Задание 6. Действия с рациональными числами. Часть 2

{"questions":[{"content":"Определим порядок действий:[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Выполним возведение в $\\textcolor{green}{степень}$","Произведем умножение","Найдем разность"]}}}]}

{"questions":[{"content":"Выполняем первое действие: возведем $\\frac{1}{5}$ в $\\textcolor{green}{квадрат}$:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{1}{25}$","$\\frac{25}{25}$","$\\frac{2}{5}$"],"answer":[0]}},"hints":["При возведении дроби в $\\textcolor{green}{степень}$, в $\\textcolor{green}{степень}$ возводятся числитель и знаменатель данной дроби: $$({\\frac{1}{5}})^\\textcolor{green}{2}=\\frac{1^\\textcolor{green}{2}}{5^\\textcolor{green}{2}}=\\frac{1}{25}$$"]}]}

{"questions":[{"content":"В получившемся выражении $15\\cdot\\frac{1}{25}-8\\cdot\\frac{1}{5}$ выполним умножение:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{15}{25}-\\frac{8}{5}$","$\\frac{1}{375}-\\frac{1}{40}$","$\\frac{25}{15}-\\frac{5}{8}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["При умножении числа на простую дробь число умножается на числитель: $$\\frac{15\\cdot1}{25}-\\frac{8\\cdot1}{5}$$","Получим: $\\frac{15}{25}-\\frac{8}{5}$"]}]}

{"questions":[{"content":"В полученном выражении $\\frac{15}{25}-\\frac{8}{5}$ найдем наименьший общий знаменатель:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$25$","$5$","$99$"],"answer":[0]}},"hints":["Наименьший общий знаменатель должен делиться на оба знаменателя нацело.","На оба числа делится $25$"]}]}

{"questions":[{"content":"Выберем дополнительные множители для каждой дроби:[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\frac{15}{25}$","$\\frac{8}{5}$"],"items":["$1$","$5$","$25$"]}},"hints":["Чтобы узнать, на сколько необходимо домножить дробь, разделим наименьший общий знаменатель на знаменатель данной дроби: $$25:25=1$$ $$25:5=5$$"]}]}

{"questions":[{"content":"В полученном выражении $\\frac{15\\cdot1-8\\cdot5}{25}$ произведем вычисления:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-\\frac{25}{25}$","$\\frac{15}{25}$","$\\frac{8}{25}$"],"answer":[0]}}}]}

{"questions":[{"content":"Преобразуем дробь $-\\frac{25}{25}$ для записи в бланк ответов:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-1$","$1$","$25$"],"answer":[0]}},"step":1}]}

{"questions":[{"content":"Определим порядок действий:[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Выполним возведение в степень","Произведем умножение"]}}}]}

{"questions":[{"content":"При возведении в квадрат ${(7\\cdot{10}^{3})}^2$ получим:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(49\\cdot{10}^{6})$","$(7\\cdot{10}^{6})$","$(7\\cdot{70}^{3})$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Так как в скобках произведение, выполним возведение в квадрат по очереди:$$({7}^{2}\\cdot{{10}^{3}}^{2})$$","При возведении степени в степень, степени перемножаются $$({49}\\cdot{10}^{3\\cdot2})$$ $$({49}\\cdot{10}^{6})$$<br />"]}]}

{"questions":[{"content":"Перемножим полученные выражения $(49\\cdot{10}^{6})\\cdot(16\\cdot{10}^{-4})$:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$49\\cdot16\\cdot100$","$7\\cdot16\\cdot10$","$49\\cdot16\\cdot10$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Так как в обеих скобках произведение, просто умножаем первую скобку на вторую: $49\\cdot{10}^{6}\\cdot16\\cdot{10}^{-4}$.","От перестановки множителей произведение не меняется, перемножим сначала ${10}^{6}$ и ${10}^{-4}$.","При умножении чисел с одинаковыми основаниями и разными степенями степени суммируются: $${10}^{6}\\cdot{10}^{-4}={10}^{6+(-4)}={10}^{2}=100$$.","Получим выражение $49\\cdot16\\cdot100$"]}]}

