5. Механика: анализ физических процессов: Статика. Гидростатика. Механические колебания

Период колебаний:$$T = \frac{1}{ν} = \frac{1}{0.5} = 2\,\text{с}$$
Утверждение $1$:
Максимум потенциальной энергии достигается в крайних точках через $T/2 = 1$ с.
Неверно (указано $2\ с$).

Утверждение $2$:
Возврат в начальное положение происходит через полный период $T = 2$ с.
Неверно (указано $0.5\ с$).

Утверждение $3$:
В отсутствие диссипативных сил полная энергия сохраняется.
Верно.

Утверждение $4$:
Максимум кинетической энергии достигается в положении равновесия через $T/4 = 0.5$ с.
Верно.

Утверждение $5$:
Сила натяжения максимальна в положении равновесия и уменьшается при удалении от него.
Неверно (при движении от $3$ к $2$ сила натяжения увеличивается).

Скорости тел при $t=6\ с$:
Тело $1$: график линейный $⇒$ скорость постоянна
Тело $2$: график параболический $⇒$ скорость изменяется
В точке пересечения $( t=6\ с)$ координаты равны, но скорости различны
Вывод: Утверждение $1$ неверно

Расстояние между точками встречи:
Первая встреча: $x = 2\ м$
Вторая встреча: $x = 5\ м$
Расстояние между встречами: $5- 2 = 3\ м$
Вывод: Утверждение $2$ неверно (указано $5\ м$)

Кинетическая энергия тела $2$:
При $t=10.625$ с тело $2$ достигает крайней точки (вершина параболы)
В этот момент скорость равна нулю $⇒ E_k = 0$
Вывод: Утверждение $3$ верно

Ускорение тела $2$:
График $x(t)$ — парабола с ветвями вверх $⇒ a_x > 0$
Вывод: Утверждение $4$ верно

Характер движения тела $1$:
График $x(t)$ — прямая линия $⇒$ равномерное движение $( a=0 )$
Вывод: Утверждение $5$ неверно

Давление на глубине $10\,\text{м}$:
Из графика: $p_{\text{воды}}(10\,\text{м}) = 200\,\text{кПа}$
Атмосферное давление: $p_0 = 100\,\text{кПа}$
Вывод: Утверждение $1$ неверно ($200\,\text{кПа} \neq 100\,\text{кПа}$)

Положение графика керосина:
Плотность керосина ($820\,\text{кг/м}^3$) $<$ воды ($1000\,\text{кг/м}^3$)
Его график должен быть ниже водного
Вывод: Утверждение $2$ неверно

Давление на $25\,\text{м}$:
По графику: $p(25\,\text{м}) = 350\,\text{кПа}$
Отношение: $350/100 = 3.5$
Вывод: Утверждение $3$ неверно

Скорость роста давления:
Наклон графика дийодметана круче водного
Вывод: Утверждение $4$ верно

Положение графика масла:
Плотность масла ($920\,\text{кг/м}^3$) < воды
Его график будет ниже водного
Вывод: Утверждение $ 5$ верно

Потенциальная энергия при $t=1.0\ с$:
При $t=1.0$ с: $x=15\ мм$ (максимальное отклонение)
$E_p = \frac{kx^2}{2}$ максимальна
Вывод: Утверждение $1$ верно

Период колебаний:
Полное колебание: от $t=0.0\ с$ $( x=0 )$ до $t=4.0\ с$ $( x=0 )$
Вывод: Утверждение $2$ верно

Кинетическая энергия при $t=2.0\ с$:
В момент $t=2.0\ с$ шарик проходит положение равновесия $( x=0 )$
Скорость максимальна $⇒$ $E_k$ максимальна
Вывод: Утверждение $3$ неверно

Амплитуда колебаний:
Максимальное отклонение: $16\ мм$
Вывод: Утверждение $4$ неверно

Полная механическая энергия:
В консервативной системе $E_{\text{полн}} = const$
Вывод: Утверждение $5$ неверно

Период колебаний:
$$T = \frac{1}{ν} = \frac{1}{0.125} = 8\,\text{с}$$
Анализ утверждений:
$1$: Максимум кинетической энергии в первый раз достигается через $T/4 = 2\,\text{с}$ (в положении равновесия).
Неверно (указано $4\,\text{с}$).

