13. Электромагнитные колебания и волны. Оптика: Колебательный контур

$1.$ Используем формулу Томсона для периода колебаний:
$$T = 2\pi\sqrt{LC}$$ где $L$ — индуктивность катушки, $C$ — емкость конденсатора.

$2.$ Из графика определяем исходный период:$$T_1 = 20\ \text{мкс}$$ $3.$ При увеличении индуктивности в $4$ раза:$$L_2 = 4L_1$$ $4.$ Находим новый период:$$T_2 = 2\pi\sqrt{4L_1C} = 2 \cdot 2\pi\sqrt{L_1C} = 2T_1$$ $5.$ Вычисляем:$$T_2 = 2 \cdot 20\ \text{мкс} = 40\ \text{мкс}$$

$1.$ Используем формулу Томсона для частоты колебаний:$$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

$2.$ Для получения максимальной частоты выбираем минимальные $L$ и $C{:}$ $$L_{\text{min}} = 1\ \text{мкГн} = 1 \cdot 10^{-6}\ \text{Гн}$$ $$C_{\text{min}} = 30\ \text{пФ} = 30 \cdot 10^{-12}\ \text{Ф}$$ $3.$ Вычисляем частоту: $$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 \cdot10^{-6} \cdot30 \cdot10^{-12}}} = \frac{1}{2 \cdot3.1416 \cdot\sqrt{30 \times 10^{-18}}} $$ $$\nu = \frac{1}{6.2832 \cdot5.477 \cdot10^{-9}} \approx 29.03 \cdot10^6\ \text{Гц}$$ $4.$ Переводим в мегагерцы и округляем: $$\nu \approx 29\ \text{МГц}$$

$1.$ Используем формулу Томсона для частоты колебаний:
$$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

$2.$ Для получения минимальной частоты выбираем максимальные $L$ и $C{:}$ $$L_{\text{max}} = 2\ \text{мкГн} = 2 \cdot10^{-6}\ \text{Гн}$$ $$C_{\text{max}} = 40\ \text{пФ} = 40 \cdot10^{-12}\ \text{Ф}$$ $3.$ Вычисляем частоту: $$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{2 \cdot10^{-6} \cdot40 \cdot10^{-12}}}= \frac{1}{2 \cdot3.1416 \cdot\sqrt{80 \cdot10^{-18}}}$$ $$\nu = \frac{1}{6.2832 \cdot8.944 \cdot10^{-9}} \approx 17.79 \cdot10^6\ \text{Гц}$$ $4.$ Переводим в мегагерцы и округляем: $$\nu \approx 18\ \text{МГц}$$

$1.$ Запишем формулу Томсона для периода колебаний:
$$T = 2\pi\sqrt{LC}$$ где $L$ — индуктивность катушки, $C$ — емкость конденсатора.

$2.$ Из графика определяем исходный период:
$$T_1 = 20\ \text{мкс}$$ $3.$ Изменяем параметры контура: $$L_2 = 4L_1, \quad C_2 = \frac{C_1}{4}$$ $4.$ Вычисляем новый период: $$T_2 = 2\pi\sqrt{L_2 C_2} = 2\pi\sqrt{4L_1 \cdot \frac{C_1}{4}}= 2\pi\sqrt{L_1 C_1}= T_1$$ $5.$ Получаем: $$T_2 = 20\ \text{мкс}$$

$1.$ Используем формулу для циклической частоты колебательного контура:
$$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$ где $L = 2\spaceГн$ — индуктивность, $C = 50\spaceмкФ$ $= 50 \cdot 10^{-6}\spaceФ$ — емкость.

$2.$ Подставляем значения: $$\omega = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot50 \cdot10^{-6}}}= \frac{1}{\sqrt{100 \cdot10^{-6}}}= 100\ \text{рад/с}$$

Из графика видно, что амплитуда колебаний тока составляет $I_0 = 5$ $\text{мА}.$
Согласно закону сохранения энергии в колебательном контуре, максимальная энергия электрического поля конденсатора равна максимальной энергии магнитного поля катушки:

$1.$ Формула энергии магнитного поля:$$E_{\text{магн}} = \frac{L I_0^2}{2}$$ $2.$ Подстановка значений:$$E = \frac{0.2 \cdot (5 \cdot 10^{-3})^2}{2} = 2.5 \cdot 10^{-6}\text{Дж}$$

$1.$ Из уравнения колебаний находим амплитуду напряжения и циклическую частоту: $$U_0 = 40\text{В}, \quad \omega = 500\text{с}^{-1}$$ $2.$ Находим максимальный заряд на конденсаторе:$$q_0 = C U_0 = 6 \cdot 10^{-6} \cdot 40 = 0.24\space \text{мКл}$$ $3.$ Амплитуда силы тока определяется как:$$I_0 = q_0 \omega = 0.24 \cdot 10^{-3} \cdot 500 = 0.12\space \text{А}$$

$1.$ Определяем фазу колебаний через время $t{:}$ $$\frac{t}{T} = \frac{2.5}{5} = 0.5 \text{ периода}$$ $2.$ Через половину периода конденсатор полностью перезаряжается:$$q(t) = -q_0 = -4 \cdot 10^{-6}\text{Кл}$$ $3.$ По абсолютной величине заряд остается таким же:$$|q| = 4 \cdot 10^{-6}\text{Кл} = 4 \space мкКл$$

