7 класс Вероятность и статистика Описательная статистика

Случайная изменчивость: частоты, группировка, гистограмма

Содержание

В этом уроке разберем, почему повторные измерения дают разные числа, как найти частоты значений, разложить данные по интервалам и построить гистограмму. Понадобятся размах из урока «Разброс: наибольшее, наименьшее, размах» и столбиковые диаграммы из урока «Таблицы и столбиковые диаграммы».

Вопрос для начала. В 1846 году бельгийский ученый Адольф Кетле разобрал обхват груди $5738$ шотландских солдат по данным 1817 года, в дюймах: у $3$ солдат — $33$ дюйма, у $1079$ — $40$ дюймов. У каждого свой обхват. Есть ли в этой пестроте порядок? Ответим в последнем разделе.

Одно и то же измеряют — а числа разные

Проведем опыт «поймай линейку». Друг держит линейку за верхний конец, нулевая отметка — между вашими большим и указательным пальцами. Без предупреждения он отпускает линейку, вы ее ловите. Отметка у пальцев показывает, сколько сантиметров линейка пролетела: чем быстрее реакция, тем меньше число.

Один ученик сделал $20$ попыток и получил (в сантиметрах): $16$, $18$, $14$, $17$, $15$, $20$, $16$, $13$, $17$, $18$, $15$, $16$, $12$, $19$, $17$, $15$, $16$, $21$, $14$, $18$. Измеряли одно и то же, а числа разные.

Представим каждое измерение кирпичиком — таким же, как грузик в уроке «Среднее и медиана». Положим кирпичики на числовую ось над их значениями. Одинаковые результаты встают друг на друга.

20 попыток поймать линейку: над осью длины от 12 до 21 см стоят стопки одинаковых кирпичиков по числу попыток. Размах 9 см. В середине, от 15 до 18 см, оказались 13 попыток из 20 — Кирпичики легли от $12$ до $21$ см, но большинство — от $15$ до $18$ см: $13$ из $20$

Кирпичики легли неравномерно: большинство теснится около $16$–$17$ см, к краям их меньше. Наименьшее значение $12$, наибольшее $21$, размах $21-12=9$ см. «Правильного» результата среди двадцати нет: рука, внимание, момент старта каждый раз немного другие.

Определение

Случайная изменчивость — различие результатов повторных измерений или наблюдений, вызванное случайными причинами.

Случайная изменчивость встречается почти везде: масса яиц в одной упаковке, результаты прыгуна в шести попытках. Ее отличают от закономерного изменения: горящая свеча каждую минуту становится короче по правилу, а не случайно.

{"questions":[{"content":"Распределите примеры: где различие результатов вызвано случайными причинами, а где — закономерностью.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Случайная изменчивость","Закономерное изменение"],"items":[["Время реакции одного ученика в $10$ попытках","Масса батонов, испеченных одной пекарней за день","Очки одного стрелка в $20$ выстрелах"],["Рост одного ребенка в $1$, $3$, $5$ и $7$ лет","Цена проезда, которая каждый месяц растет на $2$ ₽","Температура воды в чайнике каждые $30$ секунд после включения"]]}},"hints":["Случайная изменчивость — различие результатов повторных измерений или наблюдений, вызванное случайными причинами.","Если величина меняется по понятному правилу (растет с возрастом, дорожает каждый месяц), это закономерность, а не случайность.","Ответ: случайная изменчивость — время реакции в $10$ попытках, масса батонов одной пекарни, результаты одного стрелка; закономерность — рост ребенка по годам, цена, которая растет каждый месяц, температура воды в нагреваемом чайнике."],"step":1},{"content":"Ученик пять раз поймал падающую линейку и получил $16$, $19$, $14$, $17$, $18$ см. Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Опыт проведен неверно: при правильном опыте числа совпадают","Верен только первый результат, остальные — ошибки","Разные результаты — обычная случайная изменчивость","Правильный результат — наибольший, $19$ см"],"explanations":["Даже точные приборы при повторных измерениях дают разброс","Первая попытка ничем не лучше других: все пять — честные измерения","","Наибольшее значение — край ряда, а не «верный» результат"],"answer":[2]}},"hints":["Повторные измерения одной величины почти всегда дают разные числа: рука, внимание, момент старта каждый раз немного другие.","Это случайная изменчивость. «Правильного» числа среди пяти нет; результаты разбросаны вокруг типичного значения.","Ответ: разные результаты — обычная случайная изменчивость."],"step":1}],"mix":1}

Частота — это высота стопки

Посчитаем кирпичики в каждой стопке. Над отметкой $16$ стоят $4$ кирпичика: результат $16$ см встретился $4$ раза. Это число называют частотой значения $16$. Вы уже встречали частоты в таблице оценок в уроке «Среднее и медиана».

