Карточки
Тесты
ВПР, 7 класс, Математика: 9. Задачи на отношение величин, пропорциональность и проценты: все задания
Имеется $20$ кг плодов, в которых вода составляет $80\%$ массы. После подсушивания доля воды уменьшилась до $60\%$. Какой стала масса плодов в килограммах, если при сушке удалялась только вода?
Первоначально сухое вещество составляло двадцать процентов массы.
$100-80=20$ (%).
Найдем массу сухого вещества. При сушке она не изменяется.
$20\cdot\frac{20}{100}=4$ (кг).
После подсушивания сухое вещество составляет сорок процентов новой массы.
$100-60=40$ (%).
Восстановим новую массу по массе сухого вещества.
$4\cdot\frac{100}{40}=10$ (кг).
20
После усовершенствования станка его производительность увеличилась на $25\%$. На сколько процентов сократится время выполнения одного и того же заказа при непрерывной работе станка?
Новая производительность составляет сто двадцать пять процентов прежней. Для неизменного объема работы время обратно пропорционально производительности.
$\frac{100}{125}=0{,}8$.
Новое время составляет восемьдесят процентов прежнего.
$0{,}8\cdot100=80$ (%).
Найдем, на сколько процентов время сократилось.
$100-80=20$ (%).
20
В первый день магазин продал $40\%$ имевшихся тетрадей, а во второй день — $25\%$ оставшихся. После этого в магазине осталось $90$ тетрадей. Сколько тетрадей было в магазине первоначально?
После второго дня осталось семьдесят пять процентов количества тетрадей, имевшихся к началу этого дня.
$100-25=75$ (%).
Восстановим количество тетрадей до второй продажи.
$90\cdot\frac{100}{75}=120$ (тетрадей).
После первого дня осталось шестьдесят процентов первоначального количества.
$100-40=60$ (%).
Восстановим первоначальное количество тетрадей.
$120\cdot\frac{100}{60}=200$ (тетрадей).
20
В библиотеке справочники составляли $30\%$ всех книг. После приобретения $40$ справочников их доля стала равна $40\%$ всех книг. Сколько всего книг было в библиотеке первоначально?
Пусть первоначально было $x$ книг. Тогда справочников было $0{,}3x$. После покупки книг стало $x+40$, а справочников — $0{,}3x+40$. Составим уравнение по новой доле справочников.
$0{,}3x+40=0{,}4(x+40)$.
Раскроем скобки.
$0{,}3x+40=0{,}4x+16$.
Перенесем слагаемые с неизвестным в левую часть, а числа — в правую.
$0{,}4x-0{,}3x=40-16$.
Приведем подобные слагаемые.
$0{,}1x=24$.
Разделим обе части уравнения на одну десятую.
$x=24:0{,}1=240$.
20
Расстояние между городами равно $120$ км. Из первого города во второй автомобиль ехал со скоростью $60$ км/ч, а обратно — со скоростью $40$ км/ч. Остановок не было. Найдите среднюю скорость автомобиля за всю поездку.
Найдем время движения из первого города во второй.
$120:60=2$ (ч).
Найдем время обратного пути.
$120:40=3$ (ч).
Общее расстояние равно двум расстояниям между городами.
$120\cdot2=240$ (км).
Найдем общее время поездки.
$2+3=5$ (ч).
Разделим весь путь на все время.
$240:5=48$ (км/ч).
20
Скорость катера в стоячей воде равна $15$ км/ч, скорость течения реки — $3$ км/ч. Катер прошел $36$ км по течению и вернулся обратно, не делая остановок. Сколько часов заняла вся поездка, если скорости постоянны?
Найдем скорость катера по течению.
$15+3=18$ (км/ч).
Найдем время пути по течению.
$36:18=2$ (ч).
Найдем скорость катера против течения.
$15-3=12$ (км/ч).
Найдем время обратного пути.
$36:12=3$ (ч).
Сложим времена движения.
$2+3=5$ (ч).
20
Шесть одинаковых станков, работая по $8$ ч в день, изготавливают за $5$ дней $1200$ деталей. Сколько деталей изготовят четыре таких станка за $3$ дня, работая по $10$ ч в день, если производительность каждого станка постоянна?
Найдем, сколько часов работал каждый станок в первом случае.
$8\cdot5=40$ (ч).
Найдем количество деталей, изготовленных одним станком за час.
$1200:(6\cdot40)=5$ (деталей/ч).
Найдем время работы каждого станка в новых условиях.
$3\cdot10=30$ (ч).
Умножим часовую производительность одного станка на время работы и на число станков.
$5\cdot30\cdot4=600$ (деталей).
20
Восемь рабочих могут выполнить заказ за $12$ дней. После $3$ дней совместной работы двое рабочих ушли. За сколько дней с начала работы будет выполнен весь заказ, если производительность всех рабочих одинакова и постоянна?
Найдем, сколько дней потребовалось бы одному рабочему для всего заказа.
$8\cdot12=96$ (дней).
За первые три дня восемь рабочих выполнили работу, на которую одному рабочему понадобилось бы двадцать четыре дня.
$8\cdot3=24$ (дня).
Найдем, сколько дней потребовалось бы одному рабочему на оставшуюся работу.
$96-24=72$ (дня).
Оставшиеся шесть рабочих выполнят его за двенадцать дней.
$72:(8-2)=12$ (дней).
Прибавим три уже прошедших дня.
$3+12=15$ (дней).
20
Из пункта $A$ выехал велосипедист со скоростью $12$ км/ч. Через $1{,}5$ ч из того же пункта в том же направлении выехал мотоциклист со скоростью $30$ км/ч. На каком расстоянии в километрах от пункта $A$ мотоциклист догонит велосипедиста, если их скорости постоянны?
Найдем расстояние, которое велосипедист проехал до выезда мотоциклиста.
$12\cdot1{,}5=18$ (км).
При движении в одном направлении скорость сближения равна разности скоростей.
$30-12=18$ (км/ч).
Найдем время движения мотоциклиста до встречи.
$18:18=1$ (ч).
Найдем путь мотоциклиста от пункта отправления до встречи.
$30\cdot1=30$ (км).
20
Первый насос наполняет пустой резервуар за $6$ ч, второй — за $3$ ч. Сначала первый насос работал один $2$ ч, затем включили и второй насос. Через сколько минут после включения второго насоса резервуар наполнится, если оба насоса работают с постоянной производительностью?
Найдем долю резервуара, заполненную за первые два часа.
$2:6=\frac{1}{3}$.
Найдем оставшуюся незаполненную долю.
$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
За один час первый насос наполняет одну шестую резервуара, второй — одну треть. Сложим эти доли.
$\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$.
Разделим оставшуюся долю на общую производительность и получим время в часах.
$\frac{2}{3}:\frac{1}{2}=\frac{4}{3}$ (ч).
Переведем время в минуты.
$\frac{4}{3}\cdot60=80$ (мин).
20