$2$: Полная энергия $E = E_k + E_p$ сохраняется.
Неверно.

$3$: Потенциальная энергия минимальна в положении равновесия ($t=2\,\text{с}, 6\,\text{с}$…).
Через $8\,\text{с}$ маятник возвращается в крайнее положение ($E_p$ максимальна).
Неверно.

$4$: Второй максимум кинетической энергии: $t = \frac{3T}{4} = 6\,\text{с}$.
Верно.

$ 5$: В отсутствие диссипации полная энергия сохраняется.
Верно.

Проверим правильность утверждений.

$1.$ В момент времени $t = 2.0 \, \text{с}$ шарик находится в положении $x = 0 \, \text{мм}$, что соответствует положению равновесия. В этом положении деформация пружины минимальна, а значит, ее потенциальная энергия также минимальна.
Утверждение $1$ неверно.

$2.$ Из таблицы видно, что за время от $0.0 \, \text{с}$ до $2.0 \, \text{с}$ шарик прошел половину полного колебания (от $x = 0$ до $x = 15$ и обратно до $x = 0$). Следовательно, период колебаний равен $T = 4.0 \, \text{с}$.
Утверждение $2$ верно.

$3.$ В момент времени $t = 1.0 \, \text{с}$ шарик достигает максимального отклонения ($x = 15 \, \text{мм}$). В этой точке скорость шарика равна нулю, поэтому его кинетическая энергия минимальна. Утверждение $3$ верно.

$4.$ Максимальное отклонение шарика от положения равновесия составляет $15 \, \text{мм}$ (по модулю). Таким образом, амплитуда колебаний равна $A = 15 \, \text{мм}$.
Утверждение $4$ неверно.

$5.$ Полная механическая энергия системы (шарик + пружина) сохраняется в течение всего времени колебаний, так как диссипативные силы отсутствуют. Поэтому она не может быть минимальной в какой-либо момент времени.
Утверждение $5$ неверно.

$1.$ Плотность материала брусков:
Масса одного бруска: $m = 1 \, \text{кг}$.
Объем одного бруска: $V = \frac{m}{\rho}$, где $\rho$ — плотность материала.
Условие плавания: сила Архимеда равна суммарному весу брусков:
$$2mg = \rho_{\text{воды}} g V_{\text{погр}}$$ Поскольку бруски плавают так, что уровень воды на границе между ними, объем погруженной части равен объему одного бруска ($V_{\text{погр}} = V$). Тогда:
$$ 2mg = \rho_{\text{воды}} g V \implies V = \frac{2m}{\rho_{\text{воды}}}$$
Подставляя $\rho_{\text{воды}} = 1000 \, \text{кг/м}^3$ и $m = 1 \, \text{кг}$:
$$V = \frac{2 \cdot 1}{1000} = 2 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3$$
Плотность материала брусков:
$$ \rho = \frac{m}{V} = \frac{1}{2 \cdot 10^{-3}} = 500 \, \text{кг/м}^3$$
Утверждение $1$ верно.

$2.$ Добавление груза массой $0.7 \, \text{кг}$:
Суммарный вес брусков и груза: $2mg + m_{\text{гр}}g = 20 \, \text{Н} + 7 \, \text{Н} = 27 \, \text{Н}$.
Максимальная сила Архимеда (при полном погружении обоих брусков):
$$F_{A,\text{макс}} = \rho_{\text{воды}} g \cdot 2V = 1000 \cdot 10 \cdot 4 \cdot 10^{-3} = 40 \, \text{Н} $$
Так как $27 \, \text{Н} < 40 \, \text{Н}$, бруски останутся на плаву.
Утверждение $2$ неверно.

$3.$ Замена воды на керосин:
Плотность керосина ($\rho_{\text{керосина}} \approx 800 \, \text{кг/м}^3$) меньше плотности воды.
Для сохранения условия плавания ($F_A = \text{весу}$) объем погруженной части должен увеличиться, так как $\rho_{\text{керосина}} < \rho_{\text{воды}}.$
Утверждение $3$ неверно.