Можно спросить иначе: какую долю всех кирпичиков составляет стопка? $4:20=0{,}2$, то есть $20\%$.

Определение

Частота значения — число, которое показывает, сколько раз значение встречается в ряду данных.

Относительная частота — частота, деленная на число всех данных:

$$\text{относительная частота}=\frac{\text{частота}}{\text{число всех данных}}$$

Если вы проходили урок «Вероятность и частота», там частота события $\frac{m}{n}$ — это та же относительная частота. Дальше слово «частота» без уточнения означает «сколько раз», а долю называем относительной частотой.

Пример 1

Составим таблицу частот для $20$ попыток «поймай линейку».

1) Выпишем все различные значения по возрастанию: от $12$ до $21$.

2) Для каждого значения посчитаем, сколько раз оно встречается в ряду. Просмотренные числа удобно вычеркивать.

3) Каждую частоту разделим на $20$.

Длина, см	Частота	Относительная частота
$12$	$1$	$0{,}05$
$13$	$1$	$0{,}05$
$14$	$2$	$0{,}1$
$15$	$3$	$0{,}15$
$16$	$4$	$0{,}2$
$17$	$3$	$0{,}15$
$18$	$3$	$0{,}15$
$19$	$1$	$0{,}05$
$20$	$1$	$0{,}05$
$21$	$1$	$0{,}05$
Всего	$20$	$1$

Вверху те же стопки: над стопками частоты 1, 1, 2, 3, 4, 3, 3, 1, 1, 1, стопка при 16 см выделена: частота 4. Внизу все 20 кирпичиков в ряд, четыре кирпичика со значением 16 выделены: 4 из 20 = 0,2 = 20%, а не 4% — Высота стопки — частота. Стопка над $16$ — это $4$ кирпичика из $20$, пятая часть всех: $20\%$

Правило

Сумма частот всех значений равна числу данных. Сумма относительных частот равна $1$, то есть $100\%$.

Почему: каждый кирпичик стоит ровно в одной стопке, поэтому, сложив стопки, мы посчитаем каждый кирпичик один раз.

Ошибка

Решавр пишет: «Результат $16$ см встретился $4$ раза, значит, его относительная частота $4\%$».

Проверим на числах. Если так записать все значения, получится $1\%$, $1\%$, $2\%$, $3\%$, $4\%$, $3\%$, $3\%$, $1\%$, $1\%$, $1\%$ — в сумме $20\%$. А все $20$ попыток вместе — это $100\%$.

Где сломалось: частоту не разделили на число всех данных. Верно: $4:20=0{,}2=20\%$.

{"questions":[{"content":"Оценки $20$ учеников за контрольную: $5$, $4$, $4$, $3$, $5$, $4$, $2$, $4$, $3$, $5$, $4$, $4$, $3$, $5$, $4$, $3$, $4$, $5$, $4$, $3$. Сколько раз встречается оценка $3$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Частота значения — число, которое показывает, сколько раз значение встречается в ряду данных.","Просмотрите ряд и отмечайте каждую тройку: они стоят на $4$-м, $9$-м, $13$-м, $16$-м и $20$-м местах.","Ответ: $5$."],"step":1},{"content":"Из $20$ учеников $5$ выбрали баскетбол. Решавр записал относительную частоту выбора баскетбола как $5\\%$. Какая относительная частота верная?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$4\\%$","$25\\%$","$20\\%$","$5\\%$"],"explanations":["Разделили наоборот: $20:5=4$","","Число всех учеников приняли за проценты","Это ответ Решавра: частоту $5$ записали как проценты, не разделив на $20$"],"answer":[1]}},"hints":["Относительная частота — частота, деленная на число всех данных.","$5:20=0{,}25$, а $0{,}25$ — это $25\\%$.","Ответ: $25\\%$."],"step":1},{"content":"Относительные частоты оценок «$2$», «$3$» и «$4$» за контрольную равны $0{,}05$, $0{,}35$ и $0{,}4$. Других оценок, кроме «$5$», не было. Найдите относительную частоту оценки «$5$». [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,2","0.2"]}},"hints":["Каждое данное попадает ровно в одно значение, поэтому сумма относительных частот всех значений равна $1$.","$1-(0{,}05+0{,}35+0{,}4)=1-0{,}8$.","Ответ: $0{,}2$."],"step":1}],"mix":1}

