8. МКТ и молекулярная физика: все задания

Используем выражение для внутренней энергии идеального одноатомного газа:
$$U = \frac{3}{2}pV$$ $1.$ Запишем начальную энергию: $$U_1 = \frac{3}{2}p_1V_1 = 300\,\text{Дж}$$$2.$ Выразим конечные параметры: $$p_2 = 6p_1$$ $$V_2 = \frac{V_1}{1.5}$$$3.$ Найдем конечную энергию: $$U_2 = \frac{3}{2}p_2V_2 = \frac{3}{2} \cdot 6p_1 \cdot \frac{V_1}{1.5} = \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{1.5} \cdot p_1V_1 = 4 \cdot \frac{3}{2}p_1V_1 = 4U_1$$ $4.$ Вычислим значение: $$U_2 = 4 \cdot300\,\text{Дж} = 1\space200\,\text{Дж}$$

Используем первый закон термодинамики:
$$\Delta U = Q-A$$ $1.$ Анализ процесса $1$ (изотермический):
$\Delta T = 0 \Rightarrow \Delta U = 0;$
$p \uparrow, V \downarrow \Rightarrow A < 0.$
Из первого закона: $Q = A < 0$ (газ отдает тепло).

$2.$ Анализ процесса $2$ (изохорный):
$V = const \Rightarrow A = 0;$
$T \uparrow \Rightarrow \Delta U > 0.$
Из первого закона: $\Delta U = Q$ (вся теплота идет на изменение внутренней энергии).

Используем первый закон термодинамики: $$Q = A + \Delta U$$ $1.$ Выразим работу газа: $$A = Q-\Delta U$$ $2.$ Подставим известные значения: $$A = 50\,\text{Дж}-20\,\text{Дж} = 30\,\text{Дж}$$

Используем формулу для количества теплоты при охлаждении:$$Q = mc\Delta T$$
$1.$ Вычислим изменение температуры:$$\Delta T = 120\,^\circ\text{C}-40\,^\circ\text{C} = 80\,\text{K}$$
$2.$ Переведем теплоту в джоули:$$Q = 108\,\text{кДж} = 108\space000\,\text{Дж}$$
$3.$ Выразим и найдем массу:
$$m = \frac{Q}{c\Delta T} = \frac{108\,000\,\text{Дж}}{900\,\frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}} \cdot 80\,\text{К}} = 1.5\,\text{кг}$$

Используем формулу внутренней энергии идеального одноатомного газа:$$U = \frac{3}{2}\nu RT$$ $1.$ Начальная внутренняя энергия:$$U_1 = \frac{3}{2}\nu R \cdot 250\,\text{К}$$ $2.$ Конечная внутренняя энергия (после выпуска половины газа и нагрева): $$U_2 = \frac{3}{2}\left(\frac{\nu}{2}\right) R \cdot 600\,\text{К} = \frac{3}{4}\nu R \cdot 600\,\text{К}$$ $3.$ Найдем отношение энергий: $$\frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{3}{4}\nu R \cdot 600}{\frac{3}{2}\nu R \cdot 250} = \frac{600}{2 \cdot 250} = \frac{600}{500} = 1.2$$

Используем формулу внутренней энергии идеального одноатомного газа: $$U = \frac{3}{2}pV$$ $1.$ Вычислим внутреннюю энергию в состояниях $1$ и $2{:}$ $$U_1 = \frac{3}{2}p_1V_1 = \frac{3}{2} \cdot 3\,\text{атм} \cdot 3\,\text{л}$$ $$U_2 = \frac{3}{2}p_2V_2 = \frac{3}{2} \cdot 2\,\text{атм} \cdot 1\,\text{л}$$ $2.$ Найдем отношение внутренних энергий:
$$\frac{U_1}{U_2} = \frac{p_1V_1}{p_2V_2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 1} = \frac{9}{2} = 4.5$$

Используем первый закон термодинамики:
$$\Delta U = Q-A$$ $1.$ Процесс $CD$ является изохорным ($V = const){:}$ $$A = p\Delta V = 0$$ $2.$ Для изохорного процесса: $$\Delta U = Q = 40\,\text{кДж}$$ $$A = 0\,\text{кДж}$$