$4.$ Сила Архимеда:
В условиях равновесия $F_A = 2mg = 20 \, \text{Н}$.
Утверждение $4$ верно.

$5.$ Добавление двух брусков:
Общая масса стопки: $4m = 4 \, \text{кг}$.
Новый объем погруженной части:
$$V_{\text{погр}} = \frac{4m}{\rho_{\text{воды}}} = \frac{4}{1000} = 4 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3 $$
Глубина погружения пропорциональна объему. Изначально был погружен один брусок ($5 \, \text{см}$), теперь — два бруска ($10 \, \text{см}$). Увеличение глубины: $10 \, \text{см}- 5 \, \text{см} = 5 \, \text{см}$.
Утверждение $5$ неверно.

$1.$ Плотность материала брусков:
Масса одного бруска: $m = 1\,\text{кг}$.
Условие плавания: сила Архимеда равна суммарному весу брусков:
$$2mg = \rho_{\text{воды}} g V_{\text{погр}}$$
Объем погруженной части равен объему одного бруска ($V_{\text{погр}} = V$):
$$V = \frac{2m}{\rho_{\text{воды}}} = \frac{2 \cdot 1}{1000} = 2 \cdot 10^{-3}\,\text{м}^3$$
Плотность материала:
$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{1}{2 \cdot 10^{-3}} = 500\,\text{кг/м}^3$$
Утверждение $5$ верно.

$2.$ Замена воды на подсолнечное масло:
Плотность масла ($\rho_{\text{масла}} \approx 900\,\text{кг/м}^3$) меньше плотности воды.
Для сохранения $F_A = 2mg$ объем погруженной части должен увеличиться, так как $\rho_{\text{масла}} < \rho_{\text{воды}}$.
Утверждение $1$ неверно.

$3.$ Добавление гири $1.5\,\text{кг}$:
Суммарный вес: $2mg + m_{\text{гр}}g = 20\,\text{Н} + 15\,\text{Н} = 35\,\text{Н}$.
Максимальная $F_A$ при полном погружении:
$$\rho_{\text{воды}} g \cdot 2V = 1000 \cdot 10 \cdot 4 \cdot 10^{-3} = 40\,\text{Н}$$
Так как $35\,\text{Н} < 40\,\text{Н}$, бруски останутся на плаву.
Утверждение $2 $ верно.

$4.$ Добавление трех брусков:
Общая масса стопки: $5m = 5\,\text{кг}$.
Новый объем погруженной части:
$$V_{\text{погр}} = \frac{5m}{\rho_{\text{воды}}} = 5 \cdot 10^{-3}\,\text{м}^3$$
Изначально погружен $1$ брусок ($5\,\text{см}$), теперь $2.5$ бруска ($12.5\,\text{см}$). Увеличение: $7.5\,\text{см}$.
Утверждение $3$ неверно.

$5.$ Сила Архимеда:
В равновесии $F_A = 2mg = 20\,\text{Н}$.
Утверждение $4$ неверно.

$1.$ Ускорение в момент $t=1.50\,\text{с}$:
В этот момент груз проходит положение равновесия ($x=0$), где ускорение равно нулю (так как $a = -\omega^2 x$).
Максимальное ускорение достигается при максимальном смещении ($x=\pm3\,\text{см}$).
Утверждение $1$ неверно.

$2.$ Кинетическая энергия в момент $t=0.50\,\text{с}$:
В положении равновесия ($x=0$) скорость груза максимальна, следовательно, максимальна и кинетическая энергия.
Утверждение $2$ верно.

$3.$ Сила упругости в моменты $t=1.00\,\text{с}$ и $t=0.25\,\text{с}$:
По закону Гука: $F = k|x|$.
При $t=1.00\,\text{с}$: $|x|=3\,\text{см}$; при $t=0.25\,\text{с}$: $|x|=2.1\,\text{см}.$
Сила больше при большем смещении.
Утверждение $3$ неверно.