Когда значения не повторяются, кирпичики раскладывают по ящикам

Измерили рост $40$ семиклассников с точностью до сантиметра (в сантиметрах): $148$, $166$, $153$, $157$, $154$, $152$, $162$, $157$, $151$, $153$, $172$, $141$, $160$, $154$, $171$, $156$, $158$, $163$, $160$, $158$, $156$, $164$, $150$, $159$, $169$, $154$, $145$, $143$, $164$, $155$, $161$, $168$, $158$, $149$, $165$, $148$, $146$, $159$, $151$, $157$.

Над каждым значением стояло бы $1$–$3$ кирпичика, а над многими отметками — пусто: «расческа», формы данных не видно. Поэтому кирпичики складывают в ящики, каждый из которых отвечает за интервал значений.

Определение

Группировка — разбиение значений на интервалы одинаковой ширины и подсчет частоты каждого интервала.

Как выбрать ящики. Размах роста $172-141=31$ см. Для нескольких десятков чисел обычно берут от $5$ до $10$ ящиков; чем больше данных, тем больше ящиков можно взять. Для $7$ ящиков ширина около $31:7\approx 4{,}4$ см; возьмем круглое число $5$ см. Начнем с круглого числа $140$ — оно не больше наименьшего значения: интервалы $140$–$145$, $145$–$150$, …, $170$–$175$. Их $7$, и они накрывают все значения от $141$ до $172$.

Осталось договориться о кирпичиках на границе. Куда положить ученика ростом $155$ см — в ящик $150$–$155$ или в ящик $155$–$160$?

Правило

Левый конец интервала входит в интервал, правый — нет. Значение на границе кладут в правый ящик: $155$ — в интервал $155$–$160$.

Почему так договариваются: у каждого кирпичика должен быть ровно один ящик.

Например, если бы наибольший рост был $175$ см, понадобился бы восьмой ящик $175$–$180$: в ящик $170$–$175$ число $175$ не входит.

Два ящика-интервала: в ящике 150–155 девять кирпичиков, в ящике 155–160 десять и свободное место. Кирпичик со значением 155 стоит на границе и падает вправо, на свободное место: в ящике 155–160 вместе с ним 11 значений; в левый ящик его класть нельзя. Левый конец интервала входит, правый — нет — Каждый кирпичик падает ровно в один ящик: кирпичик $155$ лежит на границе и уходит в правый ящик $155$–$160$, где он одиннадцатый

Пример 2

Сгруппируем рост $40$ учеников по интервалам ширины $5$ см.

Просматриваем ряд и кладем каждое число в его ящик. Например, в ящик $150$–$155$ попали $150$, $151$, $151$, $152$, $153$, $153$, $154$, $154$, $154$ — частота $9$. Число $155$ сюда не входит.

Проверка: $2+5+9+11+7+4+2=40$ — каждый ученик посчитан один раз.

Рост, см	Частота	Относительная частота
$140$–$145$	$2$	$5\%$
$145$–$150$	$5$	$12{,}5\%$
$150$–$155$	$9$	$22{,}5\%$
$155$–$160$	$11$	$27{,}5\%$
$160$–$165$	$7$	$17{,}5\%$
$165$–$170$	$4$	$10\%$
$170$–$175$	$2$	$5\%$
Всего	$40$	$100\%$

Ошибка

Решавр положил ученика ростом $155$ см и в ящик $150$–$155$, и в ящик $155$–$160$. У него получились частоты $2$, $5$, $10$, $11$, $7$, $4$, $2$.

Проверим на числах: $2+5+10+11+7+4+2=41$, а учеников $40$. Одного ученика посчитали дважды.

Где сломалось: у каждого кирпичика ровно один ящик. Число $155$ — правый конец интервала $150$–$155$, оно туда не входит. Сумма частот, равная числу данных, — быстрая проверка любой группировки.

Размах показывал только края стенки из кирпичиков. Ящики показывают, как кирпичики лежат внутри: больше всего — от $155$ до $160$ см.