{"questions":[{"content":"В полученном выражении $49\\cdot16\\cdot100$ выполним оставшиеся действия:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$78400$","$7840$","$874$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Умножим $49$ на $16$: $49\\cdot16=784$.","Умножим $784$ на $100$: $784\\cdot100=78400$."]}]}

{"questions":[{"content":"Данное выражение можно начать решать несколькими способами:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Сначала выполнить действия в скобках","Раскрыть скобки, умножая каждое слагаемое на $\\textcolor{blue}{9}$","Отбросить скобки, оставляя все знаки на месте"],"answer":[0,1]}}}]}

{"questions":[{"content":"Раскроем скобки, умножая каждое слагаемое на $\\textcolor{blue}{9}$:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{9}{6}+\\frac{9}{4}$","$\\frac{9}{6}\\cdot\\frac{9}{4}$","$\\frac{9}{54}+\\frac{9}{36}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["При умножении числа на скобки необходимо число умножить на каждое слагаемое: $$\\textcolor{blue}{9}\\cdot \\frac{1}{6}+\\textcolor{blue}{9}\\cdot\\frac{1}{4}$$","При умножении числа на дробь число умножается на числитель: $$\\frac{\\textcolor{blue}{9}\\cdot1}{6}+\\frac{\\textcolor{blue}{9}\\cdot1}{4}$$<br />","Получим: $$\\frac{9}{6}+\\frac{9}{4}$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Сложим получившиеся дроби $\\frac{9}{6}+\\frac{9}{4}$:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{45}{12}$","$\\frac{18}{10}$","$\\frac{45}{10}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Приведем дроби к общему знаменателю: $\\textcolor{orange}{12}$.","Первую дробь домножаем на $2$, вторую на $3$:$$\\frac{9\\cdot2}{\\textcolor{orange}{12}}+\\frac{9\\cdot3}{\\textcolor{orange}{12}}=\\frac{18}{\\textcolor{orange}{12}}+\\frac{27}{\\textcolor{orange}{12}}$$<br />","Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:$$\\frac{18+27}{\\textcolor{orange}{12}}=\\frac{45}{\\textcolor{orange}{12}}$$<br />"]}]}

{"questions":[{"content":"Переведем получившуюся дробь $\\frac{45}{12}$ в десятичную для записи в бланк ответов:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$3,75$","$4$","$2,72$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Сократим дробь на общее кратное $3$:$$\\frac{45:3}{12:3}=\\frac{15}{4}$$","Для перевода дроби в десятичную разделим числитель на знаменатель:$$\\frac{15}{4}=3,75$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Какими способами можно начать решать данное выражение? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Сначала выполнить действия в скобках","Раскрыть скобки, умножая каждое слагаемое на $\\textcolor{blue}{3}$","Отбросить скобки, оставляя все знаки на месте"],"answer":[0,1]}}}]}

{"questions":[{"content":"Раскроем скобки, умножая каждое слагаемое на $\\textcolor{blue}{3}$:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{9}{4}-\\frac{3}{6}$","$\\frac{9}{4}\\cdot\\frac{3}{6}$","$\\frac{9}{12}-\\frac{3}{18}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["При умножении числа на скобки необходимо число умножить на каждое слагаемое: $$\\textcolor{blue}{3}\\cdot \\frac{3}{4}-\\textcolor{blue}{3}\\cdot\\frac{1}{6}$$","При умножении числа на дробь число умножается на числитель: $$\\frac{\\textcolor{blue}{3}\\cdot3}{4}-\\frac{\\textcolor{blue}{3}\\cdot1}{6}$$<br />","Получаем: $$\\frac{9}{4}-\\frac{3}{6}$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Найдем разность получившихся дробей $\\frac{9}{4}-\\frac{3}{6}$:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{21}{12}$","$\\frac{27}{6}$","$\\frac{6}{-2}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю: $\\textcolor{orange}{12}$.","Первую дробь домножаем на $3$, вторую на $2$:$$\\frac{9\\cdot3}{\\textcolor{orange}{12}}-\\frac{3\\cdot2}{\\textcolor{orange}{12}}=\\frac{27}{\\textcolor{orange}{12}}-\\frac{6}{\\textcolor{orange}{12}}$$<br />","Найдем разность дробей с одинаковыми знаменателями:$$\\frac{27-6}{\\textcolor{orange}{12}}=\\frac{21}{\\textcolor{orange}{12}}$$<br />"]}]}