$4.$ Период колебаний:
Из таблицы: груз возвращается в исходное состояние ($x=3\,\text{см}$) через $2\,\text{с}$ (полный цикл: $0\,\text{с} \rightarrow 2\,\text{с}$).
Период $T=2\,\text{с}$, а не $1\,\text{с}.$
Утверждение $4$ неверно.

$5.$ Частота колебаний:
Частота: $v = \frac{1}{T} = \frac{1}{2} = 0.5\,\text{Гц}.$
Утверждение $5$ верно.

$1.$ Период колебаний:
Полное колебание завершается за $4.0\,\text{с}$ (от $t=0.0\,\text{с}$ до $t=4.0\,\text{с}$- возврат в исходную точку).
Утверждение $1$ неверно.

$2.$ Потенциальная энергия в $t=3.0\,\text{с}$:
В этот момент смещение максимально ($x=-13\,\text{мм}$), значит потенциальная энергия $E_p = \frac{kx^2}{2}$ максимальна.
Утверждение $2$ верно.

$3.$ Кинетическая энергия в $t=1.0\,\text{с}$:
При максимальном смещении ($x=15\,\text{мм}$) скорость равна нулю, следовательно, кинетическая энергия минимальна ($E_k=0$).
Утверждение $3$ верно.

$4.$ Амплитуда колебаний:
Максимальное смещение от положения равновесия составляет $15\,\text{мм}$.
Утверждение $4$ неверно.

$5.$ Сохранение энергии:
В отсутствие диссипативных сил полная механическая энергия $E = E_p + E_k$ сохраняется.
Утверждение $5$ верно.

Период колебаний:
$$T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{0.5} = 2\,\text{с}$$
Потенциальная энергия (утверждение $1$):
Максимум потенциальной энергии достигается в крайних положениях.
Первый максимум после начала движения будет через $1\,\text{с}$ (половина периода).
Утверждение $1$ неверно.

Возврат в положение 1 (утверждение $2$):
Полный цикл занимает $2\,\text{с}.$
Утверждение $2$ неверно.

Сохранение энергии (утверждение $ 3$):
В отсутствие диссипативных сил полная энергия сохраняется.
Утверждение $3$ верно.

Кинетическая энергия (утверждение $4$):
Максимум кинетической энергии при прохождении положения равновесия.
Происходит через $T/4 = 0.5\,\text{с}.$
Утверждение $4$ верно.

Длина нити (утверждение $5$):
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \Rightarrow l = \frac{gT^2}{4\pi^2} = \frac{10 \cdot 4}{4 \cdot 9.87} \approx 1\,\text{м}$$ Утверждение $5$ верно.

Анализ графика:
Амплитуда $A_1 = 2\,\text{см}$
Амплитуда $A_2 = 1\,\text{см}$
Период колебаний $T = 4\,\text{с}$ для обоих грузов

Утверждение $1$:
$$E_{p\,max} = \frac{kA^2}{2}$$Так как $A_1 \neq A_2$, энергии различны. Неверно.

Утверждение $2$:
$$\frac{E_{k1\,max}}{E_{k2\,max}} = \frac{A_1^2}{A_2^2} = \frac{4}{1}$$ Верно.

Утверждение $3$:
Амплитуды различны $(2\,\text{см}$ и $1\,\text{см}).$ Неверно.

Утверждение $4$:
Периоды совпадают $(4\,\text{с}).$ Верно.

Утверждение $5$:
Из формулы периода $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ при одинаковых $T$ и $m$ следует $k_1 = k_2$. Неверно.

$1.$ Период колебаний:
Полный цикл: от $t=0.0\,\text{с}$ $(x=4.0\,\text{см})$ до $t=1.6\,\text{с}$ $($возврат в $x=4.0\,\text{см}).$
Утверждение $1$ верно.

$2.$ Частота колебаний:
$$\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{1.6} = 0.625\,\text{Гц}$$Утверждение $2$ неверно.

$3.$ Потенциальная энергия:
В $t=1.2\,\text{с}$ $(x=0)$ пружина недеформирована, $E_p = 0$ (минимум).
Утверждение $3$ верно.