{"questions":[{"content":"Расположите шаги группировки данных по интервалам в правильном порядке.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Найти размах: наибольшее значение минус наименьшее","Теперь найти ширину: размах разделить на число интервалов и округлить","Затем построить интервалы этой ширины от круглого числа, не большего наименьшего значения","После этого разложить значения по интервалам: граничное — в правый","В итоге проверить, что сумма частот равна числу данных"]}},"hints":["Сначала узнают, какой отрезок оси занимают данные: от наименьшего значения до наибольшего. Каждый следующий шаг опирается на предыдущий.","Ширину получают, разделив размах на число интервалов и округлив; от нее строят интервалы от круглого числа, потом раскладывают значения и проверяют сумму частот.","Ответ: размах → ширина → интервалы от круглого числа → раскладка → проверка суммы частот."],"step":1},{"content":"Наименьшее значение ряда — $21$, наибольшее — $44$. Данные группируют по интервалам ширины $4$, начиная с $20$: $20$–$24$, $24$–$28$ и так далее (левый конец входит, правый — нет). Сколько интервалов понадобится? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Интервалы: $20$–$24$, $24$–$28$, $28$–$32$, $32$–$36$, $36$–$40$, $40$–$44$, …","Значение $44$ — правый конец интервала $40$–$44$ и в него не входит. Нужен еще интервал $44$–$48$.","Ответ: $7$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Решавр взвесил $30$ пачек творога и составил таблицу частот по интервалам $195$–$200$, $200$–$205$, $205$–$210$ г (левый конец входит, правый — нет): $9$, $14$, $8$. В чем ошибка Решавра?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: сумма частот бывает больше числа пачек","Одну пачку он посчитал в двух интервалах","Одну из пачек он пропустил при подсчете","Пачку с массой на границе он положил в левый интервал"],"explanations":["Каждая пачка лежит ровно в одном интервале, поэтому сумма частот равна $30$","","Тогда сумма частот была бы меньше $30$, а она больше: $9+14+8=31$","Тогда пачка посчитана один раз и сумма осталась бы $30$; лишняя единица в сумме значит, что пачку посчитали дважды"],"answer":[1]}},"hints":["Проверка: каждая пачка попадает ровно в один интервал, поэтому сумма частот должна равняться $30$.","$9+14+8=31$ — на одну пачку больше. Значит, одну пачку посчитали дважды; скорее всего, это пачка на границе, например $200$ или $205$ г.","Ответ: одну пачку он посчитал в двух интервалах."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Гистограмма — стопки в ящиках, поставленных вплотную

Поставим ящики на ось роста. Ширина ящика — интервал в $5$ см, высота стопки — частота интервала. Интервалы идут друг за другом без промежутков, поэтому ящики стоят вплотную.

Определение

Гистограмма — диаграмма частот сгруппированных данных: над каждым интервалом стоит столбик шириной в интервал и высотой, равной частоте; столбики соседних интервалов стоят вплотную.

Гистограмма роста 40 учеников, интервалы по 5 см: 2, 5, 9, 11, 7, 4, 2; столбики разделены на кирпичики по одному ученику. Отметка 160 см выделена, три столбика правее неё закрашены: 7 + 4 + 2 = 13 учеников ростом от 160 см. Ошибка Решавра: взять только один столбик, 7 — Гистограмма роста $40$ учеников. «$160$ см и выше» — это все три столбика правее отметки $160$: $7+4+2=13$

Пример 3

Сколько учеников имеют рост от $150$ до $160$ см ($160$ не входит)? Какая это доля?

Этому вопросу отвечают два столбика: $150$–$155$ и $155$–$160$. Складываем их высоты: $9+11=20$ учеников.

Доля: $20:40=0{,}5=50\%$.

Ответ: $20$ учеников, $50\%$.

Ошибка

Вопрос: сколько учеников ростом $160$ см и выше? Решавр отвечает: «$7$» — это высота столбика $160$–$165$.

Проверим на числах. Левее отметки $160$ стоят столбики $2+5+9+11=27$. Если бы ростом $160$ см и выше было $7$ учеников, всего получилось бы $27+7=34$, а учеников $40$.

Где сломалось: «$160$ и выше» — это все столбики правее отметки $160$, а не первый из них: $7+4+2=13$.

Чем гистограмма отличается от столбиковой диаграммы из урока «Таблицы и столбиковые диаграммы»? Столбиковая диаграмма сравнивает отдельные категории — кружки, классы, дни недели: между столбиками промежутки, высота — сама величина. Под гистограммой одна числовая ось, разбитая на интервалы: столбики стоят вплотную, высота — частота интервала.

