Среднее арифметическое

Возможно, вы слышали выражения «средний балл за контрольную», «среднее количество осадков» или «средняя годовая температура». Этот урок посвящён среднему арифметическому: тому, что это такое, как найти среднее арифметическое натуральных чисел и дробей, и где это может пригодиться.

Знакомство со средним арифметическим

Решавр, Вообразавр и Иксератопс собирали грибы. Решавр нашёл $5$ грибов, Вообразавр – $7$, а Иксератопс целых $9$! Друзья решили разделить найденное количество грибов поровну.

Они сложили все грибы в кучку, а потом каждый взял себе равное число грибов, то есть они поделили общее количество на $3$.

$5 + 7 + 9 = 21$

$21 : 3 = 7$

То число грибов, которое получилось у каждого из друзей, будет средним арифметическим.  

Среднее арифметическое нескольких чисел – это сумма этих чисел, разделённая на количество слагаемых.

Интерактив

Изменяйте значения чисел, чтобы увидеть среднее арифметическое ряда.

{"questions":[{"content":"Найдите среднее арифметическое чисел $4$ и $6$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Чтобы найти среднее арифметическое двух чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на $2$","Складываем числа:<br />$4+6=10$","Поделим сумму на 2:<br />$10 \\div 2 = 5$"],"step":1},{"content":"Найдите среднее арифметическое чисел $1$, $7$ и $16$[[input-14]]","widgets":{"input-14":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Чтобы найти среднее арифметическое трёх чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на $3$","Складываем числа:<br />$1+7+16=24$","Поделим сумму на 3:<br />$24 \\div 3 = 8$"],"step":1},{"content":"Найдите среднее арифметическое чисел $0.0004$, $0.0001$, $0.0005$, и $0.001$[[input-34]]","widgets":{"input-34":{"type":"input","answer":"0.0005"}},"hints":["Чтобы найти среднее арифметическое $4$ чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на $4$","Складываем числа:<br /> $0.0004 + 0.0001 + 0.0005 + 0.001 =0.002$","Поделим сумму на 4:<br /> $0.002 \\div 4 = 0.0005$"],"step":1}]}

Задачи на нахождение среднего арифметического натуральных чисел

Автомобиль $2$ часа ехал через город со скоростью $30$ км/ч, по пригороду час со скоростью $60$ км/час, а затем ещё $3$ часа по трассе со скоростью $100$ км/час. Вычислите среднюю скорость автомобиля.

Сначала найдём сумму всех расстояний. У нас получится $30 \cdot 2 + 60 + 100 \cdot 3 = 420$

Теперь разделим эту сумму расстояний на количество часов.

$$420 : 6 = 70$$

Следовательно, если бы автомобиль ехал со скоростью $70$ км/ч в течение такого же времени ($6$ часов), он проехал бы такое же расстояние.

Рассмотрим другую задачу.

Первый рабочий за рабочий день собирает $50$ деталей, второй – $44$ более сложные детали, а третий работает над самыми сложными и делает за день гораздо меньше деталей. Сколько деталей он делает, учитывая, что средняя производительность всех трёх рабочих $38$ деталей за смену?

Зная, что средняя производительность $38$, а рабочих трое, мы можем найти сумму деталей, которые они собирают за день.

$$38 \cdot 3 = 114$$

Теперь просто вычтем из этого числа то, что делают первые двое рабочих и найдём количество деталей, которые делает третий.

$$114-50-44 = 20$$

Показать проверку

Скрыть

{"questions":[{"content":"$23$ ученика писали контрольную работу. Пятеро написали на «$5$», тринадцать – на «$4$», остальные на «$3$». Каков средний балл по классу?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"step":1,"hints":["Сначала найдём число учеников, написавших работу на «$3$». Это нужно нам для нахождения суммы всех баллов. <br />$23-18 = 5$","Теперь вычисляем сумму баллов. Для этого каждую отметку умножаем на количество детей, которые её получили. <br />$5 \\cdot 5 + 4 \\cdot 13 + 3 \\cdot 5 = 25 + 52 + 15 = 92$","Теперь нужно полученную сумму разделить на количество учеников. Это и будет средний балл.<br />$92 : 23 = 4$"]}]}

Как найти среднее арифметическое десятичных дробей

Решать задачи на среднее арифметическое достаточно просто, если речь идёт о натуральных числах. Ненамного сложнее дело обстоит с десятичными дробями.

На рисунке 3 изображены три отрезка. Длина отрезка АВ $5.9$ см, отрезка CD – $7.3$ см, а отрезок EF равен среднему арифметическому первых двух отрезков. Какова длина отрезка EF?