{"questions":[{"content":"Преобразуем получившуюся дробь $\\frac{21}{12}$ в десятичную для записи в бланк ответов:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$1,75$","$2$","$2,72$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Сократим дробь на общее кратное $3$: $$\\frac{21:3}{12:3}=\\frac{7}{4}$$","Для перевода дроби в десятичную разделим числитель на знаменатель: $$\\frac{7}{4}=1,75$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Переведем смешанное число $\\textcolor{orange}{1}\\frac{\\textcolor{green}{1}}{\\textcolor{purple}{10}}$ в неправильную дробь:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{11}{10}$","$\\frac{1}{10}$","$\\frac{2}{10}$"],"answer":[0]}},"hints":["Для перевода смешанного числа в неправильную дробь $\\textcolor{orange}{целую\\spaceчасть}$ умножаем на $\\textcolor{purple}{знаменатель}$ и складываем с $\\textcolor{green}{числителем}$, $\\textcolor{purple}{знаменатель}$ при этом остается неизменным.","$$\\textcolor{orange}{1}\\frac{\\textcolor{green}{1}}{\\textcolor{purple}{10}}=\\frac{\\textcolor{green}{1}+\\textcolor{orange}{1}\\cdot\\textcolor{purple}{10}}{\\textcolor{purple}{10}}=\\frac{11}{\\textcolor{purple}{10}}$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Полученное выражение $(\\frac{5}{6}+\\frac{11}{10})\\cdot24$ можно начать решать несколькими способами:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Сначала выполнить действие в скобках","Раскрыть скобки, умножая каждое слагаемое на $\\textcolor{blue}{24}$","Отбросить скобки, оставляя все знаки на месте"],"answer":[0,1]}}}]}

{"questions":[{"content":"Раскроем скобки, умножая каждое слагаемое на $\\textcolor{blue}{24}$:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{120}{6}+\\frac{264}{10}$","$\\frac{120}{6}\\cdot\\frac{264}{10}$","$\\frac{120}{144}+\\frac{264}{240}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["При умножении числа на скобки необходимо число умножить на каждое слагаемое: $$\\textcolor{blue}{24}\\cdot \\frac{5}{6}+\\textcolor{blue}{24}\\cdot\\frac{11}{10}$$","При умножении числа на дробь число умножается на числитель: $$\\frac{\\textcolor{blue}{24}\\cdot5}{6}+\\frac{\\textcolor{blue}{24}\\cdot11}{10}$$","$$\\frac{120}{6}+\\frac{264}{10}$$"]}]}

{"questions":[{"content":"В выражении $\\frac{120}{6}+\\frac{264}{10}$ преобразуем простые дроби в десятичные:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$20+26,4$","$120+264$","$120+26,4$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Для перевода простой дроби в десятичную разделим числитель на знаменатель","$$\\frac{120}{6}=20$$","$$\\frac{264}{10}=26,4$$","Получим: $20+26,4$"]}]}

{"questions":[{"content":"Вычислим $20+26,4$:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$46,4$","$36,4$","$464$"],"answer":[0]}}}]}

{"questions":[{"content":"Определим порядок действий:[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Выполним действие в знаменателе","Выполним деление"]}}}]}