Сверху столбиковая диаграмма с промежутками: в кружках Хор 8, Шахматы 12, Футбол 15, Театр 6 учеников; промежутки — отдельные категории. Снизу гистограмма роста 40 учеников: столбики вплотную 2, 5, 9, 11, 7, 4, 2 над одной числовой осью с отметками от 140 до 175 — Слева столбиковая диаграмма: отдельные категории, столбики с промежутками. Справа гистограмма: одна числовая ось, столбики вплотную

{"questions":[{"content":"Распределите признаки: какие относятся к столбиковой диаграмме, а какие — к гистограмме.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Столбиковая диаграмма","Гистограмма"],"items":[["Между столбиками промежутки","Под столбиками — отдельные категории","Высота столбика — сама величина"],["Столбики стоят вплотную","Под столбиками — интервалы одной числовой оси","Высота столбика — частота интервала"]]}},"hints":["Столбиковая диаграмма сравнивает отдельные категории, гистограмма показывает частоты интервалов одной числовой оси.","У категорий между столбиками промежутки, высота — сама величина. Интервалы идут друг за другом: столбики вплотную, высота — частота.","Ответ: столбиковая — промежутки, категории, высота — величина; гистограмма — вплотную, интервалы одной оси, высота — частота."],"step":1},{"content":"[[image-1]]На гистограмме — рост $30$ учеников. Сколько учеников имеют рост от $155$ до $160$ см ($160$ не входит)? [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zuvzoozphjoq.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Над каждым интервалом стоит столбик высотой, равной частоте интервала.","Найдите столбик между отметками $155$ и $160$ и прочитайте его высоту по шкале.","Ответ: $9$."],"step":1},{"content":"[[image-2]]На гистограмме — рост $30$ учеников. Решавр ответил на вопрос «Сколько учеников ниже $155$ см?» числом $5$ — высотой столбика $150$–$155$. Сколько учеников на самом деле?[[choice-1]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zuvzoozphjoq.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$7$","$2$","$5$","$16$"],"explanations":["","Взят только первый столбик $145$–$150$, а рост от $150$ до $155$ см тоже ниже $155$","Это ответ Решавра: взят один столбик, а левее отметки $155$ стоит еще столбик $145$–$150$","Добавлен столбик $155$–$160$: в нем рост не меньше $155$ см"],"answer":[0]}},"hints":["«Ниже $155$ см» — все интервалы левее отметки $155$, а не один столбик.","Столбики $145$–$150$ и $150$–$155$: $2+5$.","Ответ: $7$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Ширина ящика меняет картинку

Одни и те же $40$ значений роста можно разложить по ящикам разной ширины: $1$, $2$, $5$ или $10$ см. Попробуйте сами: найдите ширину, при которой видна вершина горы, и назовите интервал вершины.

ig-shirina-yashchika

При ширине $5$ см видна гора с вершиной $155$–$160$; при $1$ см — расческа, при $10$ см — башни.

Важно

Слишком узкие ящики дают расческу, слишком широкие — одну-две башни. Ширину выбирают так, чтобы в большинстве ящиков лежало по несколько кирпичиков; для нескольких десятков чисел это обычно $5$–$10$ ящиков.

При разумной ширине гистограмма показывает форму данных. Гора — высокие столбики в середине, к краям ниже. Хвост — с одной стороны столбики спускаются медленно и тянутся далеко. Например, $30$ учеников записали, сколько минут делали домашнее задание: большинство уложились в $10$–$30$ минут, но трое сидели $50$ минут и дольше — справа хвост.

Гистограмма времени на домашнее задание 30 учеников, интервалы по 10 минут от 10 до 70: 9, 11, 5, 2, 2, 1. Длинный хвост вправо. Среднее около 28 минут правее медианы 25 минут: далекие значения хвоста тянут среднее вправо — Хвост вправо: несколько долгих значений тянут опору-среднее ($\approx 28$ мин) правее флажка-медианы ($25$ мин)

Почему так, вы знаете из урока «Среднее и медиана»: среднее — точка опоры качелей, и далекие грузики сдвигают ее к себе, а медиана — середина очереди, она от далеких значений почти не сдвигается. Поэтому при хвосте вправо среднее больше медианы, при хвосте влево — меньше.

Данные о домашнем задании для проверки

Скрыть

Время в минутах: $12$, $14$, $15$, $15$, $16$, $17$, $18$, $18$, $19$, $20$, $21$, $22$, $22$, $24$, $25$, $25$, $26$, $27$, $28$, $29$, $30$, $32$, $35$, $36$, $38$, $42$, $47$, $52$, $58$, $66$.