Используем соотношения для изобарного процесса идеального газа: $$\Delta U = \frac{3}{2}p\Delta V = \frac{3}{2}A$$ $1.$ Для изобарного процесса работа газа: $$A = p\Delta V = 60\,\text{кДж}$$ $2.$ Изменение внутренней энергии одноатомного газа: $$\Delta U = \frac{3}{2}p\Delta V = \frac{3}{2}A = \frac{3}{2} \cdot 60\,\text{кДж} = 90\,\text{кДж}$$

Используем формулу расчета количества теплоты:$$Q = cm\Delta T$$ $1.$ Из графика определяем: $$\Delta T = 200\,\text{К}$$ $$Q = 400\,\text{кДж} = 400\,000\,\text{Дж}$$ $2.$ Выразим удельную теплоемкость: $$c = \frac{Q}{m\Delta T}$$ $3.$ Подставим значения: $$c = \frac{400\,000\,\text{Дж}}{2\,\text{кг} \cdot200\,\text{К}} = 1\space000\,\frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}$$

Работу газа в процессах определяем как площадь под графиком в координатах $p-V$:

$1.$ Для процесса $1$ (трапеция): $$A_1 = \frac{p_0 + 2p_0}{2} \cdot 3V_0 = \frac{3p_0}{2} \cdot 3V_0 = \frac{9}{2}p_0V_0$$ $2.$ Для процесса $2$ (прямоугольник): $$A_2 = p_0 \cdot 3V_0 = 3p_0V_0$$ $3.$ Найдем отношение работ: $$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\frac{9}{2}p_0V_0}{3p_0V_0} = \frac{9}{6} = 1.5$$

Работу газа в процессах определяем как площадь под графиком в координатах $p-V{:}$

$1.$ Для процесса $1$ (трапеция): $$A_1 = \frac{p_0 + 2p_0}{2} \cdot 3V_0 = \frac{3p_0}{2} \cdot 3V_0 = 4.5p_0V_0$$ $2.$ Для процесса $2$ (прямоугольник): $$A_2 = 1.5p_0 \cdot 3V_0 = 4.5p_0V_0$$ $3.$ Найдем отношение работ: $$\frac{A_1}{A_2} = \frac{4.5p_0V_0}{4.5p_0V_0} = 1$$

Работа газа за цикл равна площади прямоугольника на $pV$ — диаграмме:

$1.$ Переведем единицы измерения:
$$p_1 = 60\,\text{кПа} = 60 \cdot10^3\,\text{Па}$$ $$V_1 = 1\,\text{л} = 10^{-3}\,\text{м}^3$$ $$p_4 = 15\,\text{кПа} = 15 \cdot10^3\,\text{Па}$$ $$V_2 = 4\,\text{л} = 4 \cdot10^{-3}\,\text{м}^3$$
$2.$ Вычислим работу как площадь прямоугольника: $$A = (p_1-p_4)(V_2- V_1)$$ $$A = (60 \cdot10^3 -15 \cdot10^3)(4 \cdot 10^{-3} — 10^{-3})$$ $$A = 45 \cdot10^3 \cdot3 \cdot10^{-3} = 135\,\text{Дж}$$

Анализ процессов:

$1.$ Участок $1$ (изобарное расширение):
$p = const$, $T \uparrow \Rightarrow V \uparrow.$
Работа газа $A > 0;$
$\Delta U > 0;$
$Q = A + \Delta U > 0$ (газ получает тепло).

$2.$ Участок $2$ (изотермическое расширение):
$T = const$, $p \downarrow \Rightarrow V \uparrow;$
$A > 0;$
$\Delta U = 0;$
$Q = A > 0$ (газ получает тепло).

$3.$ Участок $3$ (изобарное сжатие):
$p = const$, $T \downarrow \Rightarrow V \downarrow;$
$A < 0;$
$\Delta U < 0;$
$Q = A + \Delta U < 0$ (газ отдает тепло).

$4.$ Участок $4$ (изотермическое сжатие):
$T = const$, $p \uparrow \Rightarrow V \downarrow;$
$A < 0$ (работа газа отрицательна);
$\Delta U = 0;$
$Q = A < 0$ (газ отдает тепло).
Работа внешних сил $A_{внеш} = -A > 0.$
Выполняется $A_{внеш} = |Q|$.