$4.$ Ускорение:
В $t=0.8\,\text{с}$ $(x=-4.0\,\text{см}$ — амплитудное значение$)$ ускорение максимально:
$$a_{max} = \omega^2 A = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 A$$Утверждение $4$ верно.

$5.$ Сила упругости:
По закону Гука $F = k|x|.$
В $t=0.8\,\text{с}$: $|x|=4.0\,\text{см}.$
В $t=1.2\,\text{с}$: $|x|=0\,\text{см}.$
Утверждение $5$ неверно.

$1.$ Период колебаний:
Полный цикл колебаний завершается за $1.6\,\text{с}$ $($от $t=0.0\,\text{с}$ до $t=1.6\,\text{с}).$
Утверждение $1$ верно.

$2.$ Скорость в $t=1.0\,\text{с}$:
В этот момент груз находится в крайнем положении $(h=9\,\text{см}),$ где скорость равна нулю.
Утверждение $2$ неверно.

$3.$ Минимумы кинетической энергии:
Минимум ($E_k=0$) достигается только в крайних точках.
В указанном промежутке это происходит $1$ раз $(t=1.0\,\text{с}).$
Утверждение $3$ неверно.

$4.$ Кинетическая энергия в $t=0.8\,\text{с}$:
В точке равновесия $(h=0)$ вся энергия — кинетическая.
Максимальная потенциальная энергия:
$$E_{p\,max} = mgh_{max} = 0.1 \cdot 10 \cdot 0.2 = 0.2\,\text{Дж}$$ Следовательно, $E_k = 0.2\,\text{Дж}$ в $t=0.8\,\text{с}.$
Утверждение $4$ верно.

$5.$ Максимальная скорость:
Из энергии:
$$v_{max} = \sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.2}{0.1}} = 2\,\text{м/с}$$ Утверждение $5$ неверно.

$1.$ Ускорение в $t=0.8\,\text{с}$:
В крайней точке ($x=-4.0\,\text{см}$) ускорение максимально: $a_{max} = \omega^2A.$
Утверждение $1$ неверно.

$2.$ Период колебаний:
Полный цикл завершается за $1.6\,\text{с}$ (возврат в исходную точку).
Утверждение $2$ верно.

$3.$ Частота колебаний:
$$\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{1.6} = 0.625\,\text{Гц}$$ Утверждение $3$ неверно.

$4.$ Кинетическая энергия:
В $t=0.4\,\text{с}$ $ (x=0) $ скорость максимальна $\Rightarrow E_k = E_{k\,max}.$
Утверждение $4$ верно.

$5.$ Силы упругости:
По закону Гука $F = -kx.$
В $t=0.2\,\text{с}$: $F = -k \cdot 2.8\,\text{см}.$
В $t=0.8\,\text{с}$: $F = -k \cdot (-4.0\,\text{cm}) = k \cdot 4.0\,\text{см}.$
Модули сил различны $(2.8k \neq 4.0k).$
Утверждение $5$ неверно.

$1.$ Ускорение в крайней точке:
В $t=1.5\,\text{с}$ грузик в крайнем положении $(x_{max}).$
Ускорение максимально: $a_{max} = \omega^2A.$
Утверждение $1$ верно.

$2.$ Амплитуда колебаний:
Максимальное смещение $A = 7.5\,\text{мм}$ $($при $t=0.5\,\text{с}).$
Утверждение $2$ неверно.

$3.$ Период колебаний:
Полный цикл завершается за $2\,\text{с}$ $($от $t=0.0\,\text{с}$ до $t=2.0\,\text{с}).$
Утверждение $3$ неверно.

$4.$ Потенциальная энергия:
В $t=1.5\,\text{с}$ деформация максимальна $\Rightarrow E_p = \frac{kx^2}{2}$ максимальна.
Утверждение $4$ неверно.

$5.$ Кинетическая энергия:
В $t=1.0\,\text{с}$ $(x=0)$ скорость максимальна $\Rightarrow E_k = E_{k\,max}.$
Утверждение $5$ верно.