Среднее $28{,}3$ мин, медиана $25$ мин.

Вернемся к солдатам Кетле. Ящики здесь по $1$ дюйму. Ящиков $16$ — больше десяти, но данных $5738$, и в большинстве ящиков лежат десятки и сотни кирпичиков, поэтому расчески нет. Кирпичиков так много, что стопки выглядят сплошными столбиками.

Гистограмма обхвата груди 5738 солдат по данным 1817 года, интервалы по одному дюйму от 33 до 48. Ровная почти симметричная гора с вершиной у 39–40 дюймов: 1073 и 1079 человек. Среднее около 39,8 и медиана 40 почти совпадают — Ровная гора: вершина у $39$–$40$ дюймов, к краям столбики плавно и почти одинаково спускаются

У каждого солдата обхват свой, но вместе они сложились в правильную гору. Больше трех четвертей солдат имеют обхват от $38$ до $42$ дюймов включительно, к краям столбики все ниже. Среднее около $39{,}8$ дюйма, медиана $40$ — почти совпадают, как у любой симметричной горы. Кетле был астрономом и заметил: так же располагаются ошибки многократных измерений одной величины. Случайная изменчивость — не хаос: у нее есть форма, и гистограмма ее показывает.

Интересный факт: таблица Кетле

Скрыть

В 1986 году историк статистики Стивен Стиглер нашел в таблице ошибки переписывания: в исправленной — $5732$ солдата, а гора та же. Такую симметричную гору позже назвали нормальным распределением.

{"questions":[{"content":"Гистограмму роста построили по интервалам ширины $1$ см. Столбики высотой $0$, $1$, $2$ и $3$ чередуются без всякого порядка. Что сделать, чтобы увидеть форму данных?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Начать шкалу частот с $1$, а не с $0$","Взять интервалы еще уже, по $0{,}5$ см","Взять интервалы шире, например по $5$ см","Убрать интервалы, в которых частота $0$"],"explanations":["Шкала не с нуля искажает высоты столбиков, а форму данных не показывает","В более узкие интервалы попадет еще меньше значений: расческа станет реже","","Пустой интервал — тоже часть числовой оси: без него столбики перестанут стоять по порядку"],"answer":[2]}},"hints":["Узкие интервалы дают «расческу»: в каждый попадает слишком мало значений.","Чем шире интервал, тем больше значений в нем собирается и тем ровнее видна гора (но слишком широкие интервалы сливают все в одну-две башни).","Ответ: взять интервалы шире, например по $5$ см."],"step":1},{"content":"Гистограмма числа сообщений, которые $40$ семиклассников отправили за день: высокие столбики стоят слева, от $10$ до $40$ сообщений, а вправо тянется длинный низкий хвост — у нескольких учеников больше $150$ сообщений. Среднее число сообщений, скорее всего, [[fill_choice-1]] медианы.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["больше","почти не отличается от","меньше"],"answer":0}},"hints":["Медиана — середина очереди: далекие значения хвоста ее почти не сдвигают.","Среднее — точка опоры качелей: далекие значения хвоста тянут его к себе, то есть вправо, в сторону больших чисел.","Ответ: больше."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Повторные измерения почти никогда не совпадают — это случайная изменчивость. Таблица частот и гистограмма превращают пестрый ряд в картинку: видно, где большинство значений и есть ли хвост.

Часто задаваемые вопросы

Чем частота отличается от относительной частоты?

Частота — сколько раз встретилось значение, целое число. Относительная частота — доля: частота, деленная на число всех данных; ее пишут дробью или в процентах.

Почему граничное значение кладут в правый интервал, а не в левый?

Это договоренность. Можно включать и правый конец, но тогда для всех интервалов таблицы. Главное — у каждого значения ровно один интервал.

Почему у Кетле $16$ интервалов, а советуют $5$–$10$?

Число интервалов зависит от числа данных: $5$–$10$ — ориентир для нескольких десятков значений. У Кетле данных $5738$, и в большинстве из $16$ интервалов их десятки и сотни.

Если результаты измерений разные, значит, кто-то ошибся?

Не обязательно. Даже точные приборы при повторных измерениях дают разные числа. Ошибка — это, например, неверно записанное число, а разброс вокруг типичного значения — обычное свойство данных.

Награды за урок