Используем формулу внутренней энергии идеального одноатомного газа: $$U = \frac{3}{2}\nu RT$$ $1.$ Для состояний $1$ и $2$ отношение энергий: $$\frac{U_2}{U_1} = \frac{T_2}{T_1}$$ $2.$ Из графика определяем температуры: $$T_1 = 200\,\text{K}, \quad T_2 = 600\,\text{K}$$ $3.$ Вычисляем внутреннюю энергию: $$U_2 = U_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} = 1.2\,\text{кДж} \cdot \frac{600}{200} = 3.6\,\text{кДж}$$

Используем формулу работы газа: $$A = \int p\,dV$$
Для вычисления работы на $pV$-диаграмме находим площадь под графиком.

$1.$ Вычислим работу $A_{12}$ (площадь трапеции): $$A_{12} = \frac{p_1 + p_2}{2} \cdot (V_2-V_1) = \frac{2p_0 + 4p_0}{2} \cdot V_0 = 3p_0V_0$$
$2.$ Вычислим работу $A_{23}$ (площадь прямоугольника): $$A_{23} = p_2 \cdot (V_3-V_2) = 2p_0 \cdot 2V_0 = 4p_0V_0$$
$3.$ Найдем отношение работ: $$\frac{A_{12}}{A_{23}} = \frac{3p_0V_0}{4p_0V_0} = 0.75$$

Используем формулу работы газа при постоянном давлении: $$A = p \Delta V$$ $1.$ Определим параметры процесса: $$p = 0.5 \cdot 10^5\,\text{Па}$$ $$\Delta V = 0.4\,\text{м}^3$$ $2.$ Вычислим работу: $$A = 0.5 \cdot 10^5\,\text{Па} \cdot 0.4\,\text{м}^3 = 0.2 \cdot 10^5\,\text{Дж} = 20\,\text{кДж}$$

Используем формулу работы газа как площадь под графиком на $pV$-диаграмме: $$A = \int p\,dV$$ $1.$ Вычислим работу $A_{34}{:}$ $$A_{34} = p \Delta V = 2\,\text{атм} \cdot4\,\text{л} = 8\,\text{атм}\cdot\text{л}$$
$2.$ Вычислим работу $A_{12}{:}$ $$A_{12} = \frac{p_1 + p_2}{2} \Delta V = \frac{1\,\text{атм} + 3\,\text{атм}}{2} \cdot 4\,\text{л} = 8\,\text{атм}\cdot\text{л}$$
$3.$ Найдем отношение работ: $$\frac{A_{34}}{A_{12}} = \frac{8\,\text{атм}\cdot\text{л}}{8\,\text{атм}\cdot\text{л}} = 1$$

Используем формулу работы газа:
$$ A = \int p\,dV $$ $1.$ Участок $1-2$ (изохорный процесс): $$ A_{12} = 0\,\text{Дж} \quad (\text{т.к. } \Delta V = 0) $$ $2.$ Участок $2-3$ (изобарный процесс): $$ A_{23} = p_0 \cdot \Delta V = 50\,\text{кПа} \cdot 3\,\text{л} = 50 \cdot 10^3\,\text{Па} \cdot 3 \cdot 10^{-3}\,\text{м}^3 = 150\,\text{Дж} $$ $3.$ Суммарная работа: $$ A_{\text{общ}} = A_{12} + A_{23} = 0 + 150 = 150\,\text{Дж}$$

Используем первый закон термодинамики:
$$ \Delta U = Q -A $$ $1.$ Анализируем график процесса $BC{:}$
Линейная зависимость $p(T)$ при постоянном объеме ($V = const$).
Процесс является изохорным ($\Delta V = 0$).

$2.$ Для изохорного процесса: $$ A = p \cdot \Delta V = 0\,\text{Дж} $$ $$ \Delta U = Q = 150\,\text{Дж} $$

Используем формулу для расчета теплоты плавления: $$ Q = \lambda \cdot m $$ $1.$ Из графика определяем количество теплоты для плавления: $$ Q = 3 \cdot 10^4\,\text{Дж} = 30\,\text{кДж} $$ $2.$ Вычисляем удельную теплоту плавления: $$ \lambda = \frac{Q}{m} = \frac{30\,\text{кДж}}{4\,\text{кг}} = 7.5\,\text{кДж/кг} $$