{"questions":[{"content":"Найдем разность в знаменателе $\\textcolor{lightblue}{1}-\\frac{1}{9}$:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{8}{9}$","$\\frac{-8}{9}$","$\\frac{9}{8}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Представим $\\textcolor{lightblue}{1}$ в виде дроби с наиболее удобным для нас знаменателем: $$\\textcolor{lightblue}{1}=\\frac{9}{9}$$","Найдем разность дробей с одинаковыми знаменателями: $$\\frac{9}{9}-\\frac{1}{9}$$ $$\\frac{9-1}{9}=\\frac{8}{9}$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Выполним деление $$\\frac{\\textcolor{purple}{0,8}}{\\textcolor{orange}{\\frac{8}{9}}}$$:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{72}{80}$","$\\frac{80}{72}$","$\\frac{0,8}{9}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Запишем выражение в более понятном виде:$$ \\textcolor{purple}{0,8}:\\textcolor{orange}{\\frac{8}{9}}$$","Преобразуем $\\textcolor{purple}{0,8}$ в простую дробь: $\\textcolor{purple}{\\frac{8}{10}}$","Перевернем вторую дробь и заменим деление умножением согласно правилу деления дробей:$$\\textcolor{purple}{\\frac{8}{10}}:\\textcolor{orange}{\\frac{8}{9}}=\\textcolor{purple}{\\frac{8}{10}}\\cdot\\frac{9}{8}=\\frac{72}{80}$$<br />"]}]}

{"questions":[{"content":"Преобразуем получившуюся дробь $\\frac{72}{80}$ в десятичную для записи в бланк ответов:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$0,9$","$72$","$0,3$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Сократим дробь на общее кратное $8$: $$\\frac{72:8}{80:8}=\\frac{9}{10}$$","Для перевода дроби в десятичную разделим числитель на знаменатель: $$\\frac{9}{10}=0,9$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Определим порядок действий:[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Возводим числа в степени","Выполняем умножение","Выполняем сложение и вычитание"]}}}]}

{"questions":[{"content":"Возведем $-10$ в $4$ степень:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$10000$","$-1000$","$1000$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Степень показывает, сколько раз число нужно умножить на себя:$$-10\\cdot(-10)\\cdot(-10)\\cdot(-10)=10000$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Возведем $-10$ в $3$ степень:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-1000$","$-10000$","$10000$"],"answer":[0]}},"hints":["Степень показывает, сколько раз число нужно умножить на себя:$$-10\\cdot(-10)\\cdot(-10)=-1000$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Выполним умножение в полученном выражении $0,8\\cdot10000+3\\cdot(-1000)+78$: [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$8000-3000+78$","$8000+3000+78$","$80000-3000+78$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["При умножении на $1$, $10$, $100$ и т. д. у умножаемого числа переносим запятую вправо на количество знаков, равное количеству нулей:$$0,8\\cdot10000=8000$$ $$3\\cdot(-1000)=-3000$$"]}]}

{"questions":[{"content":"В полученном выражении $8000-3000+78$ выполним оставшиеся действия:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$5078$","$4922$","$11078$"],"answer":[0]}}}]}

{"questions":[{"content":"Определим порядок действий:[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби","Выполним действия в скобках и деление"]}}}]}