Сложим длины отрезков АВ и CD и вычислим их среднюю длину.

$$5.9 + 7.3 = 13.2$$

$$13.2 : 2 = 6.6$$

Теперь решим задачу на нахождение слагаемых. Два кролика ели морковку, серый кролик съел в $1.4$ раза больше морковки, чем белый. Сколько морковки съел каждый, если среднее количество съеденного – $7.5$ морковок?

Начинаем «распутывать» наш пример. Если мы знаем, что среднее арифметическое двух чисел – $7.5$, значит, их сумма – $7.5 \cdot 2 = 15$

Примем количество съеденного белым кроликом за $x$, тогда серый съел $1.4 \cdot x$. Можно составить уравнение:

$$1.4 \cdot x + x = 15$$

Вычислим, сколько съел каждый из кроликов.

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Среднее арифметическое трёх чисел равно $5.2$, а среднее арифметическое двух других чисел равно $10.2$. Чему равно среднее арифметическое всех пяти чисел? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Недостаточно данных для решения","$7.7$","$7.2$","$15.4$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Нам вовсе необязательно знать, чему равно каждое из чисел. Известно, что среднее арифметическое – это сумма, разделённая на количество слагаемых. Число слагаемых известно, оно равно пяти, значит, нужно найти сумму.","Сумма первых трёх чисел равна $5.2 \\cdot 3 = 15.6$","Сумма двух других чисел равна $10.2 \\cdot 2 = 20.4$","Теперь вычисляем среднее арифметическое. <br />$ (15.6 + 20.4) : 5 = 36 : 5 = 7.2$"]}]}

Как найти среднее арифметическое обыкновенных дробей

Вычислять среднее арифметическое обыкновенных дробей приходится не так уж часто. Но давайте рассмотрим, как это делается.

Особенность поиска среднего арифметического обыкновенных дробей состоит в том, что нужно складывать их, а, значит, приводить к общему знаменателю.

Напомним, что приведение к общему знаменателю основывается на основном свойстве дроби, которое позволяет умножить обе части дроби на одно и то же число без изменения значения. Таким образом, мы можем найти для дробных слагаемых дополнительные множители, с помощью которых знаменатели слагаемых станут одинаковыми.

Найдём среднее арифметическое дробей $\frac{2}{3}$ и $\frac{4}{7}$.

Мы можем выполнить сложение только в том случае, если у обоих слагаемых будет одинаковый знаменатель. Сначала нужно понять, к какому наименьшему общему знаменателю нужно привести эти дроби. Для этого требуется найти число, которое делится и на $3$, и на $7$. Это число будет называться НОК (наименьшее общее кратное). Для чисел $3$ и $7$ это будет произведение этих чисел, $21$.

Для того чтобы вычислить дополнительные множители, нужно разделить НОК на каждый из знаменателей. Таким образом, для $3$ дополнительным множителем будет $7$,  а для $7$ это будет $3$.

Умножаем обе части дроби на один и тот же дополнительный множитель.

$$\frac{2}{3} = \frac{2\cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{14}{21}$$

$$\frac{4}{7} = \frac{4\cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{12}{21}$$

Теперь у нас две дроби с одинаковым знаменателем, и мы можем легко их сложить.

$$\frac{14}{21} + \frac{12}{21} = \frac{14 + 12}{21} =  \frac{26}{21}$$

Осталось только разделить эту сумму на число слагаемых. При делении обыкновенной дроби нужно умножить знаменатель дроби на делитель:

$$\frac{26}{21} : 2 = \frac{26}{21 \cdot 2} = \frac{26}{42}$$

Эту дробь можно сократить, разделив обе части на $2$. У нас получится $\frac{13}{21}$.

Многие операции, которые мы разобрали подробно, можно сделать и устно – здесь они расписаны так только для того, чтобы немного повторить пройденный материал.

Разберём ещё пример со смешанными дробями. Найдём среднее арифметическое для дробей $2\frac{1}{6}$ и $3\frac{1}{15}$.

