Работу газа в процессах определяем как площадь под графиком в координатах $p-V$:
$1.$ Для процесса $1$ (трапеция): $$A_1 = \frac{p_0 + 2p_0}{2} \cdot 3V_0 = \frac{3p_0}{2} \cdot 3V_0 = \frac{9}{2}p_0V_0$$ $2.$ Для процесса $2$ (прямоугольник): $$A_2 = p_0 \cdot 3V_0 = 3p_0V_0$$ $3.$ Найдем отношение работ: $$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\frac{9}{2}p_0V_0}{3p_0V_0} = \frac{9}{6} = 1.5$$
20
На рисунке представлены графики двух процессов, происходящих с одним и тем же количеством идеального газа. Определите отношение работ $\dfrac{A_1}{A_2}$ в этих процессах.
Работу газа в процессах определяем как площадь под графиком в координатах $p-V{:}$
$1.$ Для процесса $1$ (трапеция): $$A_1 = \frac{p_0 + 2p_0}{2} \cdot 3V_0 = \frac{3p_0}{2} \cdot 3V_0 = 4.5p_0V_0$$ $2.$ Для процесса $2$ (прямоугольник): $$A_2 = 1.5p_0 \cdot 3V_0 = 4.5p_0V_0$$ $3.$ Найдем отношение работ: $$\frac{A_1}{A_2} = \frac{4.5p_0V_0}{4.5p_0V_0} = 1$$
20
Чему равна работа, совершенная двумя молями идеального газа в процессе $1–2–3–4,$ показанном на рисунке, если в состоянии $1$ давление равно $60\space кПа,$ а объем — $1\space л?$ Ответ запишите в джоулях.
Работа газа за цикл равна площади прямоугольника на $pV$ — диаграмме:
$1.$ Переведем единицы измерения:
$$p_1 = 60\,\text{кПа} = 60 \cdot10^3\,\text{Па}$$ $$V_1 = 1\,\text{л} = 10^{-3}\,\text{м}^3$$ $$p_4 = 15\,\text{кПа} = 15 \cdot10^3\,\text{Па}$$ $$V_2 = 4\,\text{л} = 4 \cdot10^{-3}\,\text{м}^3$$
$2.$ Вычислим работу как площадь прямоугольника: $$A = (p_1-p_4)(V_2- V_1)$$ $$A = (60 \cdot10^3 -15 \cdot10^3)(4 \cdot 10^{-3} — 10^{-3})$$ $$A = 45 \cdot10^3 \cdot3 \cdot10^{-3} = 135\,\text{Дж}$$
20
На рисунке показан график зависимости давления $p$ постоянной массы одноатомного идеального газа от его абсолютной температуры $T$. В состоянии $1$ внутренняя энергия газа равна $1.2\space кДж.$ Чему равна внутренняя энергия газа в состоянии $2?$
Ответ запишите в килоджоулях.
Используем формулу внутренней энергии идеального одноатомного газа: $$U = \frac{3}{2}\nu RT$$ $1.$ Для состояний $1$ и $2$ отношение энергий: $$\frac{U_2}{U_1} = \frac{T_2}{T_1}$$ $2.$ Из графика определяем температуры: $$T_1 = 200\,\text{K}, \quad T_2 = 600\,\text{K}$$ $3.$ Вычисляем внутреннюю энергию: $$U_2 = U_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} = 1.2\,\text{кДж} \cdot \frac{600}{200} = 3.6\,\text{кДж}$$
20
Давление газа менялось в зависимости от объема так, как показано на рисунке. Найдите отношение работы газа при переходе из состояния $1$ в состояние $2$ к работе газа при переходе из состояния $2$ в состояние $3$.
Используем формулу работы газа: $$A = \int p\,dV$$
Для вычисления работы на $pV$-диаграмме находим площадь под графиком.