$1.$ Из графика определяем амплитуду силы тока: $$I_0 = 5\text{мА} = 5 \cdot 10^{-3}\text{А}$$ $2.$ Формула энергии магнитного поля катушки: $$W = \frac{LI_0^2}{2}$$ $3.$ Подставляем значения: $$W = \frac{0.2 \cdot (5 \cdot 10^{-3})^2}{2} = 2.5 \cdot 10^{-6}\space\text{Дж} =2.5\space\text{мкДж}$$

$1.$ Из уравнения колебаний определяем циклическую частоту:$$\omega = 500 \text{ рад/с}$$ $2.$ Используем формулу для циклической частоты колебательного контура:$$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$ $3.$ Выражаем индуктивность и подставляем значения:$$L = \frac{1}{C\omega^2} = \frac{1}{20 \cdot 10^{-6} \cdot (500)^2} = 0.2 \text{ Гн}$$

$1.$ Определяем период колебаний по таблице: $$T = 8 \cdot 10^{-6} \text{ с}$$ $2.$ Используем формулу периода колебательного контура: $$T = 2\pi\sqrt{LC}$$ $3.$ Выражаем емкость и подставляем значения: $$C = \frac{T^2}{4\pi^2 L} = \frac{(8 \cdot 10^{-6})^2}{4\pi^2 \cdot 10^{-3}} \approx 1.6 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} = 1.6 \text{ нФ}$$

$1.$ Находим отношение емкостей: $$\frac{C_1}{C_2} = \frac{4C}{C} = 4$$
где $C$ — емкость одного конденсатора.

$2.$ Связь частот с емкостями: $$\frac{\omega_2}{\omega_1} = \sqrt{\frac{C_1}{C_2}} = \sqrt{4} = 2$$ $3.$ Вычисляем новую частоту и изменение:
$$\omega_2 = 2\omega_1 = 5\space000 \text{ с}^{-1}$$ $$\Delta\omega = \omega_2- \omega_1 = 2\space500 \text{ с}^{-1}$$

$1.$ Из графика определяем исходный период колебаний: $$T_1 = 4 \text{ мкс}$$ $2.$ Записываем формулу для периода колебательного контура: $$T = 2\pi\sqrt{LC}$$ $3.$ Находим новый период при увеличении индуктивности: $$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{L_2}{L_1}} = \sqrt{4} = 2$$ $$T_2 = 2T_1 = 8 \text{ мкс}$$

$1.$ Из графика определяем амплитуду заряда: $$q_0 = 2 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$$ $2.$ Вычисляем максимальную энергию электрического поля: $$W_{max} = \frac{q_0^2}{2C} = \frac{(2 \cdot 10^{-3})^2}{2 \cdot 20 \cdot 10^{-6}} = 0.1 \text{ Дж}$$ $3.$ Согласно закону сохранения энергии, максимальная энергия магнитного поля равна максимальной энергии электрического поля: $$W_{магн}^{max} = W_{max} = 0.1 \text{ Дж}$$

$1.$ Из графика определяем амплитуду силы тока: $$I_0 = 8 \text{ мА} = 8 \cdot 10^{-3} \text{ А}$$ $2.$ Вычисляем максимальную энергию магнитного поля катушки: $$W_{\text{магн}} = \frac{LI_0^2}{2} = \frac{10 \cdot 10^{-3} \cdot (8 \cdot 10^{-3})^2}{2} = \frac{10^{-2} \cdot 64 \cdot 10^{-6}}{2} = 32 \cdot 10^{-8} \text{ Дж}$$ $3.$ Преобразуем в микроджоули:
$$32 \cdot 10^{-8} \text{ Дж} = 0.32 \text{ мкДж}$$ $4.$ По закону сохранения энергии в колебательном контуре: $$W_{\text{эл}}^{\text{max}} = W_{\text{магн}}^{\text{max}} = 0.32 \text{ мкДж}$$

$1.$ Частота колебаний заряда совпадает с частотой колебаний напряжения: $$\omega = 2\pi \cdot 10^6 \text{ с}^{-1}$$ $2.$ Период колебаний связан с циклической частотой: $$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2\pi \cdot 10^6} = 10^{-6} \text{ с}$$ $3.$ Преобразуем в микросекунды:$$10^{-6} \text{ с} = 1 \text{ мкс}$$

$1.$ Устанавливаем связь между циклической частотой и периодом: $$\omega = \frac{2\pi}{T}$$ $2.$ Выражаем период и подставляем значение частоты: $$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2\space500\pi} = \frac{2}{2\space500} \text{ с}$$ $3.$ Преобразуем в миллисекунды: $$\frac{2}{2\space500} \text{ с} = 0.0008 \text{ с} = 0.8 \text{ мс}$$

$1.$ Преобразуем заряд в основные единицы $СИ{:}$ $$q_{max} = 10 \text{ мкКл} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 10^{-5} \text{ Кл}$$ $2.$ Используем формулу связи амплитуды тока с зарядом и частотой: $$I_{max} = \omega \cdot q_{max}$$ $3.$ Подставляем значения и вычисляем: $$I_{max} = 2\space000 \cdot 10^{-5} = 0.02 \text{ А}$$ $4.$ Преобразуем амперты в миллиамперы: $$0.02 \text{ А} = 20 \text{ мА}$$

$1.$ Запишем формулу частоты колебательного контура: $$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$ $2.$ Для двух случаев получаем: $$\nu_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L \cdot 9C}}, \quad \nu_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L \cdot C}}$$ $3.$ Находим отношение частот: $$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{9C}{C}} = \sqrt{9} = 3$$