Сначала нужно перевести каждую из этих смешанные дробей в неправильную. Для этого нужно умножить целое число на знаменатель и прибавить числитель.

$$2\frac{1}{6} = \frac{(2 \cdot 6) + 1}{6} = \frac{13}{6}$$

$$3\frac{1}{15} = \frac{(3 \cdot 15) + 1}{15} = \frac{46}{15}$$

Теперь приведём эти дроби к общему знаменателю. НОК $(15$ и $6) = 30$

Теперь подбираем дополнительные множители и складываем наши дроби.

$$\frac{13 \cdot 5}{6 \cdot 5} + \frac{46 \cdot 2}{15 \cdot 2}$$

$$\frac{65}{30} + \frac{92}{30} = \frac{65 + 92}{30} = \frac{157}{30}$$

Мы могли бы выделить целую часть из этой дроби, но нет необходимости, так как мы не закончили вычисления. Для нахождения среднего арифметического разделим полученное число на $2$ (другими словами, умножим дробь на число, обратное делителю, в данном случае $\frac{1}{2}$).

$$\frac{157}{30} : 2 = \frac{157}{30 \cdot 2} = \frac{157}{60} = 2 \frac{37}{60}$$

Если мы захотим поделить $37$ на $60$, у нас получится периодическая дробь: $0.61(6) $

Если нужно записать ответ в виде десятичной дроби, то можно использовать периодическую дробь. В некоторых случаях можно округлить эту дробь, например, $0.61(6) $ приблизительно равно $0.62$

Но если в условиях не сказано, что нужна именно десятичная дробь, лучше оставить обыкновенную, так как она будет точно передавать значение выражения.

{"questions":[{"content":"Расположите в правильном порядке действия, которые нам понадобится выполнить, чтобы найти среднее арифметическое двух обыкновенных дробей с разными знаменателями.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Найти НОК знаменателей дробей и их наименьший общий знаменатель","Найти дополнительные множители для слагаемых","Умножить обе части каждой дроби на дополнительные множители","Найти сумму дробей с общим знаменателем","Умножить знаменатель суммы на число, обратное делителю"]}}}]}

{"questions":[{"content":"На первой скамейке сидит шестеро детей, на второй одиннадцать, а на третьей восемь. Можно ли рассадить их так, чтобы на всех скамейках сидело поровну? Если да, то сколько человек получится на каждой скамейке? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нет, так как среднее арифметическое – дробное число.","Да, среднее арифметическое равно $8$, по $8$ человек на скамейке.","Да, среднее арифметическое равно $7$, по $7$ человек на скамейке."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Вычислим среднее арифметическое. Для этого нужно сложить количество детей на каждой из скамеек и разделить на количество скамеек.","$ (6+11+8) : 3 = 25 : 3 = 8,(3) $","Среднее арифметическое – дробное число, следовательно, рассадить детей поровну по скамейкам не получится."]},{"content":"За неделю Образавр гулял в парке в среднем по $3$ км/день. Из этих семи дней три дня он проходил ровно по $5$ км, а в один из дней парк был закрыт, и Образавр туда не попал. По сколько километров в среднем он проходил в оставшиеся дни? [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"2"}},"step":1,"hints":["Сначала найдём, сколько километров Образавр прошёл за неделю. Для этого умножим среднее арифметическое на $7$. <br />$3 \\cdot 7 = 21$","Теперь вычтем из суммы пройденного известное количество километров. <br />$21-15-0 = 6$","Теперь осталось только поделить найденное число на количество оставшихся в неделе дней, то есть на $3$. <br />$6 : 3 = 2$"]},{"content":"Соедините пары обыкновенных дробей с их средним арифметическим. [[matcher-35]]","widgets":{"matcher-35":{"type":"matcher","labels":["$\\frac{1}{4}, \\frac{2}{5}$","$\\frac{3}{16}, \\frac{3}{4}$","$\\frac{7}{8}, \\frac{1}{3}$"],"items":["$\\frac{13}{40}$","$\\frac{15}{32}$","$\\frac{29}{48}$"]}},"step":1,"hints":["Для выполнения этого задания необязательно вычислять среднее арифметическое, достаточно понимать, по каким правилам оно находится. <br />Для того чтобы узнать среднее арифметическое обыкновенных дробей, нужно сложить их и разделить на число слагаемых, в данном случае на $2$.","При делении обыкновенных дробей знаменатель дроби умножается на $2$. Следовательно, знаменатель среднего арифметического двух обыкновенных дробей будет представлять из себя наименьший общий знаменатель этих дробей, умноженный на $2$. Следовательно, достаточно будет найти наименьший общий знаменатель для каждой пары обыкновенных дробей.","Наименьшим общим знаменателем для дробей $\\frac{1}{4}$ и $\\frac{2}{5}$ будет $20$, наименьшим общим знаменателем для дробей $\\frac{3}{16}$ и $\\frac{3}{4}$ будет $16$, а наименьшим общим знаменателем для дробей $\\frac{7}{8}$ и $\\frac{1}{3}$\t будет $24$."]}]}