$1.$ Вычислим работу $A_{12}$ (площадь трапеции): $$A_{12} = \frac{p_1 + p_2}{2} \cdot (V_2-V_1) = \frac{2p_0 + 4p_0}{2} \cdot V_0 = 3p_0V_0$$
$2.$ Вычислим работу $A_{23}$ (площадь прямоугольника): $$A_{23} = p_2 \cdot (V_3-V_2) = 2p_0 \cdot 2V_0 = 4p_0V_0$$
$3.$ Найдем отношение работ: $$\frac{A_{12}}{A_{23}} = \frac{3p_0V_0}{4p_0V_0} = 0.75$$
20
Какую работу совершает газ при переходе из состояния $1$ в состояние $2$ (см. рисунок)? Ответ запишите в килоджоулях.
Используем формулу работы газа при постоянном давлении: $$A = p \Delta V$$ $1.$ Определим параметры процесса: $$p = 0.5 \cdot 10^5\,\text{Па}$$ $$\Delta V = 0.4\,\text{м}^3$$ $2.$ Вычислим работу: $$A = 0.5 \cdot 10^5\,\text{Па} \cdot 0.4\,\text{м}^3 = 0.2 \cdot 10^5\,\text{Дж} = 20\,\text{кДж}$$
20
На $pV$ — диаграмме показаны два процесса, проведенные с одним и тем же количеством неона. Чему равно отношение работ $\dfrac{A_{34}}{A_{12}}$, совершенных неоном в этих процессах?
Используем формулу работы газа как площадь под графиком на $pV$-диаграмме: $$A = \int p\,dV$$ $1.$ Вычислим работу $A_{34}{:}$ $$A_{34} = p \Delta V = 2\,\text{атм} \cdot4\,\text{л} = 8\,\text{атм}\cdot\text{л}$$
$2.$ Вычислим работу $A_{12}{:}$ $$A_{12} = \frac{p_1 + p_2}{2} \Delta V = \frac{1\,\text{атм} + 3\,\text{атм}}{2} \cdot 4\,\text{л} = 8\,\text{атм}\cdot\text{л}$$
$3.$ Найдем отношение работ: $$\frac{A_{34}}{A_{12}} = \frac{8\,\text{атм}\cdot\text{л}}{8\,\text{атм}\cdot\text{л}} = 1$$
20
Газ переводят из состояния $1$ в состояние $3$ так, как показано на $pV$-диаграмме ($p$ — давление газа, $V$ — его объем). Чему равна работа, совершенная газом в процессе $1-2-3$, если $p_0 = 50\,\text{кПа}$, а $V_0 = 3\,\text{л}?$
Используем формулу работы газа:
$$ A = \int p\,dV $$ $1.$ Участок $1-2$ (изохорный процесс): $$ A_{12} = 0\,\text{Дж} \quad (\text{т.к. } \Delta V = 0) $$ $2.$ Участок $2-3$ (изобарный процесс): $$ A_{23} = p_0 \cdot \Delta V = 50\,\text{кПа} \cdot 3\,\text{л} = 50 \cdot 10^3\,\text{Па} \cdot 3 \cdot 10^{-3}\,\text{м}^3 = 150\,\text{Дж} $$ $3.$ Суммарная работа: $$ A_{\text{общ}} = A_{12} + A_{23} = 0 + 150 = 150\,\text{Дж}$$
20
На рисунке приведена зависимость давления $p$ идеального газа от его абсолютной температуры $T.$ Чему равна работа газа в процессе $BC,$ если газ получил в этом процессе количество теплоты $150\,\text{Дж}$?
Ответ запишите в джоулях.
Используем первый закон термодинамики:
$$ \Delta U = Q -A $$ $1.$ Анализируем график процесса $BC{:}$
Линейная зависимость $p(T)$ при постоянном объеме ($V = const$).
Процесс является изохорным ($\Delta V = 0$).
$2.$ Для изохорного процесса: $$ A = p \cdot \Delta V = 0\,\text{Дж} $$ $$ \Delta U = Q = 150\,\text{Дж} $$
20