{"questions":[{"content":"Переведем смешанное число $\\textcolor{orange}{1}\\frac{\\textcolor{green}{1}}{\\textcolor{purple}{12}}$ в неправильную дробь:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{13}{12}$","$\\frac{10}{13}$","$\\frac{12}{10}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Для перевода смешанного числа в неправильную дробь $\\textcolor{orange}{целую\\spaceчасть}$ умножаем на $\\textcolor{purple}{знаменатель}$ и складываем с $\\textcolor{green}{числителем}$, $\\textcolor{purple}{знаменатель}$ при этом остается неизменным.","$$\\textcolor{orange}{1}\\frac{\\textcolor{green}{1}}{\\textcolor{purple}{12}}=\\frac{\\textcolor{green}{1}+\\textcolor{orange}{1}\\cdot\\textcolor{purple}{12}}{\\textcolor{purple}{12}}=\\frac{13}{\\textcolor{purple}{12}}$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Переведем смешанное число $\\textcolor{orange}{1}\\frac{\\textcolor{green}{13}}{\\textcolor{purple}{18}}$ в неправильную дробь:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{31}{18}$","$\\frac{14}{18}$","$\\frac{13}{19}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Для перевода смешанного числа в неправильную дробь $\\textcolor{orange}{целую\\spaceчасть}$ умножаем на $\\textcolor{purple}{знаменатель}$ и складываем с $\\textcolor{green}{числителем}$, $\\textcolor{purple}{знаменатель}$ при этом остается неизменным.","$\\textcolor{orange}{1}\\frac{\\textcolor{green}{13}}{\\textcolor{purple}{18}}=\\frac{\\textcolor{green}{13}+\\textcolor{orange}{1}\\cdot\\textcolor{purple}{18}}{\\textcolor{purple}{18}}=\\frac{31}{\\textcolor{purple}{18}}$"]}]}

{"questions":[{"content":"Переведем смешанное число $\\textcolor{orange}{2}\\frac{\\textcolor{green}{5}}{\\textcolor{purple}{9}}$ в неправильную дробь:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{23}{9}$","$\\frac{7}{9}$","$\\frac{5}{11}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Для перевода смешанного числа в неправильную дробь $\\textcolor{orange}{целую\\spaceчасть}$ умножаем на $\\textcolor{purple}{знаменатель}$ и складываем с $\\textcolor{green}{числителем}$, $\\textcolor{purple}{знаменатель}$ при этом остается неизменным.","$$\\textcolor{orange}{2}\\frac{\\textcolor{green}{5}}{\\textcolor{purple}{9}}=\\frac{\\textcolor{green}{5}+\\textcolor{orange}{2}\\cdot\\textcolor{purple}{9}}{\\textcolor{purple}{9}}=\\frac{23}{\\textcolor{purple}{9}}$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Найдем разность дробей в скобках $\\frac{31}{18}-\\frac{23}{9}$:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-\\frac{15}{18}$","$\\frac{15}{18}$","$\\frac{8}{9}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Приведем дроби к общему знаменателю: $18$.","Первую дробь домножаем на $1$, вторую на $2$:<br />$$\\frac{31\\cdot1}{18}-\\frac{23\\cdot2}{18}=\\frac{31}{18}-\\frac{46}{18}$$<br />","Найдем разность дробей с одинаковыми знаменателями:<br />$$\\frac{31-46}{18}=\\frac{-15}{18}$$<br />","Так как в дробях можно минус переносить из числителя в знаменатель и обратно или выносить перед дробью, вынесем минус перед дробью: $$-\\frac{15}{18}$$"]}]}

{"questions":[{"content":"В выражении $\\frac{13}{12}:(-\\frac{15}{18})$ выполним деление:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-\\frac{234}{180}$","$\\frac{13}{18}$","$-\\frac{13}{180}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Перевернем вторую дробь и заменим деление умножением согласно правилу деления дробей, при этом минус будем писать перед первой дробью для удобства.","$$-\\frac{13}{12}:\\frac{15}{18}=-\\frac{13}{12}\\cdot\\frac{18}{15}=-\\frac{234}{180}$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Преобразуем получившуюся дробь $-\\frac{234}{180}$ в десятичную для записи в бланк ответов:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-1,3$","$-1,6$","$1,6$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Сократим дробь на общее кратное $18$: $$-\\frac{234:18}{180:18}=-\\frac{13}{10}$$","Для перевода дроби в десятичную разделим числитель на знаменатель: $$-\\frac{13}{10}=-1,3$$"]}]}